Une fonction irrationnelle d'une variable est une fonction formée à partir d'une variable et de constantes arbitraires à l'aide d'un nombre fini d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication (élévation à une puissance entière), de division et d'extraction de racines. Une fonction irrationnelle diffère d'une fonction rationnelle en ce que la fonction irrationnelle contient des opérations d'extraction de racines.

Il existe trois types principaux fonctions irrationnelles, dont les intégrales indéfinies se réduisent à des intégrales de fonctions rationnelles. Ce sont des intégrales contenant des racines de puissances entières arbitraires de fractions fonction linéaire(les racines peuvent être de degrés différents, mais de la même fonction fractionnaire linéaire) ; intégrales de binôme différentiel et intégrales avec racine carrée d'un trinôme carré.

Note importante. Les racines sont ambiguës !

Lors du calcul d'intégrales contenant des racines, des expressions de la forme, où est une fonction de la variable d'intégration, sont souvent rencontrées. Il faut garder cela à l'esprit. C'est-à-dire pour t> 0, | t | = t... À t< 0, | t | = - t. Par conséquent, lors du calcul de telles intégrales, il est nécessaire de considérer séparément les cas t> 0 et T< 0 ... Cela peut être fait en écrivant des signes ou si nécessaire. En supposant que le signe supérieur se réfère au cas t> 0 , et l'inférieur - au cas t< 0 ... Lors d'une transformation ultérieure, ces signes, en règle générale, s'annulent.

La deuxième approche est également possible, dans laquelle l'intégrande et le résultat de l'intégration peuvent être considérés comme des fonctions complexes de variables complexes. Ensuite, vous ne pouvez pas suivre les signes dans les expressions radicales. Cette approche est applicable si l'intégrande est analytique, c'est-à-dire une fonction différentiable d'une variable complexe. Dans ce cas, l'intégrande et l'intégrale de celui-ci sont des fonctions à valeurs multiples. Par conséquent, après intégration, lors de la substitution de valeurs numériques, il est nécessaire de sélectionner une branche à valeur unique (surface de Riemann) de l'intégrande, et pour cela de choisir la branche correspondante du résultat d'intégration.

Irrationalité linéaire fractionnaire

Ce sont des intégrales avec des racines de la même fonction fractionnaire linéaire :
,
où R est une fonction rationnelle, sont des nombres rationnels, m 1, n 1, ..., m s, n s sont des nombres entiers, , β, , sont des nombres réels.
De telles intégrales se réduisent à une intégrale d'une fonction rationnelle par substitution :
, où n est le dénominateur commun des nombres r 1, ..., r s.

Les racines ne proviennent pas nécessairement d'une fonction fractionnaire linéaire, mais aussi d'une fonction linéaire (γ = 0, = 1), soit sur la variable d'intégration x (α = 1, = 0, = 0, = 1).

Voici des exemples de telles intégrales :
, .

Intégrales de binômes différentiels

Les intégrales des binômes différentiels sont :
,
où m, n, p sont des nombres rationnels, a, b sont des nombres réels.
De telles intégrales se réduisent à des intégrales de fonctions rationnelles dans trois cas.

1) Si p est un entier. Substitution x = t N, où N est le dénominateur commun des fractions m et n.
2) Si - entier. Substitution a x n + b = t M, où M est le dénominateur de p.
3) Si - entier. Substitution a + b x - n = t M, où M est le dénominateur de p.

Dans d'autres cas, ces intégrales ne sont pas exprimées en termes de fonctions élémentaires.

Parfois, de telles intégrales peuvent être simplifiées à l'aide de formules de réduction :
;
.

Intégrales contenant la racine carrée d'un trinôme carré

De telles intégrales sont de la forme :
,
où R est une fonction rationnelle. Il existe plusieurs méthodes de résolution pour chacune de ces intégrales.
1) Avec l'aide de transformations conduisent à des intégrales plus simples.
2) Appliquer des substitutions trigonométriques ou hyperboliques.
3) Appliquer les substitutions d'Euler.

Regardons de plus près ces méthodes.

