Iracionalna funkcija iz varijable je funkcija koja se formira iz varijabilnih i proizvoljnih konstanti koristeći konačni broj operacija dodavanja, oduzimanje, množenja (erekcije u cijeli broj), podjelu i ekstrakciju korijena. Iracionalna funkcija razlikuje se od racionalnog u tome što iracionalna funkcija sadrži operacije ekstrakcije korijena.

Postoje tri glavne vrste iracionalnih funkcija, neizvjesni integrali iz kojih se daju integralima od racionalnih funkcija. To su integrali koji sadrže korijene proizvoljnih cijelih stupnjeva iz frakcijske linearne funkcije (korijeni mogu biti različitih stupnjeva, ali iz iste, djelomične linearne funkcije); Integrali iz diferencijalnog binoma i integrala s kvadratnim korijenom kvadratnih triju snimaka.

Važna napomena. Korijeni su smisleni!

Pri izračunavanju integrala koji sadrže korijene, vrsta obrasca se često nalaze, gdje postoji neka funkcija iz integracijske varijable. Trebalo bi to imati na umu. To jest, s t\u003e 0, | t | \u003d T. , S T.< 0, | t | \u003d - t. Stoga, prilikom izračunavanja takvih integrala potrebno je zasebno razmotriti slučajeve t\u003e 0 i T.< 0 , To se može učiniti ako pišete znakove ili gdje je potrebno. Implicirajući da se gornji znak odnosi na slučaj t\u003e 0 , i dno - u slučaju t< 0 , Uz daljnju konverziju, ovi znakovi se obično međusobno smanjuju.

Drugi pristup je moguć, u kojem se integrirana funkcija i rezultat integracije mogu smatrati složenim funkcijama iz složenih varijabli. Tada ne možete slijediti znakove u odvojenim izrazima. Ovaj pristup je primjenjiv ako je integrirana funkcija analitička, to jest, diferencirana funkcija iz složene varijable. U ovom slučaju, integrirana funkcija i integrala su više vrijednosti. Stoga, nakon integracije, pri zamjeni numeričkih vrijednosti, potrebno je odabrati nedvosmislenu podružnicu (riimansku površinu) funkcije integrand i odabrati odgovarajuću granu rezultata integracije.

Linearna iracionalnost

To su integrali s korijenima iz iste frakcijske linearne funkcije:
,
Gdje je r racionalna funkcija - racionalni brojevi, m 1, n 1, ..., m s, n s su cijeli brojevi, α, β, y, δ - valjani brojevi.
Takvi integrali se reduciraju na integralni od racionalne značajke:
gdje je n uobičajeni nazivnik brojeva R1, ..., R s.

Korijeni ne moraju nužno biti iz frakcijske linearne funkcije, ali i iz linearne (γ \u003d 0, δ \u003d 1) ili iz varijable integracije X (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).

Ovdje su primjeri takvih integrala:
, .

Integrali iz diferencijalnih binoma

Integrali iz diferencijalnih binome imaju oblik:
,
Gdje m, n, p je racionalni brojevi, a, b - važeći brojevi.
Takvi integrali se reduciraju na integrale iz racionalnih funkcija u tri slučaja.

1) ako je P cijeli broj. Supstitucija x \u003d t n, gdje je n ukupni nazivnik frakcija m i N.
2) ako - cjelina. Supstitucija A X N + B \u003d T M, gdje m je broj brojeva p.
3) ako - cjelina. Supstitucija A + B X - N \u003d T M, gdje je m nazivnik broja P.

U drugim slučajevima, takvi integrali se ne izražavaju putem elementarnih funkcija.

Ponekad se takvi integrali mogu pojednostaviti pomoću formula:
;
.

Integrali koji sadrže kvadratni korijen kvadratnih tri

Takvi integrali su:
,
gdje je R racionalna funkcija. Za svaki takav integral postoji nekoliko metoda rješenja.
1) Koristeći transformacije dovesti do jednostavnijih integrala.
2) Primjenjivati \u200b\u200btrigonometrijske ili hiperbobličke supstitucije.
3) Primijenite supstitucije EULER-a.

Razmotrite ove metode detaljnije.

1) Konverzija funkcije integrakta

Koristeći formulu i izvođenje algebarske transformacije, donesite funkciju ponovnog uvođenja na umu:
,
gdje je φ (x), ω (x) racionalne funkcije.

Ja tip

Sastavni dio obrasca:
,
gdje je p n (x) polinomni stupanj n.

