Η παράλογη λειτουργία από τη μεταβλητή είναι μια συνάρτηση που σχηματίζεται από μεταβλητές και αυθαίρετες σταθερές χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο αριθμό λειτουργιών προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού (στύση σε ακέραιο βαθμό), διαίρεση και εκχύλιση ριζών. Η παράλογη λειτουργία διαφέρει από το λογικό στο ότι η παράλογη λειτουργία περιέχει λειτουργίες εξόρυξης root.

Υπάρχουν τρεις κύριοι τύποι παράλογων λειτουργιών, οι αβέβαιοι ολοκληρώσεις από τα οποία δίνονται σε ολοκληρώματα από ορθολογικές λειτουργίες. Αυτά είναι ολοκληρώματα που περιέχουν τις ρίζες αυθαίρετων ακέραιων βαθμών από την κλασματική γραμμική λειτουργία (οι ρίζες μπορούν να είναι διαφόρων βαθμών, αλλά από την ίδια, κλασματική γραμμική λειτουργία). Ολοκληρωμένα από διαφορικό BINOMA και ολοκληρώματα με τετραγωνική ρίζα τετραγωνικών τριών βολών.

Σημαντική παρατήρηση. Οι ρίζες έχουν νόημα!

Κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων που περιέχουν ρίζες, τα είδη της φόρμας βρίσκονται συχνά, όπου υπάρχει κάποια λειτουργία από τη μεταβλητή ολοκλήρωσης. Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι. Δηλαδή, με t\u003e 0, | T | \u003d T. . Με Τ.< 0, | T | \u003d - t. Επομένως, κατά τον υπολογισμό αυτών των ολοκληρωμάτων, πρέπει να εξετάσετε ξεχωριστά τις περιπτώσεις t\u003e 0 και Τ.< 0 . Αυτό μπορεί να γίνει εάν γράψετε σημάδια ή όπου είναι απαραίτητο. Που υποδηλώνουν ότι το επάνω σήμα αναφέρεται στην περίπτωση T\u003e 0 , και το κάτω μέρος - στην περίπτωση t< 0 . Με περαιτέρω μετατροπή, αυτά τα σημεία συνήθως μειώνονται αμοιβαία.

Μια δεύτερη προσέγγιση είναι δυνατή, στην οποία η ολοκληρωμένη λειτουργία και το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης μπορούν να θεωρηθούν ως σύνθετες λειτουργίες από πολύπλοκες μεταβλητές. Στη συνέχεια, δεν μπορείτε να ακολουθήσετε σημάδια στις αποσπασμένες εκφράσεις. Αυτή η προσέγγιση εφαρμόζεται εάν η ολοκληρωμένη λειτουργία είναι αναλυτική, δηλαδή μια διαφοροποιημένη λειτουργία από μια πολύπλοκη μεταβλητή. Στην περίπτωση αυτή, η ολοκληρωμένη λειτουργία και η ολοκλήρωση της πληροφορικής είναι λειτουργίες πολλαπλών αξιών. Επομένως, μετά την ολοκλήρωση, όταν υποκαθιστούν αριθμητικές τιμές, είναι απαραίτητο να επιλέξετε το σαφτό υποκατάστημα (Riemannian επιφάνεια) της λειτουργίας ενσωμάτωσης και να επιλέξετε το κατάλληλο κλάδο του αποτελέσματος ενσωμάτωσης.

Γραμμικός παράλογος

Αυτά είναι τα ολοκληρώματα με τις ρίζες από την ίδια κλασματική γραμμική λειτουργία:
,
Όπου r είναι μια ορθολογική λειτουργία - ορθολογικούς αριθμούς, m 1, n 1, ..., m S, N S είναι ακέραιοι, α, β, γ, δ - έγκυροι αριθμοί.
Τέτοιοι ολοκληρώσεις μειώνονται στο αναπόσπαστο από τη λειτουργία λογικής λειτουργίας:
όπου n είναι ένας κοινός παρονομαστής αριθμών r 1, ..., r s.

Οι ρίζες μπορεί να μην είναι απαραιτήτως από μια κλασματική γραμμική λειτουργία, αλλά και από το γραμμικό (γ \u003d 0, Δ \u003d 1) ή από τη μεταβλητή ένταξης X (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, Δ \u003d 1).

Ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων ολοκληρωμένων:
, .

Ολοκλήρωμα από διαφορικούς binomes

Τα ολοκλήρωμα από τη διαφορική binomes έχουν τη μορφή:
,
όπου M, N, P είναι λογικοί αριθμοί, Α, Β - έγκυροι αριθμοί.
Αυτά τα ολοκληρώματα μειώνονται σε ολοκληρώματα από ορθολογικές λειτουργίες σε τρεις περιπτώσεις.

1) Εάν το P είναι ακέραιος. Η υποκατάσταση x \u003d t n, όπου n είναι ο συνολικός παρονομαστής των κλάσεων M και N.
2) εάν - ένα σύνολο. Υποκατάσταση Α x n + b \u003d t m, όπου m είναι ο αριθμός των αριθμών p.
3) εάν - ένα σύνολο. Υποκατάσταση Α + Β Χ - Ν \u003d ΤΜ, όπου το m είναι ο παρονομαστής του αριθμού Ρ.

Σε άλλες περιπτώσεις, τέτοια ολοκληρώματα δεν εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών.