1) Transformation de l'intégrande

En appliquant la formule et en effectuant des transformations algébriques, nous amenons l'intégrande à la forme :
,
où (x), ω (x) sont des fonctions rationnelles.

Type I

Intégrale de la forme :
,
où P n (x) est un polynôme de degré n.

De telles intégrales sont trouvées par la méthode des coefficients indéfinis utilisant l'identité :

.
En différenciant cette équation et en égalant les côtés gauche et droit, on trouve les coefficients A i.

type II

Intégrale de la forme :
,
où P m (x) est un polynôme de degré m.

Remplacement t = (x - α) -1 cette intégrale se réduit au type précédent. Si m n, alors toute la partie de la fraction doit être sélectionnée.

III type

Ici on fait la substitution :
.
Après cela, l'intégrale prendra la forme :
.
De plus, les constantes α, β doivent être choisies de telle sorte que les coefficients en t au dénominateur s'annulent :
B = 0, B 1 = 0.
Alors l'intégrale se décompose en somme d'intégrales de deux types :
,
,
qui s'intègrent par substitutions :
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2.

2) Substitutions trigonométriques et hyperboliques

Pour les intégrales de la forme, un > 0 ,
nous avons trois substitutions principales :
;
;
;

Pour les intégrales, un > 0 ,
on a les substitutions suivantes :
;
;
;

Et enfin, pour les intégrales, un > 0 ,
les remplacements sont les suivants :
;
;
;

3) Les substitutions d'Euler

De plus, les intégrales peuvent être réduites à des intégrales de fonctions rationnelles de l'une des trois substitutions d'Euler :
, pour a> 0 ;
, pour c> 0 ;
, où x 1 est la racine de l'équation a x 2 + b x + c = 0. Si cette équation a des racines réelles.

Intégrales elliptiques

En conclusion, considérons des intégrales de la forme :
,
où R est une fonction rationnelle,. De telles intégrales sont appelées elliptiques. En général, ils ne sont pas exprimés en termes de fonctions élémentaires. Cependant, il existe des cas où il existe des relations entre les coefficients A, B, C, D, E dans lesquelles de telles intégrales sont exprimées en termes de fonctions élémentaires.

Vous trouverez ci-dessous un exemple lié aux polynômes de retour. Le calcul de ces intégrales est effectué à l'aide de substitutions :
.

Exemple

Calculer l'intégrale :
.

Décision

On fait une substitution.

.
Ici, pour x> 0 (u> 0 ) on prend le signe supérieur ′ + ′. Pour x< 0 (tu< 0 ) - plus bas ' - '.

.

Répondre

Les références:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Recueil de problèmes en mathématiques supérieures, "Lan", 2003.

Trouver une intégrale indéfinie est un problème très courant dans les mathématiques supérieures et d'autres branches techniques de la science. Même la solution des problèmes physiques les plus simples n'est souvent pas complète sans le calcul de plusieurs intégrales simples. Par conséquent, dès l'âge scolaire, on nous enseigne les techniques et les méthodes de résolution d'intégrales, de nombreux tableaux avec les intégrales des fonctions les plus simples sont donnés. Cependant, au fil du temps, tout cela est oublié en toute sécurité, ou nous n'avons pas assez de temps pour les calculs ou nous avons besoin trouver une solution à l'intégrale indéfinie d'une fonction très complexe. Pour résoudre ces problèmes, notre service vous sera indispensable, qui vous permettra de retrouver avec précision l'intégrale indéfinie en ligne.

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Intégrales complexes

Cet article complète le sujet des intégrales indéfinies, et inclut des intégrales que je trouve assez difficiles. La leçon a été créée à la demande répétée des visiteurs qui ont exprimé le souhait que des exemples plus difficiles soient également analysés sur le site.

On suppose que le lecteur de ce texte est bien préparé et sait appliquer les techniques de base de l'intégration. Les nuls et les personnes qui ne sont pas très confiants sur les intégrales devraient se référer à la toute première leçon - Intégrale indéfinie. Exemples de solutions, où vous pouvez maîtriser le sujet pratiquement à partir de zéro. Les étudiants plus expérimentés peuvent se familiariser avec les techniques et méthodes d'intégration qui n'ont pas encore été rencontrées dans mes articles.

