Forma extinsă și scurtă de scriere a unui număr. Forme extinse și restrânse de scriere a numerelor. Informații generale despre sistemele numerice

Baza unui sistem de numere pozițional este un întreg q, care este ridicat la o putere.

Baza unui sistem de numere poziționale este o succesiune de numere, fiecare dintre acestea determinând echivalentul cantitativ (greutatea) unui simbol, în funcție de locul acestuia în codul numeric.

Baza zecimală: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…

Baza unui sistem de numere pozițional arbitrar: ... q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …

Baza în orice sistem este descrisă ca 10, dar are o valoare cantitativă diferită. Acesta arată de câte ori se modifică valoarea cantitativă a unei cifre atunci când este mutată într-o poziție adiacentă. Sunt posibile multe sisteme poziționale, deoarece orice număr, nu mai puțin de 2, poate fi luat ca bază a sistemului numeric.

Numele sistemului de numere corespunde bazei acestuia (zecimal, binar, quinar etc.).

În sistemul numeric de bază q (q-sistem de numere arii) unitățile de cifre sunt puteri succesive ale unui număr q, cu alte cuvinte, q unitățile din orice categorie formează unitatea din următoarea categorie.

Pentru a scrie numere în q este necesar un sistem de numere q diverse caractere (numere) reprezentând numerele 0, 1, ..., q – 1.

Prin urmare, baza unui sistem de numere pozițional este egală cu numărul de caractere (caractere) din alfabetul său. Scrierea unui număr qîn q-sistemul de numere are forma 10.

Exemplul 1 Sistem de numere octale.

Baza: q = 8.

Alfabetul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7.

Numere: de exemplu, 45023.152 8 ; 751.001 8 .

Exemplul 2 Sistem numeric în cinci ori .

Baza: q = 5.

Alfabetul: 0, 1, 2, 3 și 4.

Numere: de exemplu, 20304 5 ; 324,03 5 .

Exemplul 3 Sistemul numeric hexazecimal.

Baza: q = 16.

Alfabetul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Aici, doar zece cifre din șaisprezece au denumirea general acceptată 0-9. Pentru a scrie restul caracterelor alfabetului (10, 11, 12, 13, 14 și 15), se folosesc de obicei primele cinci litere ale alfabetului latin.

Numere: de exemplu, B5C3,1A2 16; 355.0FA01 8 .

În sistemul numeric pozițional, orice număr real poate fi reprezentat în următoarea formă:

A q = ±( un n–1× q n –1 + un n–2× q n –2 +…+ A 0 × q 0 + A–1× q –1 + A–2× q –2 +…+ A –m × q–m), (1) sau ±.

Aici ȘI - numărul în sine; q- radix;
un i- cifre aparținând alfabetului sistemului de numere dat; P - numărul de cifre întregi ale numărului; t - numărul de cifre fracționale ale numărului.

Expansiunea unui număr conform formulei (1) se numește notație extinsă . În caz contrar, această formă de notație se numește polinom sau putere.

Exemplul 1 Numar decimal ȘI 10 = 5867,91 conform formulei (1) se prezintă astfel:

A 10 \u003d 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 -1 + 1 × 10 -2.

Exemplul 2 Formula (1) pentru sistemul de numere octale are forma:

A 8 = ±( un n–1×8 n –1 + un n-2 × 8 n –2 +…+ A 0 × 80+ A–1 ×8 –1 + A–2 ×8 –2 +…+ a.m×8 - m),

Unde un i- numerele 0–7.

Numărul octal A 8 \u003d 7064,3 în forma (1) va fi scris după cum urmează:

A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 -1 .

Exemplul 3 număr de cinci ori ȘI 5 \u003d 2430.21 conform formulei (1) se va scrie după cum urmează:

ȘI 5 = 2 x 5 3 + 4 x 5 2 + 3 x 5" + 0 x 5° + 2 x 5 -1 + 1 x 5 -2 .

Evaluând această expresie, puteți obține echivalentul zecimal al numărului quinar specificat: 365,44 10 .

Exemplul 4În notație hexazecimală, intrarea 3 AF 16 înseamnă:

3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .

| Planificarea lecției și materialele pentru lecție | 8 clase | Planificarea lecțiilor pentru anul universitar (conform manualului de N.D. Ugrinovich) | Forme extinse și restrânse de scriere a numerelor. Traducere de la sistemul de numere arbitrar la zecimal

Lecția 19
Forme extinse și restrânse de scriere a numerelor. Traducere de la sistemul de numere arbitrar la zecimal

§ 4.1. Codificarea informațiilor numerice

4.1.2. Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale

Operațiile aritmetice în toate sistemele de numere poziționale sunt efectuate după aceleași reguli bine cunoscute.