Μερικές φορές τέτοιες ολοκληρώσεις μπορούν να απλουστευθούν χρησιμοποιώντας φόρμουλες:
;
.

Ολοκλήρωμα που περιέχουν τετραγωνική ρίζα τετραγωνικών τριών

Τέτοιες ολοκληρώσεις είναι:
,
όπου r είναι μια ορθολογική λειτουργία. Για κάθε τέτοιο ενσωματωμένο υπάρχουν πολλές μέθοδοι διαλύματος.
1) Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς για να οδηγήσετε σε απλούστερες ολοκληρώσεις.
2) Εφαρμόζουν τριγωνομετρικές ή υπερβολικές υποκαταστάσεις.
3) Εφαρμόστε υποκαταστάσεις Euler.

Εξετάστε αυτές τις μεθόδους λεπτομερέστερα.

1) Μετατροπή της λειτουργίας ενσωμάτωσης

Χρησιμοποιώντας τον τύπο και η εκτέλεση αλγεβρικών μετασχηματισμών, φέρτε μια λειτουργία RENTRODUCT στο μυαλό:
,
όπου φ (x), ω (x) είναι λογικές λειτουργίες.

πληκτρολογώ

Το ολοκλήρωμα της φόρμας:
,
όπου p n (x) είναι ένα πολυωνυμικό βαθμό n.

Αυτά τα ολοκληρωτικά είναι η μέθοδος αβέβαιων συντελεστών χρησιμοποιώντας την ταυτότητα:

.
Διαφοροποίηση αυτής της εξίσωσης και εξισώνοντας τα αριστερά και τα δεξιά μέρη, βρίσκουμε τους συντελεστές ένα i.

Πληκτρολογήστε

Το ολοκλήρωμα της φόρμας:
,
όπου p m (x) είναι ένα πολυωνυμικό βαθμό m.

Υποκατάσταση t \u003d. (X - α) -1 Αυτό το ενσωματωμένο οδηγείται στον προηγούμενο τύπο. Εάν m ≥ n, τότε το κλάσμα πρέπει να διατεθεί σε όλο το μέρος.

Τύπος III

Εδώ κάνουμε μια υποκατάσταση:
.
Μετά την οποία το ενιαίο θα λάβει τη φόρμα:
.
Στη συνέχεια, μόνιμη α, β, θα πρέπει να επιλέξετε έτσι ώστε στον παρονομαστή τους συντελεστές στο t να μηδέν:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Στη συνέχεια, το ολοκλήρωμα αποσυντίθεται το άθροισμα των ολοκληρώσεων δύο τύπων:
,
,
οι οποίες ενσωματώνονται με αντικαταστάσεις:
u 2 \u003d ένα 1 t 2 + c 1,
v 2 \u003d Α 1 + C 1 Τ -2.

2) τριγωνομετρικές και υπερβολικές υποκαταστάσεις

Για ολοκλήρωση της φόρμας, α > 0 ,
Έχουμε τρεις κύριες υποκαταστάσεις:
;
;
;

Για ολοκλήρωση, α > 0 ,
Έχουμε τις ακόλουθες αντικαταστάσεις:
;
;
;

Και τέλος για ολοκλήρωση, α > 0 ,
Οι αντικαταστάσεις έχουν ως εξής:
;
;
;

3) Υποκαταστάσεις Euler

Επίσης, οι ολοκληρώσεις μπορούν να μειωθούν σε ολοκληρώματα από ορθολογικές λειτουργίες ενός από τις τρεις υποκαταστάσεις του Euler:
, με ένα\u003e 0;
, με C\u003e 0;
όπου το Χ1 είναι η ρίζα της εξίσωσης Α Χ 2 + Β Χ + C \u003d 0. Εάν αυτή η εξίσωση έχει έγκυρες ρίζες.

Ελλειπτικά ολοκληρωμένα

Συμπερασματικά, εξετάστε τα ολοκληρώματα της φόρμας:
,
όπου το r είναι μια λογική λειτουργία ,. Τέτοιοι ολοκληρώσεις ονομάζονται ελλειπτικά. Γενικά, δεν εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις όπου υπάρχουν σχέσεις μεταξύ των συντελεστών Α, Β, Γ, Δ, Ε, με τέτοια ολοκληρωμένα εκφράζονται μέσω στοιχειωδών λειτουργιών.

Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα που σχετίζεται με πολυώνυμα επιστροφής. Ο υπολογισμός αυτών των ολοκληρωμάτων εκτελείται χρησιμοποιώντας αντικαταστάσεις:
.

Παράδειγμα

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα:
.

Απόφαση

Να υποκαταστήσει.

.
Εδώ στο x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) Παίρνουμε το κορυφαίο σημάδι '+'. Με το X.< 0 (U.< 0 ) - Πιο χαμηλα '-'.

.

Απάντηση

Βιβλιογραφικές αναφορές:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, συλλογή καθηκόντων στα ανώτερα μαθηματικά, "LAN", 2003.