Quelles intégrales seront prises en compte ?

Tout d'abord, nous considérerons des intégrales avec des racines, pour la solution desquelles nous utilisons successivement remplacement variable et intégration par parties... C'est-à-dire que, dans un exemple, deux techniques sont combinées à la fois. Et encore plus.

Ensuite, nous ferons la connaissance d'un intéressant et original la méthode de réduction de l'intégrale à elle-même... Peu d'intégrales sont résolues de cette manière.

Le troisième numéro du programme ira aux intégrales de fractions complexes, qui ont survolé le box-office dans les articles précédents.

Quatrièmement, des intégrales supplémentaires de fonctions trigonométriques seront analysées. En particulier, il existe des méthodes qui évitent la substitution trigonométrique universelle qui prend du temps.

(2) Dans l'intégrande, on divise le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(3) On utilise la propriété de linéarité de l'intégrale indéfinie. Dans la dernière intégrale, immédiatement on ramène la fonction sous le signe différentiel.

(4) Prendre les intégrales restantes. Notez que les parenthèses peuvent être utilisées dans le logarithme, pas dans le module, puisque.

(5) Nous effectuons la substitution inverse, exprimant à partir de la substitution directe "te":

Les étudiants masochistes peuvent différencier la réponse et obtenir l'intégrande d'origine comme je viens de le faire. Non, non, j'ai fait la vérification dans le bon sens =)

Comme vous pouvez le voir, pendant la résolution, même plus de deux méthodes de résolution ont dû être utilisées. Ainsi, pour traiter de telles intégrales, vous avez besoin de compétences d'intégration confiantes et non de la moindre expérience.

En pratique, bien sûr, la racine carrée est plus courante, voici trois exemples pour décision indépendante:

Exemple 2

Trouver l'intégrale indéfinie

Exemple 3

Trouver l'intégrale indéfinie

Exemple 4

Trouver l'intégrale indéfinie

Ces exemples sont du même type, donc la solution complète à la fin de l'article sera uniquement pour l'exemple 2, dans les exemples 3-4 - une réponse. Quelle substitution utiliser au début des solutions, je pense, est évidente. Pourquoi ai-je pris des exemples du même type ? Ils se rencontrent souvent dans leur rôle. Plus souvent, peut-être, juste quelque chose comme .

Mais pas toujours, lorsque la racine d'une fonction linéaire se trouve sous les fonctions arctangente, sinus, cosinus, exposant et autres, plusieurs méthodes doivent être appliquées à la fois. Dans un certain nombre de cas, il est possible de "s'en sortir facilement", c'est-à-dire qu'immédiatement après le remplacement, une simple intégrale est obtenue, qui est prise de manière élémentaire. La plus simple des tâches proposées ci-dessus est l'exemple 4, dans lequel, après remplacement, une intégrale relativement simple est obtenue.

En réduisant l'intégrale à elle-même

Une méthode ingénieuse et belle. Jetons un coup d'œil aux classiques du genre tout de suite :

Exemple 5

Trouver l'intégrale indéfinie

Il y a un binôme carré sous la racine, et en essayant d'intégrer exemple donné la bouilloire peut souffrir pendant des heures. Une telle intégrale est prise pièce par pièce et réduite à elle-même. En principe, pas difficile. Si vous savez comment.

Notons l'intégrale considérée par une lettre latine et commençons la solution :

Nous intégrons morceau par morceau :

(1) Préparer une fonction intégrande pour la division terminologique.

(2) On divise l'intégrande par terme. Peut-être que tout le monde ne comprend pas, j'écrirai plus en détail:

(3) On utilise la propriété de linéarité de l'intégrale indéfinie.

(4) Prendre la dernière intégrale (logarithme "long").

Voyons maintenant le tout début de la solution :

Et à la fin :

Que s'est-il passé? Du fait de nos manipulations, l'intégrale réduite à elle-même !