Plus. Luați în considerare adăugarea numerelor în sistemul de numere binar. Se bazează pe tabelul de adunare a numerelor binare cu o singură cifră:

0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.

Este important să acordați atenție faptului că atunci când adăugați două unități, bitul se revarsă și are loc un transfer la bitul cel mai înalt. O depășire are loc atunci când valoarea unei cifre din ea devine egală sau mai mare decât baza sistemului numeric. Pentru sistemul de numere binar, această valoare este două.

Adăugarea numerelor binare cu mai multe cifre se realizează în conformitate cu tabelul de adăugare de mai sus, ținând cont de posibilele transferuri de la cifrele inferioare la cele superioare. De exemplu, să adăugăm numerele binare 110 2 și 11 2 într-o coloană:

Să verificăm corectitudinea calculelor prin adăugare în sistemul numeric zecimal. Să convertim numerele binare în sistemul numeric zecimal și apoi să le adăugăm:

Acum traducem rezultatul adunării binare într-un număr zecimal:

Comparați rezultatele - adăugarea este corectă.

Scădere. Luați în considerare scăderea numerelor binare. Se bazează pe un tabel de scădere de numere binare cu o singură cifră.

Când se scade dintr-un număr mai mic (0) unul mai mare (1), se face un împrumut din ordinul cel mai înalt. În tabel, împrumutul este indicat cu 1 cu o linie:

Scăderea numerelor binare cu mai multe cifre se efectuează în conformitate cu tabelul de scădere de mai sus, ținând cont de posibilele împrumuturi de la cifre de ordin înalt. De exemplu, să scădem numerele binare 110 2 și 11 2:

Multiplicare.Înmulțirea se bazează pe tabelul de înmulțire a numerelor binare cu o singură cifră:

Înmulțirea numerelor binare cu mai multe cifre se realizează în conformitate cu tabelul de înmulțire de mai sus, conform schemei uzuale utilizate în sistemul de numere zecimale, cu înmulțirea succesivă a multiplicatorului cu următoarea cifră a multiplicatorului. De exemplu, să înmulțim numerele binare 110 2 și 11 2:

Divizia. Operația de împărțire se efectuează conform unui algoritm similar cu algoritmul de divizare în sistemul numeric zecimal. De exemplu, să împărțim numărul binar 110 2 la 11 2:

Pentru a efectua operații aritmetice pe numere exprimate în sisteme numerice diferite, trebuie mai întâi să le traduceți în același sistem.

Sarcini pentru auto-împlinire

4.6. Întrebare cu un răspuns detaliat. Efectuați adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor binare 1010 2 și 10 2

Notaţie

Notaţie - acesta este un mod de reprezentare a numerelor și regulile corespunzătoare pentru operarea pe numere. Diferitele sisteme numerice care existau înainte și sunt folosite astăzi pot fi împărțite în nepoziționalăși pozițional. Semne folosite la scrierea numerelor, sunt numite numere.

LA sisteme numerice non-poziționale valoarea unei cifre nu depinde de poziția sa în număr.

Un exemplu de sistem de numere non-pozițional este sistemul roman (numerele romane). În sistemul roman, literele latine sunt folosite ca numere:

Exemplul 1 Numărul CCXXXII este format din două sute, trei zeci și două unități și este egal cu două sute treizeci și două.

Numerele romane sunt scrise de la stânga la dreapta în ordine descrescătoare. În acest caz, valorile lor sunt adăugate. Dacă un număr mai mic este scris în stânga și un număr mare în dreapta, atunci valorile lor sunt scăzute.

Exemplul 2

VI = 5 + 1 = 6; IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.

Exemplul 3

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

LA sisteme de numere poziționale valoarea notată printr-o cifră într-o intrare numerică depinde de poziția acesteia. Numărul de cifre utilizat se numește baza sistemului numeric pozițional.

Sistemul numeric folosit în matematica modernă este sistem zecimal pozițional. Baza lui este zece, pentru că Orice numere sunt scrise folosind zece cifre:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natura pozițională a acestui sistem este ușor de înțeles prin exemplul oricărui număr format din mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, primele trei înseamnă trei sute, a doua - trei zeci, a treia - trei unități.