Η εύρεση ενός αόριστου ενσωματωμένου είναι ένα πολύ συχνό έργο στα ανώτερα μαθηματικά και άλλα τεχνικά τμήματα της επιστήμης. Ακόμη και η λύση των απλούστερων φυσικών καθηκόντων δεν είναι συχνά απαραίτητη χωρίς τον υπολογισμό αρκετών απλών ολοκλήρων. Ως εκ τούτου, από τη σχολική ηλικία, μας διδάσκουμε τεχνικές και μεθόδους για την επίλυση των ολοκληρώσεων, υπάρχουν πολυάριθμοι πίνακες με τα ολοκληρώματα των απλούστερων λειτουργιών. Ωστόσο, με την πάροδο του χρόνου, όλα αυτά είναι ξεχασμένα, ή δεν έχουμε αρκετό χρόνο για να ελέγξουμε ή χρειαζόμαστε Βρείτε μια απόφαση για ένα αβέβαιο ενσωματωμένο Από μια πολύ πολύπλοκη λειτουργία. Για να λύσετε αυτά τα προβλήματα, η υπηρεσία μας θα είναι απαραίτητη για εσάς, επιτρέποντάς σας να βρείτε αδιαμφισβήτητα ένα αόριστο ενσωματωμένο online.

Να λύσει ένα αόριστο ενσωματωμένο

Online υπηρεσία στο δικτυακός τόπος Σας επιτρέπει να βρείτε Λύση Integral Online Γρήγορα, ελεύθερη και αποτελεσματική. Μπορείτε να αντικαταστήσετε την αναζήτηση στους πίνακες του επιθυμητού ενσωματωμένου στην υπηρεσία μας, όπου εισάγετε γρήγορα τις επιθυμητές λειτουργίες, θα λάβετε μια λύση σε ένα αόριστο ενσωματωμένο στον πίνακα. Όχι όλες οι μαθηματικές τοποθεσίες μπορούν να υπολογίσουν τα αόριστα ολοκληρώματα λειτουργιών σε απευθείας σύνδεση και αποτελεσματικά, ειδικά αν θέλετε να βρείτε Αβέβαιος ενοποιημένος Από σύνθετη λειτουργία ή χαρακτηριστικά που δεν περιλαμβάνονται στο συνολικό ποσοστό υψηλότερων μαθηματικών. Δικτυακός τόπος δικτυακός τόπος θα βοηθήσει Επίλυση ενσωματωμάτων στο διαδίκτυο και να αντιμετωπίσει την εργασία. Χρησιμοποιώντας την ηλεκτρονική λύση Integral στον ιστότοπο του ιστότοπου, θα λάβετε πάντα μια ακριβή απάντηση.

Ακόμα κι αν θέλετε να υπολογίσετε τον εαυτό σας τον εαυτό σας, χάρη στην υπηρεσία μας, θα είναι εύκολο να ελέγξετε την απάντησή σας, να βρείτε ένα υποτιθέμενο σφάλμα ή μια λίστα ή να βεβαιωθείτε ότι η εργασία είναι άψογη. Εάν λύσετε την εργασία και εσείς ως βοηθητικό αποτέλεσμα πρέπει να υπολογίσετε ένα αόριστο ενσωματωμένο, τότε γιατί χάνετε χρόνο σε αυτές τις ενέργειες που μπορεί να έχουν ήδη κάνει χιλιάδες φορές; Επιπλέον, οι πρόσθετοι υπολογισμοί του ενσωματωμένου μπορεί να είναι η αιτία της χρήσης ή των μικρών σφαλμάτων που ακολούθως οδήγησαν σε εσφαλμένη απάντηση. Απλά χρησιμοποιήστε τις υπηρεσίες μας και βρείτε Απροσδιόριστο ενσωματωμένο online χωρίς καμία προσπάθεια. Για πρακτικά καθήκοντα Αναπόσπαστο Λειτουργίες Σε σύνδεση Αυτός ο διακομιστής είναι πολύ χρήσιμος. Πρέπει να εισαγάγετε μια συγκεκριμένη λειτουργία, να πάρετε online απόφαση ενός αόριστου ενσωματωμένου Και να συγκρίνετε την απάντηση με την απόφασή σας.

Σύνθετα ολοκληρωμένα

Το άρθρο αυτό συμπληρώνει το θέμα των αβέβαιων ολοκλήρων και σε αυτό τα ολοκληρώματα που θεωρώ αρκετά περίπλοκη περιλαμβάνονται. Το μάθημα δημιουργήθηκε στις επαναλαμβανόμενες αιτήσεις επισκεπτών που εξέφρασαν τις επιθυμίες, ώστε να αποσυναρμολογηθούν περισσότερα δύσκολα παραδείγματα στον ιστότοπο.

Θεωρείται ότι ο αναγνώστης αυτού του κειμένου είναι καλά προετοιμασμένος και ξέρει πώς να εφαρμόζει τις κύριες τεχνικές ολοκλήρωσης. Τα τσαγιέρες και οι άνθρωποι που δεν εμπίπτουν πολύ με σιγουριά ότι τα ολοκληρωτικά πρέπει να αναφέρονται στο πρώτο μάθημα - Αβέβαιο ενσωματωμένο. Παραδείγματα λύσεωνόπου μπορείτε να κυριαρχήσετε το θέμα με σχεδόν μηδέν. Οι περισσότεροι έμπειροι φοιτητές μπορούν να εξοικειωθούν με τις τεχνικές και τις μεθόδους ολοκλήρωσης, οι οποίες στα άρθρα μου δεν έχουν ακόμη συναντήσει.