Assimilons le début et la fin :

Déplacer vers la gauche avec un changement de signe :

Et nous portons le diable au côté droit. Par conséquent:

La constante, à proprement parler, aurait dû être ajoutée plus tôt, mais l'a ajoutée à la fin. Je vous recommande fortement de lire ce qui est strict ici :

Noter: Plus strictement, l'étape finale de la solution ressemble à ceci :

De cette façon:

La constante peut être redésigné comme. Pourquoi pouvez-vous redésigner ? Parce qu'il accepte toujours quelconque valeurs, et en ce sens il n'y a pas de différence entre les constantes et.
Par conséquent:

Une astuce de redésignation constante similaire est largement utilisée dans équations différentielles... Et là, je serai strict. Et ici, une telle liberté n'est autorisée par moi que pour ne pas vous confondre avec des choses inutiles et pour vous concentrer sur la méthode même d'intégration.

Exemple 6

Trouver l'intégrale indéfinie

Une autre intégrale typique pour une solution indépendante. Solution complète et réponse à la fin du tutoriel. La différence avec la réponse de l'exemple précédent sera !

S'il y a un trinôme carré sous la racine carrée, alors la solution est dans tous les cas réduite à deux exemples analysés.

Par exemple, considérons l'intégrale ... Tout ce que vous devez faire est à l'avance sélectionnez un carré plein:
.
De plus, un remplacement linéaire est effectué, ce qui n'a aucune conséquence :
, ce qui donne une intégrale. Quelque chose de familier, non ?

Ou un tel exemple, avec un binôme carré :
Sélectionnez un carré complet :
Et, après un remplacement linéaire, nous obtenons une intégrale, qui est également résolue selon l'algorithme déjà considéré.

Considérons deux autres exemples typiques de la façon de réduire une intégrale à elle-même :
- intégrale de l'exposant multiplié par le sinus ;
- l'intégrale de l'exposant multipliée par le cosinus.

Dans les intégrales par parties listées, il faudra déjà intégrer deux fois :

Exemple 7

Trouver l'intégrale indéfinie

L'intégrande est l'exposant multiplié par le sinus.

On intègre par parties deux fois et on réduit l'intégrale à elle-même :

Par suite de la double intégration par parties, l'intégrale se réduit à elle-même. Assimilons le début et la fin de la solution :

Déplacez-vous vers la gauche avec un changement de signe et exprimez notre intégrale :

Fait. En cours de route, il est conseillé de peigner le côté droit, c'est-à-dire placez l'exposant à l'extérieur des parenthèses et, dans les parenthèses, disposez le sinus et le cosinus dans un "gentil" ordre.

Revenons maintenant au début de l'exemple, ou plutôt à l'intégration par parties :

Car nous avons désigné l'exposant. La question se pose, exactement l'exposant doit toujours être désigné par? Pas nécessaire. En effet, dans l'intégrale considérée fondamentalement aucune différence quoi désigner pour, il était possible d'aller dans l'autre sens:

Pourquoi est-ce possible ? Parce que l'exposant se transforme en lui-même (à la fois pendant la différenciation et l'intégration), le sinus et le cosinus se transforment mutuellement (à nouveau, à la fois pendant la différenciation et l'intégration).

Autrement dit, vous pouvez également désigner une fonction trigonométrique. Mais, dans l'exemple considéré, c'est moins rationnel, puisque des fractions apparaîtront. Si vous le souhaitez, vous pouvez essayer de résoudre cet exemple de la deuxième manière, les réponses doivent être les mêmes.

Exemple 8

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. Avant de décider, réfléchissez à ce qui est plus rentable dans ce cas de désigner pour, exposant ou fonction trigonométrique ? Solution complète et réponse à la fin du tutoriel.

Et bien sûr, n'oubliez pas que la plupart des réponses de cette leçon sont assez faciles à différencier !