Pentru a scrie numere într-un sistem pozițional cu o bază n Trebuie avut alfabet din n cifre. De obicei pentru asta n < 10 используют n primele cifre arabe și n> 10 litere sunt adăugate la zece cifre arabe. Iată exemple de alfabete din mai multe sisteme:

Dacă este necesar să se indice baza sistemului căreia îi aparține numărul, atunci i se atribuie un indice acestui număr. De exemplu:

1011012, 36718, 3B8F16.

În sistemul numeric de bază q (q-sistem de numere arii) unitățile de cifre sunt puteri succesive ale unui număr q. q unitățile din orice categorie formează unitatea din următoarea categorie. Pentru a scrie un număr q este necesar un sistem de numere q diverse caractere (numere) reprezentând numerele 0, 1, ..., q– 1. Scrierea unui număr qîn q-sistemul de numere are forma 10.

Forma extinsă de scriere a unui număr

Lăsa Aq- numărul în sistemul de bază q, ai - cifre ale unui sistem de numere dat prezente în notația unui număr A, n+ 1 - numărul de cifre ale părții întregi a numărului, m- numărul de cifre ale părții fracționale a numărului:

Forma extinsă a unui număr ȘI se numește înregistrare sub forma:

De exemplu, pentru un număr zecimal:

Următoarele exemple arată forma extinsă a numerelor hexazecimale și binare:

În orice sistem numeric, baza sa este scrisă ca 10.

Dacă toți termenii în forma extinsă a unui număr non-zecimal sunt prezentați în sistemul zecimal și expresia rezultată este calculată conform regulilor aritmeticii zecimale, atunci se va obține un număr în sistemul zecimal egal cu cel dat. Conform acestui principiu, se face o conversie dintr-un sistem non-zecimal la unul zecimal. De exemplu, conversia în sistemul zecimal a numerelor scrise mai sus se face astfel:

Forma extinsă a unui număr ȘI se numește înregistrare sub forma:

De exemplu, pentru un număr zecimal:

Următoarele exemple arată forma extinsă a numerelor hexazecimale și binare:

În orice sistem numeric, baza sa este scrisă ca 10.

Conversia numerelor zecimale în alte sisteme numerice

Traducere intreg

număr zecimal întreg X trebuie transferat la un sistem cu o bază q: X = (A n A n-1... A 1 A 0) q. Trebuie să găsiți cifrele semnificative ale numărului: .Să reprezentăm numărul în formă extinsă și să realizăm transformarea identică:

De aici este clar că A 0 este restul împărțirii numărului X pe număr q. Expresia din paranteze este câtul întreg al acestei împărțiri. Să-l desemnăm ca X 1. Efectuând transformări similare, obținem:

Prin urmare, A 1 este restul diviziunii X 1 pe q. Continuând împărțirea cu un rest, vom obține o succesiune de cifre a numărului dorit. Număr unîn acest lanț de diviziuni va fi ultimul privat, mai mic q.

Să formulăm regula rezultată: pentru a converti un număr zecimal întreg într-un sistem numeric cu o bază diferită, aveți nevoie:

1) exprimă baza noului sistem numeric în sistemul numeric zecimal și efectuează toate acțiunile ulterioare conform regulilor aritmeticii zecimale;

2) împărțiți succesiv numărul dat și coeficientii parțiali rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un coeficient incomplet mai mic decât divizorul;

3) resturile primite, care sunt cifre ale unui număr din noul sistem de numere, le aliniază cu alfabetul noului sistem de numere;

4) compuneți un număr în noul sistem de numere, notându-l pornind de la ultimul număr privat.

Exemplul 1 Convertiți numărul 37 10 în sistem binar.

Pentru a desemna numere în notația unui număr, folosim simbolismul: A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0

Prin urmare: 37 10 = l00l0l 2

Exemplul 2 Convertiți numărul zecimal 315 în sisteme octale și hexazecimale:

De aici rezultă: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Amintiți-vă că 11 10 = B 16 .