Takvi integrali su metoda neizvjesnih koeficijenata koji koriste identitet:

.
Razlikovanje ove jednadžbe i izjednačavaju lijevi i desni dijelovi, smatramo da su koeficijenti i.

Tipa

Sastavni dio obrasca:
,
gdje je P (X) polinomlna stupnja m.

Zamjena t \u003d. (X - α) -1 Ovaj integral je odveden na prethodni tip. Ako m ≥ n, tada se frakcija treba dodijeliti cijelom dijelu.

Tipa iii

Ovdje radimo zamjenu:
.
Nakon čega će integral uzeti obrazac:
.
Sljedeći, trajni α, β, morate odabrati tako da se u nazivu koeficijenti na t okrenuli na nulu:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Zatim integralni raspada zbroj integrala dvaju vrsta:
,
,
koje su integrirane supstitucijama:
u2 \u003d 1 t 2 + c 1,
v 2 \u003d 1 + C1 t -2.

2) trigonometrijske i hiperboličke supstitucije

Za integrale obrasca, a > 0 ,
Imamo tri glavne supstitucije:
;
;
;

Za integrale, a > 0 ,
Imamo sljedeće zamjene:
;
;
;

I konačno za integrale, a > 0 ,
Supstitucije su sljedeće:
;
;
;

3) supstitucije euler

I integrali se mogu svesti na integrale od racionalnih funkcija jedne od tri supstitucije EULERA:
, s\u003e 0;
, s c\u003e 0;
gdje je X 1 korijen jednadžbe A x 2 + B X + C \u003d 0. Ako ova jednadžba ima valjane korijene.

Eliptični integrali

U zaključku, razmotrite integrale obrasca:
,
gdje je R racionalna funkcija. Takvi integrali se nazivaju eliptički. Općenito, oni se ne izražavaju putem osnovnih funkcija. Međutim, postoje slučajevi kada postoje odnosi između koeficijenata A, B, C, D, E, s takvim integralima izraženi su elementarnim funkcijama.

Ispod je primjer povezan s povratnim polinom. Izračun takvih integrala provodi se pomoću supstitucija:
.

Primjer

Izračunajte integral:
.

Odluka

Napraviti zamjenu.

.
Ovdje na x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) Uzimamo vrh znak '+'. S X.< 0 (U.< 0 ) - Niži '-'.

.

Odgovor

Reference:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, prikupljanje zadataka na većoj matematici, "LAN", 2003.

Pronalaženje neodrežnog integrala je vrlo čest zadatak u većoj matematici i drugim tehničkim dijelovima znanosti. Čak i rješenje najjednostavnijih fizičkih zadataka često nije potrebno bez izračuna nekoliko jednostavnih integrala. Stoga, iz školske dobi učemo nas tehnike i metode rješavanja integrala, postoje brojni tablice s integralima najjednostavnijih funkcija. Međutim, s vremenom, sve to je sigurno zaboravljeno, ili nemamo dovoljno vremena za provjeru ili trebamo pronaći odluku nesigurnog integralnog Iz vrlo složene funkcije. Da biste riješili te probleme, naša usluga će biti neophodna za vas, omogućujući vam nepogrešivo pronalaženje neodređenog integralnog online.

Riješite neodređeni integralni

Online servis na web stranica Omogućuje vam da pronađete rješenje Integral Online Brzo, besplatno i učinkovito. Pretraživanje na tablicama željenog integrala možete zamijeniti na našu uslugu, gdje brzo unosite željene funkcije, dobit ćete rješenje za neodrežnu integralnu u tablici. Nisu sve matematičke web-lokacije u mogućnosti izračunati neodređene integrale funkcija na mreži brzo i učinkovito, osobito ako želite pronaći nesiguran integral Iz složenih funkcija ili značajki koje nisu uključene u ukupnu stopu veće matematike. Web stranica web stranica će pomoći riješite integral online i nositi se s zadatkom. Koristeći online rješenje Integral na web-mjestu web-lokacije, uvijek ćete dobiti točan odgovor.