Ποια ολοκλήρωση θα ληφθούν υπόψη;

Πρώτον, θα θεωρήσουμε ολοκληρώματα με ρίζες, για να λύσουμε τα οποία χρησιμοποιούνται με συνέπεια Αντικατάσταση της μεταβλητής και Ενσωμάτωση σε μέρη. Δηλαδή, σε ένα παράδειγμα, συνδυάζονται δύο δεξιώσεις. Και ακόμη περισσότερο.

Τότε θα εξοικειωθούμε με ενδιαφέροντα και πρωτότυπο Πληροφορίες μεθόδου Ενσωματωμένο στον εαυτό σας. Αυτή η μέθοδος λυθεί όχι τόσο λίγα ολοκληρώματα.

Ο τρίτος αριθμός του προγράμματος θα πάει ολοκληρώματα από πολύπλοκα κλάσματα που πέταξαν τα πρώτα ταμειακά μητρώα σε προηγούμενα άρθρα.

Τέταρτον, θα αποσυναρμολογηθούν επιπλέον ολοκληρωτικά από τριγωνομετρικές λειτουργίες. Συγκεκριμένα, υπάρχουν μέθοδοι που σας επιτρέπουν να αποφύγετε το χρονοβόρο μια παγκόσμια τριγωνομετρική υποκατάσταση.

(2) Στη λειτουργία ενσωμάτωσης, ο αριθμητής στον παρονομαστή.

(3) Χρησιμοποιήστε την ιδιότητα γραμμικότητας ενός αόριστου ενσωματωμένου. Στο τελευταίο ολοκληρωμένο αμέσως Σκουπίστε τη λειτουργία κάτω από το σημάδι της διαφοράς.

(4) Πάρτε τα υπόλοιπα ολοκληρώματα. Παρακαλείστε να σημειώσετε ότι στο LogarithM μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παρενθέσεις, όχι μια μονάδα, αφού.

(5) Διατηρούμε μια αντικατάσταση, εκφράζοντας από την άμεση αντικατάσταση "TE":

Οι μαθητές της Masochian μπορούν να αδιαφοροποιήσουν την απάντηση και να πάρουν την αρχική λειτουργία ενσωμάτωσης όπως ακριβώς έκανα. Όχι, όχι, εκπλήρωσα την επαλήθευση με τη σωστή έννοια \u003d)

Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τη διάρκεια της απόφασης έπρεπε να χρησιμοποιήσω ακόμη περισσότερες από δύο αποφάσεις της λύσης, έτσι για αντίποινα με παρόμοιους ολοκληρώσεις, χρειάζεστε δεξιότητες αυτοπεποίθησης και όχι τη μικρότερη εμπειρία.

Στην πράξη, φυσικά, η τετραγωνική ρίζα είναι πιο κοινή, εδώ είναι τρία παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 2.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Παράδειγμα 3.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Παράδειγμα 4.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αυτά τα παραδείγματα του ίδιου τύπου, οπότε η πλήρης λύση στο τέλος του αντικειμένου θα είναι μόνο για παράδειγμα 2, στα παραδείγματα 3-4 - μία απαντήσεις. Ποια αντικατάσταση για εφαρμογή στην αρχή των αποφάσεων, νομίζω ότι προφανώς. Γιατί πήρα τον ίδιο τύπο παραδειγμάτων; Συχνά βρέθηκαν στο ρόλο σας. Πιο συχνά, ίσως, απλά κάτι σαν .

Αλλά όχι πάντα, όταν κάτω από το Arctgennes, το Sinus, το cosine, το εκθετικό, κλπ. Τα χαρακτηριστικά είναι η ρίζα μιας γραμμικής λειτουργίας, πρέπει να εφαρμοστούν διάφορες μέθοδοι. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι δυνατόν να "απαλλαγείτε από", δηλαδή αμέσως μετά την αντικατάσταση, επιτυγχάνεται ένα απλό ολοκλήρωμα, το οποίο είναι στοιχειώδες. Το πιο εύκολο από τα προτεινόμενα καθήκοντα είναι το παράδειγμα 4, σε αυτήν μετά την αντικατάσταση αποδεικνύεται ένα σχετικά απλό ενσωματωμένο.

Πληροφορίες μεθόδου Ενσωματωμένο στον εαυτό σας

Μια πνευματική και όμορφη μέθοδος. Εξετάστε αμέσως τα κλασικά του είδους:

Παράδειγμα 5.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένα τετράγωνο biccoon, και όταν προσπαθείτε να ενσωματώσετε αυτό το παράδειγμα, ο βραστήρας μπορεί να υποφέρει ώρες. Ένα τέτοιο ολοκληρωμένο λαμβάνεται σε μέρη και κατεβαίνει στον εαυτό του. Κατ 'αρχήν, δεν είναι δύσκολο. Αν ξέρετε πώς.

Δηλώνει με την θεωρούμενη ολοκλήρωση της λατινικής επιστολής και να αρχίσει η λύση:

Ενσωματώνουμε σε μέρη:

(1) Ετοιμάζουμε μια λειτουργία αντικατάστασης για το τμήμα του εδάφους.

(2) Διαχωρίζουμε τη λειτουργία αντικατάστασης. Ίσως να μην είναι σαφώς σαφώς, θα γράψω λεπτομερέστερα:

(3) Χρησιμοποιήστε την ιδιότητα γραμμικότητας ενός αόριστου ενσωματωμένου.