Zecimal X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, A –1 A –2 … A–m+1 A–m) q. Trebuie să găsiți cifrele semnificative ale numărului: A –1 ,A –2 , …, A–m. Să reprezentăm numărul în formă extinsă și să-l înmulțim cu q:

De aici este clar că A-1 este întreaga parte a lucrării X pe număr q. Notează prin X 1 parte fracțională a produsului și înmulțiți-o cu q:

Prin urmare, A-2 este întreaga parte a produsului X 1 pe număr q. Continuând înmulțirea, vom obține o succesiune de cifre. Acum să formulăm regula: pentru a converti o fracție zecimală într-un sistem numeric cu o bază diferită, aveți nevoie:

1) înmulțiți succesiv numărul dat și părțile fracționale rezultate ale produselor cu baza noului sistem până când partea fracțională a produsului devine egală cu zero sau se atinge precizia necesară de reprezentare a numărului în noul sistem numeric;

2) părțile întregi rezultate ale produselor, care sunt cifrele unui număr din noul sistem de numere, le aliniază cu alfabetul noului sistem de numere;

3) alcătuiți partea fracțională a numărului în noul sistem de numere, începând cu partea întreagă a primului produs.

Exemplul 3 Convertiți zecimalul 0,1875 în binar, octal și hexazecimal.

Aici, partea întreagă a numerelor este în coloana din stânga, iar partea fracțională este în coloana din dreapta.

Prin urmare: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Traducerea numerelor mixte, care conține părți întregi și fracționale, se realizează în două etape. Părțile întregi și fracționale ale numărului original sunt traduse separat, conform algoritmilor corespunzători. În înregistrarea finală a unui număr din noul sistem de numere, partea întreagă este separată de virgulă fracțională (punct).

Tema „Sisteme numerice” este direct legată de teoria matematică a numerelor. Cu toate acestea, în cursul școlar de matematică, de regulă, nu este studiat. Necesitatea studierii acestui subiect într-un curs de informatică este legată de faptul că numerele din memoria computerului sunt reprezentate în sistemul numeric binar, iar sistemele hexazecimale sau octale sunt folosite pentru a reprezenta extern conținutul memoriei, adresele de memorie. Acesta este unul dintre subiectele tradiționale ale unui curs de informatică sau programare. Fiind legată de matematică, această temă contribuie și la educația matematică fundamentală a școlarilor.

Pentru un curs de informatică, interesul principal este familiarizarea cu sistemul de numere binar. Utilizarea sistemului de numere binare într-un calculator poate fi luată în considerare sub două aspecte: 1) numerotarea binară, 2) aritmetică binară, i.e. efectuarea de calcule aritmetice pe numere binare.

Numerotarea binară

Cu numerotarea binară, elevii se întâlnesc la tema „Reprezentarea textului în memoria computerului”. Când se vorbește despre tabelul de codificare, profesorul trebuie să informeze elevii că codul binar intern al unui caracter este numărul său de serie în sistemul de numere binar. De exemplu, numărul literei S din tabelul ASCII este 83. Codul binar de opt cifre al literei S este egal cu valoarea acestui număr în sistemul binar: 01010011.

Calcul binar

Conform principiului lui John von Neumann, computerul efectuează calcule în sistem binar. În cadrul cursului de bază, este suficient să ne limităm la calculele cu numere întregi binare. Pentru a efectua calcule cu numere cu mai multe cifre, trebuie să cunoașteți regulile pentru adunare și regulile pentru înmulțirea numerelor cu o singură cifră. Iată regulile:

Principiul permutării adunării și înmulțirii funcționează în toate sistemele de numere. Tehnicile de efectuare a calculelor cu numere cu mai multe cifre în sistemul binar sunt similare cu cele zecimale. Cu alte cuvinte, procedurile de adunare, scădere și înmulțire cu o „coloană” și împărțirea la „colț” în sistemul binar sunt efectuate în același mod ca și în sistemul zecimal.

Luați în considerare regulile de scădere și împărțire a numerelor binare. Operația de scădere este inversul adunării. Din tabelul de adunare de mai sus, urmează regulile de scădere:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Iată un exemplu de scădere cu mai multe cifre:

Rezultatul obținut poate fi verificat prin adăugarea diferenței cu subtraend. Ar trebui să fie un număr în scădere.

Împărțirea este operația inversă a înmulțirii.
În orice sistem numeric, nu puteți împărți la 0. Rezultatul împărțirii la 1 este egal cu dividendul. Împărțirea unui număr binar la 102 mută virgulă zecimală cu un loc la stânga, la fel ca și împărțirea zecimală cu zece. De exemplu:

Împărțirea la 100 deplasează punctul zecimal cu 2 locuri la stânga și așa mai departe. În cursul de bază, nu puteți lua în considerare exemple complexe de împărțire a numerelor binare cu mai multe valori. Deși elevii capabili le pot face față, după ce au înțeles principiile generale.