Čak i ako želite sami izračunati integral, zahvaljujući našoj usluzi to će biti lako da provjerite svoj odgovor, pronađite pretpostavljenu pogrešku ili popis, ili pobrinite se da je zadatak besprijekoran. Ako riješite zadatak i vi kao pomoćni učinak morate izračunati neograničen integral, zašto onda gubiti vrijeme na ovim akcijama koje su možda već učinili tisuću puta? Štoviše, dodatni izračuni integralnog može biti uzrok korištenja ili malih pogrešaka koji su naknadno doveli do netočnog odgovora. Samo upotrijebite naše usluge i pronađite nedefinirani integralni online bez napora. Za praktične zadatke sastavni Funkcije na liniji Ovaj poslužitelj je vrlo koristan. Morate unijeti određenu funkciju, dobiti online odluka neodrežnog integrala I usporedite odgovor s odlukom.

Složeni integrali

Ovaj članak dovršava predmet neizvjesnih integrala, au njoj su uključeni integrali koje smatram prilično komplicirano. Lekcija je nastala na ponovljenim zahtjevima posjetitelja koji su izrazili želje, tako da su više teški primjeri rastavljeni na mjestu.

Pretpostavlja se da je čitatelj ovog teksta dobro pripremljen i zna kako primjenjivati \u200b\u200bglavne tehnike integracije. Čajni i ljudi koji se ne vjeruju integralima trebaju se uputiti na prvu lekciju - Nesiguran integral. Primjeri otopinagdje možete ovladati temom s gotovo nulom. Više iskusni studenti mogu se upoznati s tehnikama i metodama integracije, koje u mom člancima još nisu se sreli.

Koje će se integrale razmotriti?

Prvo, razmotrit ćemo integrale s korijenima, za rješavanje koji se dosljedno koristi zamjena varijable i integracija u dijelovima, To jest, u jednom primjeru, dva prijema se kombiniraju. I još više.

Onda ćemo se upoznati s zanimljivim i originalnim informacije o metodi integralni prema sebi, Ova metoda je riješena ne tako malo integrala.

Treći broj programa će ići integralima iz složenih frakcija koje su letjeli pokraj gotovinskih registara u prethodnim člancima.

Četvrto, dodatni integrali iz trigonometrijskih funkcija bit će rastavljeni. Konkretno, postoje metode koje vam omogućuju da izbjegnete vrijeme potrošnje univerzalne trigonometrijske supstitucije.

(2) U funkciji integrade, brojčanik na nazivnicu.

(3) Koristite svojstvo linearnosti neodređenog integrala. U posljednjem integralu odmah funkciju pomesti pod znakom diferencijala.

(4) Uzmite preostale integrale. Imajte na umu da u logaritmu možete koristiti zagrade, a ne modul, od tada.

(5) Držimo zamjenu, izražavajući se od izravne zamjene "TE":

Mazochian studenti mogu nesigurni odgovor i dobiti originalnu funkciju integrakta kao što sam upravo učinio. Ne, ne, ispunio sam potvrdu u pravom smislu \u003d)

Kao što možete vidjeti, tijekom odluke morao sam koristiti još više od dvije odluke rješenja, pa za odmazde sa sličnim integralima, potrebne su sigurne integracijske vještine, a ne najmanji doživljaj.

U praksi, naravno, kvadratni korijen je češći, ovdje su tri primjera za neovisno rješenje:

Primjer 2.

Pronaći neodređeni integralni

Primjer 3.

Pronaći neodređeni integralni

Primjer 4.

Pronaći neodređeni integralni

Ovi primjeri istog tipa, tako da cjelovito rješenje na kraju članka bit će samo na primjer 2, u primjerima 3-4 - jedan odgovori. Koju zamjenu primjenjuju na početku odluka, mislim da očito mislim. Zašto sam pokupio istu vrstu primjera? Često se nalaze u vašoj ulozi. Češće, možda, samo nešto slično .

Ali ne uvijek, kada je pod ArkTennes, sinus, kosine, eksponencijalne itd. Značajke su korijen linearne funkcije, moraju se primijeniti nekoliko metoda. U nekim slučajevima moguće je "riješiti se", to jest, odmah nakon zamjene, dobiva se jednostavan integralni, što je elementarno traje. Najlakši od predloženih zadataka je primjer 4, u njemu nakon zamjene ispada relativno jednostavan integralni.

Informacije o metodi integralni prema sebi

Duhovita i lijepa metoda. Odmah razmislite o klasici žanra:

Primjer 5.

Pronaći neodređeni integralni

Pod korijenom nalazi se kvadratni biccoon, a kada pokušavate integrirati ovaj primjer, čajnik može patiti satima. Takav integralni se uzima u dijelovima i svodi se na sebe. U načelu, nije teško. Ako znate kako.