Les exemples n'étaient pas considérés comme les plus difficiles. En pratique, les intégrales sont plus courantes, où la constante est à la fois dans l'exposant et dans l'argument de la fonction trigonométrique, par exemple :. Beaucoup de gens devront se perdre dans une telle intégrale, et moi-même je suis souvent confus. Le fait est que dans la solution, il existe une forte probabilité d'apparition de fractions et qu'il est très facile de perdre quelque chose par inattention. De plus, il existe une forte probabilité d'erreur dans les signes, notez que l'exposant a un signe moins, ce qui introduit une difficulté supplémentaire.

Au stade final, il s'avère souvent quelque chose comme ce qui suit :

Même à la fin de la solution, vous devez être extrêmement prudent et gérer les fractions avec compétence :

Intégration de fractions composées

Nous nous rapprochons lentement de l'équateur de la leçon et commençons à considérer les intégrales des fractions. Encore une fois, tous ne sont pas super compliqués, juste pour une raison ou une autre, les exemples étaient un peu "hors sujet" dans d'autres articles.

Poursuite du thème des racines

Exemple 9

Trouver l'intégrale indéfinie

Au dénominateur sous la racine se trouve le trinôme carré plus à l'extérieur de la racine « appendice » sous la forme de « x ». Une intégrale de ce type est résolue en utilisant une substitution standard.

Nous décidons:

Le remplacement est simple :

Nous examinons la vie après le remplacement :

(1) Après la substitution, nous ramenons les termes sous la racine à un dénominateur commun.
(2) Nous sortons de sous la racine.
(3) Réduire le numérateur et le dénominateur de. En même temps, sous la racine, j'ai réorganisé les termes dans un ordre pratique. Avec un peu d'expérience, les étapes (1), (2) peuvent être sautées en effectuant les actions commentées verbalement.
(4) L'intégrale résultante, comme vous vous en souvenez de la leçon Intégration de quelques fractions, résolu méthode de sélection des carrés complets... Sélectionnez un carré complet.
(5) Par intégration, nous obtenons un logarithme "long" ordinaire.
(6) Nous effectuons le remplacement inverse. Si initialement, puis de retour :.
(7) L'action finale vise la coiffure du résultat : sous la racine, nous ramenons à nouveau les termes à un dénominateur commun et les retirons de sous la racine.

Exemple 10

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. Ici, une constante a été ajoutée au X solitaire, et le remplacement est presque le même :

La seule chose à faire en plus est d'exprimer le "x" du remplacement :

Solution complète et réponse à la fin du tutoriel.

Parfois dans une telle intégrale il peut y avoir un binôme carré sous la racine, cela ne change pas la méthode de résolution, ce sera encore plus simple. Sentir la différence:

Exemple 11

Trouver l'intégrale indéfinie

Exemple 12

Trouver l'intégrale indéfinie

Brèves solutions et réponses à la fin de la leçon. Il convient de noter que l'exemple 11 est exactement intégrale binomiale, dont la méthode de résolution a été considérée dans la leçon Intégrales des fonctions irrationnelles.

Intégrale d'un polynôme indécomposable de degré 2 en degré

(polynôme au dénominateur)

Plus rare, mais néanmoins trouvé dans exemples pratiques forme intégrale.

Exemple 13

Trouver l'intégrale indéfinie

Mais revenons à l'exemple avec nombre chanceux 13 (honnêtement, je n'ai pas deviné). Cette intégrale est aussi de la catégorie de celles avec lesquelles vous pouvez à peu près vous tourmenter si vous ne savez pas comment la résoudre.

La solution commence par une transformation artificielle :

Je pense que tout le monde comprend déjà comment diviser le numérateur par le dénominateur terme par terme.

L'intégrale résultante est prise morceau par morceau :

Pour une intégrale de la forme (est un nombre naturel), nous avons dérivé récurrent Formule de réduction de degré :
où - intégrale d'un degré inférieur.

Vérifions la validité de cette formule pour l'intégrale résolue.
Dans ce cas :,, on utilise la formule :

Comme vous pouvez le voir, les réponses sont les mêmes.

Exemple 14

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. La solution échantillon utilise la formule ci-dessus deux fois de suite.