(4) Πάρτε τον τελευταίο ολοκληρωμένο ("Long" LogarithM).

Τώρα εξετάζουμε την αρχή της απόφασης:

Και στο τέλος:

Τι συνέβη? Ως αποτέλεσμα των χειρισμών μας, το ενσωματωμένο πήρε στον εαυτό του!

Εξισορρονόμαστε την αρχή και το τέλος:

Μεταφέραμε στην αριστερή πλευρά με την αλλαγή σημείου:

Και demo demolose στη δεξιά πλευρά. Σαν άποτέλεσμα:

Η σταθερή, αυστηρά, έπρεπε να προστεθεί νωρίτερα, αλλά το απέδωσε στο τέλος. Συστήνω έντονα να διαβάσετε τι είναι εδώ για μια αυστηρότητα:

Σημείωση: Ένα πιο αυστηρό τελικό στάδιο της λύσης μοιάζει με αυτό:

Με αυτόν τον τρόπο:

Η σταθερά μπορεί να επαναχρησιμοποιηθεί. Γιατί μπορείτε να επαναλάβετε; Επειδή εξακολουθεί να παίρνει Οποιος Τιμές και με αυτή την έννοια μεταξύ σταθερών και δεν υπάρχει διαφορά.
Σαν άποτέλεσμα:

Ένα τέτοιο τέχνασμα με επανορθωμένο σταθερό χρησιμοποιείται ευρέως Διαφορικές εξισώσεις. Και εκεί θα είμαι αυστηρός. Και εδώ μια τέτοια ελευθερία επιτρέπεται μόνο για να μην συγχέω τα περιττά πράγματα και να επικεντρωθώ στη μέθοδο ολοκλήρωσης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Ένα άλλο τυπικό ολοκλήρωμα για αυτο-αποφάσεις. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Η διαφορά με την απάντηση του προηγούμενου παραδείγματος θα είναι!

Εάν η τετραγωνική ρίζα είναι ένα τετράγωνο τριπλό, τότε η λύση σε κάθε περίπτωση μειώνεται σε δύο αποσυναρμολογημένα παραδείγματα.

Για παράδειγμα, εξετάστε το αναπόσπαστο . Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι προ- Επιλέξτε Full Square:
.
Στη συνέχεια, πραγματοποιείται γραμμική αντικατάσταση, η οποία κοστίζει "χωρίς συνέπειες":
Ως αποτέλεσμα, λαμβάνεται το ολοκληρωμένο. Κάτι γνωστό, σωστό;

Ή ένα τέτοιο παράδειγμα, με την πλατεία αναπήδησε:
Επισημάνετε μια πλήρη πλατεία:
Και μετά από μια γραμμική αντικατάσταση, έχουμε ένα ολοκληρωμένο, το οποίο επιλύεται επίσης από τον αλγόριθμο που έχει ήδη ληφθεί υπόψη.

Εξετάστε δύο ακόμα τυπικά παραδείγματα σχετικά με την παραλαβή των πληροφοριών ενσωμάτωσης στον εαυτό σας:
- αναπόσπαστο από τον εκθέτη πολλαπλασιασμένο με τον κόλπο.
- Ολοκληρωμένος από τους εκθέτες πολλαπλασιασμένους με την Cosine.

Στα καταχωρημένα ολοκληρώματα σε μέρη θα πρέπει να ενσωματωθούν δύο φορές:

Παράδειγμα 7.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Η λειτουργία ενσωμάτωσης είναι ένας εκθέτης πολλαπλασιασμένος με τον κόλπο.

Ενσωματώνουμε δύο φορές σε μέρη και φέρνουμε το ολοκλήρωμα στον εαυτό σας:

Ως αποτέλεσμα της διπλής ολοκλήρωσης σε μέρη, το ενσωματωμένο έχει φτάσει στον εαυτό του. Εξισορρονόμαστε τις λύσεις έναρξης και λήξης:

Μεταφέραμε στην αριστερή πλευρά με την αλλαγή του σημείου και εκφράζουμε την ολοκλήρωσή μας:

Ετοιμος. Επίσης, είναι επιθυμητό να καταπολεμηθεί η δεξιά πλευρά, δηλ. Για να φτιάξετε έναν εκθέτη για αγκύλες και σε παρένθεση για να βάλει τον κόλπο με συνίνη στην "όμορφη" παραγγελία.

Τώρα ας επιστρέψουμε στην αρχή του παραδείγματος, ή μάλλον - στην ολοκλήρωση σε μέρη:

Γιατί ορίσαμε τον εκθέτη. Το ερώτημα προκύπτει, είναι πάντοτε απαραίτητο να αναφερθούμε στον εκθέτη; Οχι απαραίτητο. Στην πραγματικότητα, στην εξέταση ολοκληρωμένη αρχή καμία διαφοράΤι να αναφερθώ, ήταν δυνατό να πάτε σε άλλο τρόπο:

Γιατί είναι δυνατόν; Επειδή ο εκθέτης μετατρέπει τον εαυτό της (και κατά τη διαφοροποίηση και κατά τη διάρκεια της ολοκλήρωσης), ο κόλπος με την συνήλως αρχίζει αμοιβαία ο ένας τον άλλον (και πάλι - τόσο κατά τη διαφοροποίηση όσο και κατά την ολοκλήρωση).