Reprezentarea informațiilor stocate în memoria computerului în adevărata sa formă binară este foarte greoaie din cauza numărului mare de cifre. Aceasta se referă la înregistrarea pe hârtie a unor astfel de informații sau la afișarea lor pe ecran. În aceste scopuri, se obișnuiește să se utilizeze sisteme mixte binar-octal sau binar-hexazecimal.

Există o relație simplă între reprezentarea binară și hexazecimală a unui număr. La traducerea unui număr dintr-un sistem în altul, o cifră hexazecimală corespunde unui cod binar de patru biți. Această corespondență este reflectată în tabelul binar-hexazecimal:

Tabel binar hexazecimal

O astfel de relație se bazează pe faptul că 16 = 2 4 și numărul de combinații diferite de patru cifre ale cifrelor 0 și 1 este 16: de la 0000 la 1111. Prin urmare conversia numerelor din hexazecimal în binar și invers se realizează prin conversie formală conform tabelului binar-hexazecimal.

Iată un exemplu de traducere a unui cod binar de 32 de biți într-un sistem hexazecimal:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Dacă se oferă o reprezentare hexazecimală a informațiilor interne, atunci este ușor să o traduceți în cod binar. Avantajul reprezentării hexazecimale este că este de 4 ori mai scurtă decât cea binară. Este de dorit ca elevii să memoreze tabelul binar-hexazecimal. Atunci într-adevăr pentru ei reprezentarea hexazecimală va deveni echivalentă cu cea binară.

În octal binar, fiecare cifră octală corespunde unei triade de cifre binare. Acest sistem vă permite să reduceți codul binar de 3 ori.

Cuvinte cheie:

notaţie
număr
alfabet
sistem de numere poziționale
baza
forma extinsă a unui număr
forma pliată a unui număr
sistem binar
sistem de numere octale
sistem de numere hexazecimale

1.1.1. Informații generale despre sistemele numerice

Orez. 1.1.
Semne folosite pentru a scrie numere în diferite sisteme de numere

În orice sistem numeric, cifrele sunt folosite pentru a desemna numere, numite nodale; numerele rămase (algoritmice) sunt obținute ca urmare a oricăror operații din numerele nodurilor.

Exemplul 1. La babilonieni, numerele nodale erau 1, 10, 60; în sistemul numeric roman, numerele nodale sunt 1, 5, 10, 50, 100, 500 și 1000, notate respectiv cu I, V, X, L, C, D, M.

Sistemele numerice diferă în alegerea numerelor nodale și în modurile în care se formează numerele algoritmice. Se pot distinge următoarele tipuri de sisteme numerice:

sisteme unare;
sisteme non-poziționale;
sisteme de poziție.

Cel mai simplu și mai vechi sistem este așa-numitul sistem unar de numere. Folosește un singur simbol pentru a scrie orice numere - un băț, un nod, o crestătură, o pietricică. Lungimea unei înregistrări numerice în această codificare este direct legată de valoarea acesteia, ceea ce face ca această metodă să fie legată de reprezentarea geometrică a numerelor sub formă de segmente. Este sistemul unar care stă la baza aritmeticii și acesta este cel care îi introduce încă pe elevii de clasa întâi în lumea numărării. Sistemele unare sunt numite și sisteme de etichete.

În sistemele numerice non-poziționale, numerele sunt formate prin adăugarea numerelor de noduri.

Exemplul 2. În sistemul de numere egiptean antic, numerele 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 erau notate, respectiv, după cum urmează:

Aceleași numere din sistemul numeric roman sunt desemnate după cum urmează: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Aici, numerele algoritmice se obțin prin adunarea și scăderea numerelor de noduri, ținând cont de următoarea regulă: fiecare semn mai mic plasat în dreapta celui mai mare se adaugă la valoarea sa, iar fiecare semn mai mic plasat în stânga celui mai mare este scazut din ea.