Označite razmatranim integralom latinskog pisma i započnite rješenje:

Integrirali smo se u dijelove:

(1) Pripremamo zamjensku funkciju za podjelu tla.

(2) Podijelite zamjensku funkciju. Možda ne za sve jasno, napisat ću detaljnije:

(3) Koristite svojstvo linearnosti neodređenog integrala.

(4) Uzmite posljednji integralni ("dugi" logaritam).

Sada gledamo na samog početka odluke:

I na kraju:

Što se dogodilo? Kao rezultat naših manipulacija, integralni je stigao do sebe!

Izjednačavamo početak i kraj:

Prelazimo na lijevu stranu promjenom znaka:

I demo leže desnoj strani. Kao rezultat:

Konstanta, strogo govoreći, moralo se dodati ranije, ali je pripisao na kraju. Preporučujem čitanja onoga što je ovdje za strogost:

Bilješka: Stroga završna faza rješenja izgleda ovako:

Na ovaj način:

Konstantna se može ponovno koristiti. Zašto možete ponovno preispitivati? Jer još uvijek traje bilo koji Vrijednosti, iu tom smislu između konstanti i nema razlike.
Kao rezultat:

Takav trik s reissided konstatom se široko koristi u diferencijalne jednadžbe, I tamo ću biti strog. I ovdje je takva sloboda dopuštala samo da vas ne mogu zbuniti s suvišnim stvarima i usredotočiti se na sam način integracije.

Primjer 6.

Pronaći neodređeni integralni

Još jedan tipičan integralni za samoodređenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Razlika s odgovorom prethodnog primjera bit će!

Ako je kvadratni korijen kvadratni trostruki, tada se otopina u svakom slučaju smanjuje na dva rastavljena primjera.

Na primjer, razmotrite integral , Sve što trebate učiniti je odaberite cijeli kvadrat:
.
Zatim se provodi linearna zamjena koja košta "bez ikakvih posljedica":
Kao rezultat toga, dobiva se integral. Nešto poznato, zar ne?

Ili takav primjer, s kvadratnim odskočeno:
Označavamo cijeli kvadrat:
I nakon linearne zamjene dobivamo integralni, koji je također riješen algoritmom koji se već razmatra.

Razmotrite još dva tipični primjeri o primitku informacija sastavnice:
- sastavni dio iz poglavice pomnoženog sinusom;
- Integral s kaznu pomnoženog ausinom.

U navedenim integralima u dijelovima morat će se međusobno integrirati:

Primjer 7.

Pronaći neodređeni integralni

Funkcija integrakta je izlagač pomnožen sinusom.

Mi smo integrirati dva puta u dijelove i donijeti sastavni dio:

Kao rezultat dvostrukog integracije u dijelovima, integral se stigao na sebe. Izjednačavamo početak i završna rješenja:

Prelazimo na lijevu stranu promjenom znaka i izrazimo naš integralni:

Spreman. Također, poželjno je boriti se protiv desne strane, tj. Napraviti eksponent za zagrade, au uglatim zagradama ležati sinus s kosinom u "lijepom" naredbi.

Sada se vratimo na početak primjera ili radije - na integraciju u dijelove:

Jer smo odredili izlagač. Postavlja se pitanje, uvijek je potrebno uputiti se na izlagač? Nije potrebno. Zapravo, u ispitnom integralnom načelo nema razlikeŠto se odnose na, bilo je moguće ići na drugi način:

Zašto je to moguće? Budući da se izlagač pretvara u sebe (i za vrijeme diferencijacije, a za vrijeme integracije), sinus s kosinom se međusobno postaje (opet - i tijekom diferencijacije, a za vrijeme integracije).

To jest, trigonometrijska funkcija može biti označena. No, u ispitivanom primjeru, to je manje racionalno, jer će se frakcije pojaviti. Ako želite, možete pokušati riješiti ovaj primjer na drugi način, odgovori se moraju podudarati.

Primjer 8.

Pronaći neodređeni integralni

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Prije nego što odlučite, razmislite o tome je profitabilnije u ovom slučaju za označavanje, eksponent ili trigonometrijsku funkciju? Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I, naravno, ne zaboravite da je većina odgovora ove lekcije prilično lako provjeriti diferencijaciju!