Δηλαδή, η τριγωνομετρική λειτουργία μπορεί να δηλωθεί. Αλλά, στο εξεταζόμενο παράδειγμα, είναι λιγότερο λογικό, αφού τα κλάσματα θα εμφανιστούν. Εάν επιθυμείτε, μπορείτε να προσπαθήσετε να λύσετε αυτό το παράδειγμα με τη δεύτερη περίπτωση, οι απαντήσεις πρέπει να συμπίπτουν.

Παράδειγμα 8.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Πριν αποφασίσετε, σκεφτείτε ότι είναι πιο κερδοφόρα στην περίπτωση αυτή για να ορίσετε, εκθέτη ή τριγωνομετρική λειτουργία; Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Και, φυσικά, μην ξεχνάτε ότι οι περισσότερες από τις απαντήσεις αυτού του μαθήματος είναι αρκετά εύκολο να ελέγξετε τη διαφοροποίηση!

Τα παραδείγματα δεν θεωρήθηκαν όχι τα πιο δύσκολα. Στην πράξη, τα ολοκληρώματα βρίσκονται συχνότερα, όπου υπάρχει σταθερή στον ενδεικτικό εκθέτη και στο επιχείρημα μιας τριγωνομετρικής λειτουργίας, για παράδειγμα:. Σκέψη σε παρόμοιο αναπόσπαστο θα πρέπει να κάνει πολλούς, συχνά συγχέω. Το γεγονός είναι ότι στην επίλυση της πιθανότητας εμφάνισης κλάσεων και είναι πολύ απλά κάτι έντονο να χάσει. Επιπλέον, η πιθανότητα σφαλμάτων σε σημεία είναι μεγάλη, παρακαλούμε να σημειώσετε ότι στον δείκτη του εκθέτη υπάρχει ένα σημάδι μείον, και αυτό κάνει πρόσθετες δυσκολίες.

Στο τελικό στάδιο, επιτυγχάνονται συχνά περίπου τα ακόλουθα:

Ακόμη και στο τέλος της απόφασης θα πρέπει να είναι εξαιρετικά προσεκτικοί και ικανοί να ασχοληθούν με τα κλάσματα:

Ενσωμάτωση πολύπλοκων κλασμάτων

Αργά φτάνουμε στον ισημερινό μάθημα και αρχίζουμε να εξετάζουμε τα ολοκληρώματα από τα κλάσματα. Και πάλι, δεν είναι όλα αυτά που είναι superswit, μόνο για έναν λόγο ή ένα άλλο παράδειγμα ήταν λίγο "όχι στο θέμα" σε άλλα άρθρα.

Συνεχίζουμε το θέμα των ριζών

Παράδειγμα 9.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Στον παρονομαστή, κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένα τετράγωνο τρίγωνο συν το εξωτερικό της ρίζας "βελτίωση" με τη μορφή "iksa". Το ενσωματωμένο αυτού του τύπου επιλύεται χρησιμοποιώντας τυποποιημένη αντικατάσταση.

Εμείς αποφασίζουμε:

Η αντικατάσταση εδώ είναι απλή:

Εξετάζουμε τη ζωή μετά την αντικατάσταση:

(1) Μετά την υποκατάσταση, δίνουμε στους συνολικούς όρους παρονομαστή κάτω από τη ρίζα.
(2) Υποστηρίζουμε από τη ρίζα.
(3) Αριθμητικός και παρονομαστής μειώνοντας. Ταυτόχρονα, κάτω από τη ρίζα, αναστέλλω τα συστατικά σε μια άνετη σειρά. Με ένα συγκεκριμένο πείραμα, τα βήματα (1), (2) μπορούν να παραλειφθούν με την απόδοση σχολιασμένων ενεργειών προφορικά.
(4) Η προκύπτουσα ενσωματωμένη, όπως θυμάστε από το μάθημα Ενσωμάτωση ορισμένων κλασμάτων, αποφασίζει Μέθοδος κατανομής πλήρους πλατείας. Επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνο.
(5) Ενσωμάτωση Παίρνουμε έναν μέγιστο "Long" Logarithm.
(6) Διεξαγωγή αντικατάστασης. Εάν αρχικά, στη συνέχεια, πίσω :.
(7) Η τελική δράση στοχεύει στο χτένισμα του αποτελέσματος: κάτω από τη ρίζα, φέρνουν και πάλι τα συστατικά στον γενικό παρονομαστή και υπομένουν από τη ρίζα.

Παράδειγμα 10.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Εδώ η σταθερή έχει προστεθεί στο μοναχικό "ICSU" και η αντικατάσταση είναι σχεδόν η ίδια:

Το μόνο πράγμα που πρέπει να κάνετε επιπλέον να κάνετε είναι να εκφράσετε "x" από την αντικατάσταση:

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Μερικές φορές σε ένα τέτοιο ολοκληρωμένο κάτω από τη ρίζα μπορεί να υπάρχει ένα τετράγωνο Bicker, δεν αλλάζει τη λύση για να λύσει, θα είναι ακόμη πιο εύκολο. Νιώστε τη διαφορά:

Παράδειγμα 11.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Παράδειγμα 12.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Σύντομες αποφάσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος. Πρέπει να σημειωθεί ότι το παράδειγμα 11 είναι ακριβώς Διωνυμικός ενσωματωμένος, της οποίας η απόφαση εξετάστηκε στο μάθημα Ολοκλήρωμα από παράλογες λειτουργίες.