Si sous le diplôme il y a indécomposable trinôme carré, alors la solution est réduite à un binôme en sélectionnant un carré complet, par exemple :

Et s'il y a un polynôme supplémentaire dans le numérateur ? Dans ce cas, la méthode des coefficients indéfinis est utilisée et l'intégrande est étendu à la somme des fractions. Mais dans ma pratique d'un tel exemple jamais rencontré, donc j'ai sauté ce cas dans l'article Intégrales d'une fonction rationnelle fractionnaire, je vais le sauter maintenant. Si une telle intégrale se produit toujours, consultez le manuel - tout y est simple. Je ne pense pas qu'il soit approprié d'inclure du matériel (même simple), dont la probabilité de rencontre tend vers zéro.

Intégration de fonctions trigonométriques complexes

Pour la plupart des exemples, l'adjectif « difficile » est à nouveau largement conditionnel. Commençons par les tangentes et les cotangentes à des degrés élevés. Du point de vue des méthodes utilisées pour résoudre la tangente et la cotangente, elles sont presque les mêmes, je parlerai donc davantage de la tangente, ce qui implique que la méthode démontrée pour résoudre l'intégrale est également valable pour la cotangente.

Dans la leçon ci-dessus, nous avons examiné substitution trigonométrique universelle pour résoudre un certain type d'intégrales de fonctions trigonométriques. L'inconvénient de la substitution trigonométrique universelle est que lors de son utilisation, des intégrales lourdes avec des calculs difficiles surviennent souvent. Et dans certains cas, la substitution trigonométrique universelle peut être évitée !

Considérons un autre exemple canonique, l'intégrale de l'unité divisée par le sinus :

Exemple 17

Trouver l'intégrale indéfinie

Ici, vous pouvez utiliser la substitution trigonométrique générique et obtenir la réponse, mais il existe un moyen plus rationnel. Je vais fournir une solution complète avec des commentaires pour chaque étape :

(1) Nous utilisons la formule trigonométrique à double angle sinus.
(2) Nous effectuons une transformation artificielle : Au dénominateur, diviser et multiplier par.
(3) Selon la formule bien connue du dénominateur, on transforme la fraction en tangente.
(4) On place la fonction sous le signe de la différentielle.
(5) Prenons l'intégrale.

Quelques exemples simples pour une solution indépendante :

Exemple 18

Trouver l'intégrale indéfinie

Remarque : La toute première étape consiste à utiliser la formule de distribution et effectuez soigneusement les actions similaires à l'exemple précédent.

Exemple 19

Trouver l'intégrale indéfinie

Eh bien, c'est un exemple très simple.

Solutions complètes et réponses à la fin de la leçon.

Je pense que maintenant personne n'aura de problèmes avec les intégrales :
etc.

Quelle est l'idée derrière la méthode? L'idée est d'organiser uniquement les tangentes et la dérivée de la tangente dans l'intégrande à l'aide de transformations, de formules trigonométriques. C'est-à-dire que nous parlons de remplacer: ... Dans les exemples 17-19, nous avons en fait appliqué ce remplacement, mais les intégrales étaient si simples que la question a été traitée avec une action équivalente - amenant la fonction sous le signe différentiel.

Un raisonnement similaire, comme je l'ai déjà mentionné, peut être effectué pour la cotangente.

Il existe également une condition préalable formelle pour appliquer le remplacement ci-dessus :

La somme des puissances du cosinus et du sinus est un entier négatif nombre PAIR, par exemple:

pour une intégrale - un nombre entier négatif PAIR.

! Noter : si l'intégrande contient UNIQUEMENT un sinus ou UNIQUEMENT un cosinus, alors l'intégrale est également prise pour un degré impair négatif (les cas les plus simples sont dans les exemples n° 17, 18).