Primjeri nisu smatrani najtežim. U praksi se integrali češće nalaze, gdje postoji konstanta u pokazivaču eksponenta iu argumentu trigonometrijske funkcije, na primjer:. Misao u sličnom integralu morat će učiniti mnogo, često me zbuniti. Činjenica je da je u rješavanju vjerojatnosti pojave frakcija i vrlo je jednostavno nešto intenzivno izgubiti. Osim toga, vjerojatnost pogrešaka u znakovima je velika, imajte na umu da u indikatoru eksponenta postoji znak minusa, a to čini dodatne poteškoće.

U završnoj fazi se često dobiva približno sljedeće:

Čak i na kraju odluke treba biti vrlo pažljivi i kompetentno se bave frakcijama:

Integriranje složenih frakcija

Polako dolazimo do ekvatora za lekciju i početi razmotriti integrale iz frakcija. Opet, nisu svi oni superswit, samo iz jednog razloga ili drugi primjeri bili su malo "ne u temi" u drugim člancima.

Nastavljamo temu korijena

Primjer 9.

Pronaći neodređeni integralni

U denominatoru, ispod korijena nalazi se kvadratni trobojni plus izvan korijena "poboljšanje" u obliku "iksa". Integral ovog tipa rješava se standardnom zamjenom.

Mi odlučujemo:

Zamjena ovdje je jednostavna:

Pogledamo život nakon zamjene:

(1) Nakon zamjene, dajemo ukupnim nazivima denominatora pod korijenom.
(2) Tražimo iz korijena.
(3) Numerator i nazivnik koji se smanjuje na. U isto vrijeme, pod korijenom, preuremio sam komponente u ugodnom redu. Uz određeni eksperiment, koraci (1), (2) mogu se preskočiti izvođenjem komentiranih radnji usmeno.
(4) nastali integralni, kao što se sjećate od lekcije Integriranje nekih frakcija, odlučuje način dodjele punog trga, Odaberite cijeli kvadrat.
(5) Integracija dobivamo krajnji "dugi" logaritam.
(6) provesti zamjenu. Ako u početku, onda natrag :.
(7) Završna akcija je usmjerena na frizuru rezultata: pod korijenom, ponovno donose komponente u ukupni nazivnik i izdržljivi iz korijena.

Primjer 10.

Pronaći neodređeni integralni

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Ovdje je konstanta dodana usamljenu "ICSU", a zamjena je gotovo ista:

Jedina stvar koju trebate dodatno učiniti je izraziti "X" od zamjene:

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Ponekad u takvom integralu pod korijenom može biti kvadratna kapic, ne mijenja rješenje za rješavanje, bit će još lakše. Osjeti razliku:

Primjer 11.

Pronaći neodređeni integralni

Primjer 12.

Pronaći neodređeni integralni

Kratke odluke i odgovore na kraju lekcije. Treba napomenuti da je primjer 11 upravo binomlni integralni, čija se odluka razmatra u lekciji Integrali iz iracionalnih funkcija.

Integral od neobrađenog polinom drugog stupnja do stupnja

(polinom u denominatoru)

Više rijetkih, ali, ipak, u praktičnim primjerima, pogled na integral.

Primjer 13.

Pronaći neodređeni integralni

Ali vratimo se na primjer sa sretnim brojem 13 (iskreno, nije se uklopio). Ovaj integral je također iz kategorije onih s kojima možete biti dovoljno prilično ako ne znate kako riješiti.

Odluka počinje s umjetnom transformacijom:

Kako podijeliti brojčanika na imenovanje, mislim da je sve shvaćeno.

Dobiveni integral se uzima u dijelovima:

Za stavku (- prirodni broj) uklonjen ponavljajući Formula smanjenja stupnjeva:
gdje - integralni stupanj niže.

Bit ću uvjeren u pravdu ove formule za proročan integral.
U ovom slučaju,:, koristimo formulu:

Kao što možete vidjeti, odgovori se podudaraju.

Primjer 14.

Pronaći neodređeni integralni

Ovo je primjer za neovisno rješenje. U uzorku otopine, gore spomenuta formula je bila dvaput.

Ako se nalazi ispod stupnja neovisno o multiplikatorima Trg trostruka, tada se otopina spušta da bi se istaknula isticanjem kompletnog kvadrata, na primjer:

Što ako ste dodatno u brojčaniku postoji polinom? U tom slučaju se koristi metoda neodređenih koeficijenata, a integrirana funkcija je opisana u količini frakcija. Ali u mojoj praksi takvog primjera nisam se sreo, pa sam propustio ovaj slučaj u članku Integrali iz djelomične racionalne funkcijeNedostaje mi i sada. Ako se takav integralni još uvijek susreće, vidi udžbenik - sve je jednostavno tamo. Ne smatram da je koristan uključiti materijal (čak i jednostavan), vjerojatnost susreta s kojom teži za nulu.