Αναπόσπαστο από ένα ανεξάρτητο πολυώνυμο ενός βαθμού 2ου βαθμού στο βαθμό

(πολυώνυμο στον παρονομαστή)

Πιο σπάνια, αλλά, ωστόσο, σε πρακτικά παραδείγματα, η θέα του ολοκληρώματος.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 13.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αλλά ας επιστρέψουμε για παράδειγμα με έναν ευτυχισμένο αριθμό 13 (ειλικρινά, δεν ταιριάζει). Αυτό το ενσωματωμένο είναι επίσης από την κατηγορία εκείνων με τα οποία μπορείτε να είστε αρκετά αρκετά αν δεν ξέρετε πώς να λύσετε.

Η απόφαση αρχίζει με τον τεχνητό μετασχηματισμό:

Πώς να διαιρέσετε τον αριθμητή στον παρονομαστή, νομίζω ότι όλα είναι κατανοητά.

Το προκύπτον ενσωματωμένο λαμβάνεται σε μέρη:

Για την προβολή ολοκληρωμένη (- φυσικός αριθμός) που αφαιρείται επαναλαμβανόμενος Τύπος Μείωσης Βαθμού:
όπου - Ολοκληρωμένος βαθμός χαμηλότερος.

Θα είμαι πεπεισμένος για τη δικαιοσύνη αυτού του τύπου για τον προφητικό ολοκληρωμένο.
Σε αυτή την περίπτωση,:, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Όπως μπορείτε να δείτε, οι απαντήσεις συμπίπτουν.

Παράδειγμα 14.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση. Στο δείγμα του διαλύματος, ο προαναφερθείσας τύπος ήταν δύο φορές.

Εάν βρίσκεται κάτω από το βαθμό Ανεξάρτητα από τους πολλαπλασιαστές Πλατεία τριπλάσια, τότε η λύση έρχεται κάτω στο Bicked, επισημαίνοντας ένα πλήρες τετράγωνο, για παράδειγμα:

Τι γίνεται αν είστε επιπλέον στον αριθμητή, υπάρχει ένα πολυώνυμο; Στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιείται η μέθοδος αόριστων συντελεστών και η ολοκληρωμένη λειτουργία περιγράφεται στην ποσότητα των κλάσεων. Αλλά στην πρακτική μου ένα τέτοιο παράδειγμα Δεν συναντήθηκα, οπότε έχασα αυτή την περίπτωση στο άρθρο Ολοκλήρωμα από την κλασματική ορθολογική λειτουργίαΜου λείπει και τώρα. Εάν ένα τέτοιο ολοκληρωμένο εξακολουθεί να πληροί, δείτε το βιβλίο - όλα είναι απλά εκεί. Δεν το θεωρώ ότι είναι σκόπιμο να συμπεριλάβει το υλικό (ακόμη και απλό), την πιθανότητα συνάντησης με την οποία προσπαθεί να μηδενική.

Ενσωμάτωση σύνθετων τριγωνομετρικών λειτουργιών

Το επίθετο "σύμπλεγμα" για τα περισσότερα παραδείγματα είναι σε πολλούς τρόπους υπό όρους. Ας ξεκινήσουμε με εφαπτόμενες και κοτογγηνές σε υψηλό βαθμό. Από την άποψη των μεθόδων επίλυσης των εφαπτομένων και του KOTAGN, σχεδόν το ίδιο πράγμα, οπότε θα μιλήσω περισσότερο για την εφαπτόμενη, υπονοώντας ότι η αποδεδειγμένη υποδοχή της λύσης του ενσωματωμένου είναι δίκαιη και για CoTangent επίσης.

Στο παραπάνω μάθημα, εξετάσαμε Οικουμενική τριγωνομετρική υποκατάσταση Για την επίλυση ενός συγκεκριμένου τύπου ολοκλήρωμα από τριγωνομετρικές λειτουργίες. Η έλλειψη παγκόσμιας τριγωνομετρικής υποκατάστασης είναι ότι όταν χρησιμοποιείται, συμβαίνουν συχνά ογκώδη ολοκληρώματα με δύσκολους υπολογισμούς. Και σε ορισμένες περιπτώσεις μιας καθολικής τριγωνομετρικής υποκατάστασης μπορεί να αποφευχθεί!

Εξετάστε ένα άλλο κανονικό παράδειγμα, το ενσωματωμένο από τη μονάδα χωρισμένη σε κόλπο:

Παράδειγμα 17.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια παγκόσμια τριγωνομετρική υποκατάσταση και να πάρετε μια απάντηση, αλλά υπάρχει μια πιο ορθολογική διαδρομή. Θα δώσω μια ολοκληρωμένη λύση με σχόλια για κάθε βήμα:

(1) Χρησιμοποιήστε τον τριγωνομετρικό τύπο του ημιτοιχίας της διπλής γωνίας.
(2) Διεξάγουμε έναν τεχνητό μετασχηματισμό: στον παρονομαστή, διαιρούμε και πολλαπλασιάζουμε.
(3) Σύμφωνα με τον γνωστό τύπο στον παρονομαστή, στρέφουμε το κλάσμα στην εφαπτομένη.
(4) σκουπίστε τη λειτουργία κάτω από το σημάδι της διαφοράς.
(5) Πάρτε το αναπόσπαστο.