Considérez quelques tâches plus significatives pour cette règle :

Exemple 20

Trouver l'intégrale indéfinie

La somme des puissances du sinus et du cosinus : 2 - 6 = –4 est un nombre entier négatif PAIR, ce qui signifie que l'intégrale peut être réduite aux tangentes et à sa dérivée :

(1) Transformez le dénominateur.
(2) D'après la formule bien connue, on obtient.
(3) Transformez le dénominateur.
(4) On utilise la formule .
(5) On place la fonction sous le signe de la différentielle.
(6) Nous effectuons un remplacement. Les étudiants plus expérimentés peuvent ne pas effectuer le remplacement, mais il est toujours préférable de remplacer la tangente par une lettre - il y a moins de risque de confusion.

Exemple 21

Trouver l'intégrale indéfinie

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même.

Attendez, les tours des champions commencent =)

Souvent dans l'intégrand il y a un "méli-mélo":

Exemple 22

Trouver l'intégrale indéfinie

Cette intégrale contient initialement une tangente, qui suscite immédiatement une pensée déjà familière :

Transformation artificielle au tout début et le reste des étapes, je laisserai sans commentaire, puisque tout a déjà été discuté ci-dessus.

Quelques exemples créatifs pour l'auto-solution :

Exemple 23

Trouver l'intégrale indéfinie

Exemple 24

Trouver l'intégrale indéfinie

Oui, en eux, bien sûr, vous pouvez abaisser les degrés du sinus, du cosinus, utiliser la substitution trigonométrique universelle, mais la solution sera beaucoup plus efficace et plus courte si vous la dessinez à travers les tangentes. Solution complète et réponses à la fin de la leçon

Une fonction F (x) dérivable dans un intervalle X donné est appelée primitive pour la fonction f (x), ou une intégrale de f (x), si pour tout x ∈X l'égalité suivante est vérifiée :

F "(x) = f (x). (8.1)

Trouver toutes les primitives pour une fonction donnée s'appelle son l'intégration. Intégrale indéfinie d'une fonction f (x) sur un intervalle donné X est l'ensemble de toutes les primitives de la fonction f (x) ; la désignation -

Si F (x) est une primitive pour la fonction f (x), alors ∫ f (x) dx = F (x) + C, (8.2)

où C est une constante arbitraire.

Table intégrale

Directement à partir de la définition, on obtient les propriétés de base de l'intégrale indéfinie et la liste des intégrales tabulaires :

1) d∫f (x) dx = f (x)

2) df (x) = f (x) + C

3) ∫af (x) dx = a∫f (x) dx (a = const)

4) (f (x) + g (x)) dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Liste des intégrales de table

1.∫x m dx = x m + 1 / (m + 1) + C; (m -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a> 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Remplacement variable

Pour intégrer de nombreuses fonctions, utilisez la méthode du changement de variable ou remplacements, permettant de réduire les intégrales sous forme tabulaire.

Si la fonction f (z) est continue sur [α, β], la fonction z = g (x) a une dérivée continue et α ≤ g (x) ≤ β, alors

f (g (x)) g "(x) dx = ∫f (z) dz, (8.3)

de plus, après intégration, la substitution z = g (x) doit être faite du côté droit.

Pour la preuve, il suffit d'écrire l'intégrale originelle sous la forme :

f (g (x)) g "(x) dx = ∫ f (g (x)) dg (x).

Par example:

Intégration par parties

Soient u = f (x) et v = g (x) des fonctions continues. Ensuite, selon les travaux,

d (uv)) = udv + vdu ou udv = d (uv) - vdu.

Pour l'expression d (uv), la primitive sera évidemment uv, donc la formule suivante est vraie :

udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Cette formule exprime la règle intégration par parties... Il apporte l'intégration de l'expression udv = uv "dx à l'intégration de l'expression vdu = vu" dx.

Soit, par exemple, qu'il soit nécessaire de trouver ∫xcosx dx. On pose u = x, dv = cosxdx, donc du = dx, v = sinx. Puis

xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

La règle d'intégration par parties a une portée plus limitée que la substitution de variables. Mais il existe des classes entières d'intégrales, par exemple,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax et autres, qui sont calculés par intégration par parties.