Integracija složenih trigonometrijskih funkcija

Pridjev "kompleks" za većinu primjera je na mnogo načina uvjet. Počnimo s tangentima i kotancijom u visokim stupnjevima. Sa stajališta metoda rješavanja tangenta i kotangenta, gotovo istu stvar, tako da ću više govoriti o tangenti, što implicira da je dokazano prijem rješenja integrala poštena i za kotangent previše.

Na gore navedenoj lekciji razmotrili smo univerzalna trigonometrijska supstitucija Za rješavanje određene vrste integrala iz trigonometrijskih funkcija. Nedostatak univerzalne trigonometrijske supstitucije je da kada se koristi, često se javljaju glomazni integrali s teškim izračunima. U nekim slučajevima može se izbjeći univerzalne trigonometrijske supstitucije!

Razmotrite još jedan kanonski primjer, sastavni dio jedinice podijeljen na sinus:

Primjer 17.

Pronaći neodređeni integralni

Ovdje možete koristiti univerzalnu trigonometrijsku supstituciju i dobiti odgovor, ali postoji racionalniji put. Dat ću cjelovito rješenje s komentarima za svaki korak:

(1) Upotrijebite trigonometrijsku formulu dvostrukog kuta.
(2) Provodimo umjetnu transformaciju: u nazivniku ćemo se podijeliti i umnožavati.
(3) Prema poznatoj formuli u denominatoru, pretvaramo frakciju u tangenta.
(4) Okrenite funkciju pod znakom diferencijala.
(5) Uzmite sastavni dio.

Nekoliko jednostavnih primjera za neovisno rješenje:

Primjer 18.

Pronaći neodređeni integralni

NAPOMENA: Najprije prvo djelovanje treba koristiti formulom I pažljivo provesti slično prethodnom primjeru djelovanja.

Primjer 19.

Pronaći neodređeni integralni

Pa, ovo je vrlo jednostavan primjer.

Puna rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Mislim da sada nitko nema problema s integralima:
itd

Koja je ideja metode? Ideja je da uz pomoć transformacija, trigonometrijske formule organiziraju u integraju samo tangente i tangentni derivat. To jest, radi se o zamjeni: , U primjerima 17-19, zapravo smo primijenili tu zamjenu, ali integrali su bili tako jednostavni da je koštao ekvivalentan učinak - da sažeti funkciju pod znakom diferencijala.

Slični argumenti, kao što sam već propisao, možete potrošiti za kotangent.

Postoji formalni preduvjet za uporabu gornje zamjene:

Zbroj stupnjeva kosinusa i sinusa je cijeli negativan broj, npr.:

za integralni - cijeli negativan broj.

! Bilješka : Ako funkcija integrand sadrži samo sinus ili samo kosinus, onda je integral uzima se u negativnom stupnju (najjednostavniji slučajevi u primjerima br. 11, 18).

Razmotrite nekoliko informativnih zadataka za ovo pravilo:

Primjer 20.

Pronaći neodređeni integralni

Zbroj stupnjeva sinusa i kosine: 2 - 6 \u003d -4 je cijeli negativan broj, što znači da se integralni može svesti na tangente i njegov derivat:

(1) Pretvorimo nazivnik.
(2) Prema poznatoj formuli, dobivamo.
(3) Pretvorimo nazivnik.
(4) Koristimo formulu .
(5) Prepustite funkciju pod znakom diferencijala.
(6) zamjenjujemo. Više iskusni studenti ne mogu se zamijeniti, ali ipak je bolje zamijeniti tangentu s jednim slovom - manji rizik je zbunjen.

Primjer 21.

Pronaći neodređeni integralni

Ovo je primjer za neovisno rješenje.

Držite se, počinju prvaci \u003d)

Često u funkciji integrakta je "Solyanka":

Primjer 22.

Pronaći neodređeni integralni

U ovom integralu, tangenta je u početku prisutna, koja odmah slijedi u već poznatoj misli:

Umjetna transformacija na samom početku i ostaje preostali koraci bez komentara, jer je sve gore spomenuto.

Par kreativnih primjera za neovisno rješenje:

Primjer 23.

Pronaći neodređeni integralni

Primjer 24.