Sistemul zecimal de notare a numerelor, pe care ne-am obișnuit să îl folosim în viața de zi cu zi, cu care suntem familiarizați încă din copilărie, în care ne efectuăm toate calculele, este un exemplu de sistem de numere pozițional. În ea, numerele algoritmice sunt formate după cum urmează: valorile cifrelor sunt înmulțite cu „greutățile” cifrelor corespunzătoare și se adaugă toate valorile rezultate. Acest lucru se vede clar în cifrele limbii ruse, de exemplu: „trei sute cinci zece șapte”.

Baza sistemului numeric pozițional poate fi orice număr natural q > 1.

Alfabetul sistemului zecimal este format din numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Alfabetul unui sistem de numere pozițional arbitrar cu baza q este numerele 0, 1, .. ., q-1, fiecare dintre acestea putând fi scris cu un singur caracter unic; cea mai mică cifră este întotdeauna O.

Principalele avantaje ale oricărui sistem de numere poziționale sunt ușurința de a efectua operații aritmetice și numărul limitat de caractere necesare pentru a scrie orice numere.

a 1 - numere aparținând alfabetului acestui sistem numeric;

q 1 - „greutatea” categoriei i-a.

Scrierea unui număr conform formulei (1) se numește formă extinsă de scriere. Forma pliată a scrierii unui număr este reprezentarea acestuia sub forma ±a n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 ... a -m 1

1 În cele ce urmează, vor fi luate în considerare numai numerele întregi pozitive.

Exemplul 3 Luați în considerare numărul zecimal 14351.1. Forma sa pliată de notație este atât de familiară încât nu observăm cum în mintea noastră trecem la o notație extinsă, înmulțind cifrele numărului cu „greutățile” cifrelor și adăugând produsele rezultate:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .

1.1.2. Sistem de numere binar

Sistemul de numere binar este un sistem de numere pozițional cu baza 2. Pentru a scrie numere în sistemul de numere binar, sunt folosite doar două cifre: 0 și 1.

Pe baza formulei (1) pentru numere binare întregi, putem scrie:

De exemplu:

10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .

Această formă de notație „sugerează” regula pentru conversia numerelor binare naturale în sistemul numeric zecimal: este necesar să se calculeze suma puterilor a doi corespunzătoare unităților în forma pliată a numărului binar.

Obținem din formula (1") regula de traducere a numerelor zecimale întregi în sistemul numeric binar.

Să împărțim

a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 cu 2.

Coeficientul va fi

a n-1 2 n-2 + ... + a 1 ,

iar restul va fi un 0 .

Coeficientul rezultat este din nou împărțit la 2, restul împărțirii va fi egal cu 1.

Dacă continuăm acest proces de împărțire, atunci la al n-lea pas obținem un set de numere:

a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n-1

care sunt incluse în reprezentarea binară a numărului inițial și coincid cu resturile atunci când acesta este împărțit succesiv la 2. La scrierea numărului inițial în sistemul numeric binar, trebuie avut în vedere că resturile din împărțirea la 2 se obțin de către noi în ordinea inversă a cifrelor corespunzătoare în reprezentarea binară a numărului original .

Exemplul 4. Să convertim numărul zecimal 11 în sistemul numeric binar. Secvența acțiunilor luate în considerare mai sus (algoritm de traducere) poate fi descrisă după cum urmează:

Scriind resturile împărțirii în direcția indicată de săgeată, obținem: 11 10 = 1011 2 .

Exemplul 5. Dacă numărul zecimal este suficient de mare, atunci este mai convenabil următorul mod de a scrie algoritmul de mai sus:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Sistem de numere octale

Sistemul de numere octale este un sistem de numere pozițional cu baza 8. Pentru a scrie numere în sistemul de numere octale, se folosesc numerele: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Pe baza formulei (1), pentru un număr octal întreg, putem scrie:

De exemplu: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10

Astfel, pentru a converti un număr octal întreg într-un sistem numeric zecimal, ar trebui să mergeți la notația sa extinsă și să calculați valoarea expresiei rezultate.

Pentru a traduce un număr întreg zecimal într-un sistem de numere octale, ar trebui să împărțim secvențial acest număr și coeficientii întregi rezultați la 8 până când obținem un coeficient egal cu zero. Numărul original în noul sistem de numere este compilat prin înregistrarea secvențială a reziduurilor rezultate, începând cu ultimul.

Exemplul 6. Să traducem numărul zecimal 103 în sistemul de numere octale.

1.1.4. Sistemul numeric hexazecimal

Baza: q = 16.