Intégrale définie

Le concept d'intégrale définie est introduit comme suit. Soit la fonction f (x) définie sur le segment. Nous divisons le segment [a, b] en m parties par points a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
x i = x i - x i-1. Une somme de la forme f (ξ i) Δ x i est appelée somme intégrale, et sa limite comme λ = maxΔx i → 0, si elle existe et est finie, est appelée Intégrale définie fonction f (x) de une avant que b et est indiqué par :

F (ξ i) Δx i (8.5).

La fonction f (x) dans ce cas est appelée intégrable sur le segment, les nombres a et b sont appelés la limite inférieure et supérieure de l'intégrale.

Les propriétés suivantes sont valables pour une intégrale définie :

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).

La dernière propriété s'appelle théorème de la valeur moyenne.

Soit f (x) continue sur. Alors sur ce segment il y a une intégrale indéfinie

f (x) dx = F (x) + C

et a lieu Formule de Newton-Leibniz, reliant une intégrale définie à une intégrale indéfinie :

F (b) - F (a). (8.6)

Interprétation géométrique : l'intégrale définie est l'aire d'un trapèze curviligne délimité d'en haut par la courbe y = f (x), par les droites x = a et x = b et par le segment d'axe Bœuf.

Intégrales incorrectes

Les intégrales avec des limites infinies et les intégrales de fonctions discontinues (non bornées) sont appelées non conforme. Intégrales impropres du premier type - ce sont des intégrales sur un intervalle infini, défini comme suit :

(8.7)

Si cette limite existe et est finie, alors elle est appelée intégrale impropre convergente de f (x) sur l'intervalle [a, + ∞), et la fonction f (x) est appelée intégrable sur un intervalle infini[a, + ). Sinon, on dit que l'intégrale est n'existe pas ou diverge.

Les intégrales incorrectes sur les intervalles (-∞, b] et (-∞, + ∞) sont définies de la même manière :

Définissons le concept d'intégrale d'une fonction non bornée. Si f (x) est continue pour toutes les valeurs X segment, à l'exception du point c, où f (x) a une discontinuité infinie, alors intégrale impropre du second type de f (x) allant de a à b appelé le montant :

si ces limites existent et sont finies. La désignation:

Exemples de calcul d'intégrales

Exemple 3.30. Calculer dx / (x + 2).

Décision. On note t = x + 2, alors dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln |x + 2 | + C.

Exemple 3.31... Trouvez tgxdx.

Décision. tgxdx = sinx / cosxdx = - ∫dcosx / cosx. Soit t = cosx, alors ∫ tgxdx = -∫ dt / t = - ln | t | + C = -ln | cosx | + C.

Exemple3.32 ... Trouver dx / sinx

Décision.

Exemple3.33. Trouver .

Décision. = .

Exemple3.34 ... Trouvez ∫arctgxdx.

Décision. Nous intégrons par parties. On pose u = arctgx, dv = dx. Alors du = dx / (x 2 +1), v = x, d'où ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C ; comme
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.

Exemple3.35 ... Calculez lnxdx.

Décision. En appliquant la formule d'intégration par parties, on obtient :
u = lnx, dv = dx, du = 1 / x dx, v = x. Alors ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1 / x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

Exemple3.36 ... Évaluer ∫e x sinxdx.

Décision. On note u = e x, dv = sinxdx, puis du = e x dx, v = ∫sinxdx = - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. L'intégrale ∫e x cosxdx est aussi intégrable par parties : u = e x, dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. On a:
e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. On a la relation ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, d'où 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + С.

Exemple 3.37. Calculez J = cos (lnx) dx / x.

Décision. Puisque dx / x = dlnx, alors J = ∫cos (lnx) d (lnx). En remplaçant lnx par t, on arrive à l'intégrale tabulaire J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.

Exemple 3.38 ... Calculez J =.

Décision. Considérant que = d (lnx), nous substituons lnx = t. Alors J = .

Exemple 3.39 ... Calculer l'intégrale J = .

Décision. On a: ... Donc =
=
=. entré comme ce sqrt (tan (x / 2)).

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