Pronaći neodređeni integralni

Da, naravno, naravno, moguće je smanjiti stupanj sinusa, kosine, koristiti univerzalnu trigonometrijsku supstituciju, ali odluka će biti mnogo učinkovitija i kraća ako se provodi kroz tangente. Kompletno rješenje i odgovore na kraju lekcije

Funkcija F (x), diferencijalna u ovom prazninu, zove se savršeno za funkciju F (x), ili integralom iz F (x), ako za bilo koji X ∈x, jednakost je istinita:

F "(x) \u003d f (x). (8.1)

Pronalaženje svih primarnih za ovu značajku naziva se integracija. Nesigurna integralna funkcijaf (x) na ovom prazninu naziva se skup svih primitivnih funkcija za funkciju F (X); Oznaka -

Ako je f (x) neka vrsta funkcionalne funkcije f (x), zatim ∫F (X) DX \u003d f (X) + C, (8,2)

gdje postoji proizvoljna konstanta.

Integrali stolova

Izravno iz definicije dobivamo osnovna svojstva nesigurnog integrala i popis tabularnih integrala:

1) D∫F (X) DX \u003d F (X)

2) ∫df (X) \u003d f (x) + c

3) ef (X) dx \u003d aff (X) DX (a \u003d const)

4) (F (X) + G (X)) DX \u003d ∫F (X) DX + ∫G (X) DX

Popis tabularnih integrala

1. ∫x m DX \u003d x M + l / (M + l) + C; (m ≠ -1)

3. XA X DX \u003d X / ln A + C (a\u003e 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx \u003d e x + c

5. XSin x dx \u003d cosx + c

6.∫cos x dx \u003d - sin x + c

7. \u003d ARCTG X + C

8. \u003d Arcsin X + C

10. \u003d - CTG X + C

Zamjena varijable

Za integraciju mnogih funkcija, metoda zamjene varijable ili supstitucijeomogućujući donijeti integrale u tablični oblik.

Ako je funkcija F (z) kontinuirana u [a, β], funkcija Z \u003d g (x) ima kontinuirani derivat i α ≤ g (X) ≤ β, zatim

∫ F (g (x)) g "(X) DX \u003d ∫f (Z) DZ, (8,3)

Štoviše, nakon integracije, supstitucija z \u003d g (x) treba napraviti u desnom dijelu.

Da biste dokazali, dovoljno je napisati izvornu cjelinu u obliku:

∫ f (g (x)) g "(X) DX \u003d F (g (X)) DG (X).

Na primjer:

Metoda integracije u dijelovima

Neka U \u003d f (x) i v \u003d g (x) biti funkcije koje su kontinuirane. Zatim, po poslu,

d (UV)) \u003d UDV + VDU ili UDV \u003d D (UV) - VDU.

Za izraz D (UV), prvi, očito, bit će UV, tako da je formula:

∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)

Ova formula izražava pravilo integracija u dijelovima, To rezultira integracijom ekspresije UDV \u003d UV "DX za integraciju ekspresije VDU \u003d VU" DX.

Neka, na primjer, morate pronaći ∫xcosx dx. Stavite u \u003d x, DV \u003d cosxdx, tako da du \u003d dx, v \u003d sinx. Zatim

∫xcosxdx \u003d ∫x d (sin x) \u003d x sin x - ∫Sin x dx \u003d x grijeh x + cosx + c.

Pravilo integracije u dijelovima ima ograničeniji opseg od zamjene varijable. Ali postoje cijele klase integrala, na primjer,

∫x K LN M XDX, ∫x k SenbxDx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax i drugi koji se izračunavaju pomoću integracije u dijelovima.

Određeni integralni

Koncept određenog integrala je poboljšan kako slijedi. Neka F (x) funkcija definira na segmentu. Prekidamo segment [a, b] n. dijelovi točkica a \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Zbroj obrasca f (ξ i) δ x i nazivam se cjelokupni iznos, a granica na λ \u003d max® i → 0, ako postoji i postoji konačan, nazvan Određeni integralnifunkcije F (x) iz a. prije b. I naznačeno:

F (ξ i) Δx i (8.5).

Funkcija F (x) u ovom slučaju se zove integriv na rezanje, brojevi A i B se nazivaju niža i gornja cjelovita granica.

Za određeni integralni, sljedeća svojstva važe:

4), (k \u003d const, k∈ C);

5)

6)

7) f (ξ) (b - a) (ξ∈).