Alfabetul: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Aici, doar zece cifre din șaisprezece au denumirea general acceptată 0, ..., 9. Pentru a scrie numere cu echivalente cantitative zecimale 10, 11, 12, 13, 14, 15, primele cinci litere ale alfabetului latin sunt de obicei folosit.

Astfel, intrarea 3AF16 înseamnă:

3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .

Exemplul 7. Să convertim numărul zecimal 154 în sistem numeric hexazecimal.

1.1.5. Regula pentru conversia numerelor zecimale întregi într-un sistem numeric cu baza q

Pentru a converti un număr zecimal întreg într-un sistem numeric cu baza q, urmați:

împărțim succesiv numărul dat și coeficientii întregi rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem câtul egal cu zero;
resturile rezultate, care sunt cifre ale unui număr în noul sistem de numere, sunt aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere;
compuneți un număr în noul sistem de numere, notându-l, începând cu ultimul rest primit.

Să facem un tabel de corespondență a numerelor zecimale, binare, octale și hexazecimale de la 0 la 20.

Colecția unificată de resurse educaționale digitale (http://school-collection.edu.ru/) conține o animație interactivă „Conversia unui număr zecimal într-un alt sistem numeric”. Cu ajutorul acestuia, puteți observa traducerea unui număr întreg arbitrar de la 0 la 512 într-un sistem de numere pozițional, a cărui bază nu depășește 16.

În laboratorul virtual Scale digitale situat acolo, puteți învăța o altă modalitate de a traduce numere zecimale întregi în alte sisteme de numere - metoda diferențelor.

1.1.6. Aritmetică binară

Aritmetica binară se bazează pe utilizarea următoarelor tabele de adunare și înmulțire:

Exemplul 8. Tabelul de adunare binară este extrem de simplu. Deoarece 1 + 1 = 10, 0 rămâne în acest bit, iar 1 este transferat la următorul bit.

Exemplul 9. Operația de înmulțire se efectuează după schema uzuală folosită în sistemul numeric zecimal, cu înmulțirea succesivă a multiplicatorului cu următoarea cifră a multiplicatorului.

Astfel, în sistemul binar, înmulțirea se reduce la deplasări ale multiplicandului și adunări.

1.1.7. Sisteme de numere „calculatoare”.

În tehnologia computerelor, este utilizat sistemul de numere binar, care oferă o serie de avantaje față de alte sisteme:

numerele binare sunt reprezentate într-un calculator folosind elemente tehnice destul de simple cu două stări stabile;
reprezentarea informațiilor prin doar două stări este fiabilă și rezistentă la zgomot;
aritmetica binară este cea mai simplă;
există un aparat matematic care oferă transformări logice ale datelor binare.

Schimbul de informații între dispozitivele computerizate se realizează prin transfer de coduri binare. Este incomod pentru o persoană să folosească astfel de coduri din cauza lungimii lor mari și a uniformității vizuale. Prin urmare, specialiștii (programatori, ingineri) în unele etape de dezvoltare, creare, configurare a sistemelor de calcul înlocuiesc codurile binare cu valori echivalente în sisteme de numere octale sau hexazecimale. Ca urmare, lungimea cuvântului original este redusă de trei, respectiv de patru ori. Acest lucru face ca informațiile să fie mai ușor de revizuit și analizat.

Cu ajutorul resursei „Cartea interactivă de probleme, secțiunea „Sisteme numerice”” (http://school-collection.edu.ru/) puteți verifica cât de bine ați însuşit materialul studiat în acest paragraf.

Cel mai important

Sistemul numeric este un sistem de semne în care sunt adoptate anumite reguli de scriere a numerelor. Semnele cu care sunt scrise numerele se numesc numere, iar totalitatea lor se numește alfabetul sistemului numeric.

Sistemul numeric se numește pozițional dacă echivalentul cantitativ al unei cifre dintr-un număr depinde de poziția sa în notația numărului. Baza unui sistem de numere poziționale este egală cu numărul de cifre care alcătuiesc alfabetul său.

Baza sistemului numeric pozițional poate fi orice număr natural q > 1.

Într-un sistem numeric pozițional cu baza q, orice număr poate fi reprezentat ca:

A este un număr;

q este baza sistemului numeric;

și i - cifre aparținând alfabetului sistemului de numere dat;

n este numărul de cifre întregi ale numărului;

m - numărul de cifre fracționale ale numărului;

q i - „greutatea” categoriei i-a.