Posljednje nekretnine se zove Teorest na prosječnom značenju.

Neka f (x) bude kontinuirano uključeno. Zatim postoji neograničen integralni na ovom segmentu

∫f (x) dx \u003d f (x) + c

i odvija se formula Newton Labitsa, obvezujući određeni integralni s neizvjesnim:

F (b) - f (a). (8.6)

Geometrijska interpretacija: određeni integralni je područje curvilinear trapeza, ograničeno odozgo krivulje y \u003d f (X), ravnog X \u003d A i X \u003d B i segment osi VOL..

Nevažeći integrali

Pozivaju se integrali s beskonačnim granicama i integralima iz diskontinuiranih (neograničenih) funkcija nespojivo. Nespojivi integrali ja vrsta - To su integrali na beskonačnom razmaku definiranom na sljedeći način:

(8.7)

Ako ova granica postoji i je konačan, onda se zove konvergirajući nepotpun integral iz F (x) na intervalu [a, + ∞), a funkcija F (x) se zove integriran u beskonačni interval[A, + ∞). Inače o integralnom kažu ne postoji ili se razlikuje.

Na isti način određuju se nerazumljivi integrali u intervalima (-∞, b] i (-∞, + ∞):

Definiramo koncept integrale iz neograničene funkcije. Ako je F (x) kontinuirano za sve vrijednosti x. Izrezati, osim točke C, u kojoj F (x) ima beskrajnu prazninu, zatim nespojivi integralni rod II F (x) u rasponu od do b Količina se zove:

ako postoje te granice i su konačni. Oznaka:

Primjeri izračuna integrala

Primjer 3.30. Izračunajte ∫dx / (X + 2).

Odluka. Označiti t \u003d x + 2, zatim DX \u003d dt, ∫dx / (X + 2) \u003d ∫t / t \u003d ln | t | + C \u003d ln | x + 2 | + C.

Primjer 3.31., Pronađite ∫ tgxdx.

Odluka.∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Neka t \u003d cosx, zatim ∫ tgxdx \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -ln | cosx | + C.

Primjer3.32 , Pronađite ∫dx / Sinx

Odluka.

Primjer3.33. Pronaći .

Odluka. = .

Primjer3.34 , Pronađite rctgxdx.

Odluka. Integriramo u dijelove. Označava U \u003d ARCTGX, DV \u003d DX. Zatim du \u003d DX / (x 2 + 1), v \u003d X, odakle emrtctgxdx \u003d Xarctgx - ∫ XDX / (x 2 + 1) \u003d XARCTGX + 1/2 lN (X 2 + 1) + C; kao
∫xDX / (x 2 + 1) \u003d 1/2 ∫d (X2 + 1) / (x 2 + 1) \u003d 1/2 ln (X2 + 1) + c.

Primjer3.35 , Izračunati ∫lnxdx.

Odluka. Koristeći formulu integracije u dijelovima, dobivamo:
U \u003d LNX, DV \u003d DX, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Zatim ∫nxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d XLNX - ∫dx + C \u003d XLNX - X + C.

Primjer3.36 , Izračunajte ∫e x sinxdx.

Odluka. Označite U \u003d E X, DV \u003d SINXDX, zatim du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → → e x sinxdx \u003d - e x cosx + cosxdx. Integral ∫ X cosxdx također integrirajte u dijelove: U \u003d e x, DV \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx. Imamo:
∫ e x cosxdx \u003d e x sinx - ∫ e x sinxdx. Primljeni ∫ X SINXDX \u003d - E X cosx + e x sinxdx, odakle 2.∫e x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + s

Primjer 3.37. Izračunajte J \u003d ∫Cos (LNX) DX / X.

Odluka.Od DX / X \u003d DLNX, zatim J \u003d ∫C (LNX) d (LNX). Zamjena LNX-a kroz T, dolazimo do stola Integral J \u003d COSTDT \u003d Sint + C \u003d SIN (LNX) + C.

Primjer 3.38 , Izračunati J \u003d.

Odluka. S obzirom da \u003d D (LNX) proizvodimo LNX \u003d T zamjenu. Onda J \u003d. .

Primjer 3.39 , Izračunati integral J \u003d .

Odluka.Imamo: , Stoga \u003d.
=
\u003d. Upisano je tako sqrt (tan (x / 2)).

A ako kliknete na korake show u gornjem desnom kutu, onda dobiti detaljno rješenje.