Μερικά απλά παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 18.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Σημείωση: Η πρώτη ενέργεια πρέπει να χρησιμοποιείται από τον τύπο Και προσεκτικά εκτελέστε παρόμοια με το προηγούμενο παράδειγμα δράσης.

Παράδειγμα 19.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Λοιπόν, αυτό είναι ένα πολύ απλό παράδειγμα.

Πλήρεις λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Νομίζω ότι τώρα κανείς δεν έχει προβλήματα με τα ολοκληρώματα:
και τα λοιπά.

Ποια είναι η ιδέα της μεθόδου; Η ιδέα είναι ότι με τη βοήθεια των μετασχηματισμών, των τριγωνομετρικών τύπων για την οργάνωση στην ενσωμάτωση μόνο εφαπτόμενη και ένα εφαπτομενικό παράγωγο. Δηλαδή, πρόκειται για την αντικατάσταση: . Στα παραδείγματα 17-19, εφαρμόσαμε πραγματικά αυτή την αντικατάσταση, αλλά τα ολοκληρώματα ήταν τόσο απλά ώστε να κοστίζουν ισοδύναμο αποτέλεσμα - να συνοψίσει τη λειτουργία υπό το σημάδι της διαφοράς.

Παρόμοια επιχειρήματα, όπως έχω ήδη ορίσει, μπορείτε να περάσετε για CoTangent.

Υπάρχει επίσημη προϋπόθεση για τη χρήση της παραπάνω αντικατάστασης:

Το άθροισμα των βαθμών της Cosine και του κόλπου είναι ένας εντελώς αρνητικός αριθμός, π.χ:

Για τον ενσωματωμένο - έναν εντελώς αρνητικό αριθμό.

! Σημείωση : Εάν η λειτουργία Integland περιέχει μόνο κόλπο ή μόνο cosine, τότε το ενσωματωμένο λαμβάνεται σε αρνητικό περίεργο βαθμό (οι απλούστερες περιπτώσεις στα Παραδείγματα Νο. 11, 18).

Σκεφτείτε μερικά πιο ενημερωτικά καθήκοντα για αυτόν τον κανόνα:

Παράδειγμα 20.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Το άθροισμα των βαθμών κόλπων και της συνημίας: 2-6 \u003d -4 είναι ένας ολόκληρος αρνητικός αριθμός, πράγμα που σημαίνει ότι το ενσωματωμένο μπορεί να μειωθεί στα εφαπτόμενα και το παράγωγο του:

(1) Μεταμορφώνουμε τον παρονομαστή.
(2) Σύμφωνα με τη διάσημη φόρμουλα, παίρνουμε.
(3) Μεταμορφώνουμε τον παρονομαστή.
(4) Χρησιμοποιούμε τον τύπο .
(5) να παραδώσει τη λειτουργία κάτω από το σημάδι της διαφοράς.
(6) Αντικαταστήσουμε. Οι περισσότεροι έμπειροι μαθητές δεν μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά εξακολουθούν να είναι καλύτερα να αντικατασταθούν η εφαπτόμενη με ένα γράμμα - μείον κίνδυνο είναι συγκεχυμένη.

Παράδειγμα 21.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση.

Κρατήστε, ξεκινήστε τους γύρους του πρωταθλητή \u003d)

Συχνά στη λειτουργία ενσωμάτωσης είναι η "Solyanka":

Παράδειγμα 22.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Σε αυτό το ολοκληρωμένο, η εφαπτομένη είναι αρχικά παρούσα, η οποία ακολουθεί αμέσως στην ήδη γνωστή σκέψη:

Τεχνητή μετασχηματισμό στην αρχή και παραμένοντας τα υπόλοιπα βήματα χωρίς σχόλιο, αφού όλα αναφέρθηκαν παραπάνω.

Ένα ζευγάρι δημιουργικών παραδειγμάτων για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 23.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Παράδειγμα 24.

Βρείτε ένα αόριστο ενσωματωμένο

Ναι, σε αυτά, φυσικά, είναι δυνατόν να μειωθεί ο βαθμός κόλπων, της συνημίας, να χρησιμοποιήσει μια παγκόσμια τριγωνομετρική υποκατάσταση, αλλά η απόφαση θα είναι πολύ πιο αποτελεσματική και μικρότερη αν πραγματοποιηθεί μέσω των εφαπτόμενων. Πλήρης λύση και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος

Λειτουργία f (x), διαφοροποίηση σε αυτό το κενό, καλείται Ιδανικό για λειτουργία F (x), ή από το αναπόσπαστο από το f (x), εάν για οποιαδήποτε X ∈x, η ισότητα είναι αληθής:

F "(x) \u003d f (x). (8.1)

Η εύρεση όλων των πρωταρχικών για αυτή τη λειτουργία ονομάζεται ενσωμάτωση. Αβέβαιη ενσωματωμένη λειτουργίαf (x) σε αυτό το κενό ονομάζεται το σύνολο όλων των πρωταρχικών λειτουργιών για τη λειτουργία F (x). Ονομασία -

Εάν f (x) είναι κάποιο είδος λειτουργικής λειτουργίας f (x), στη συνέχεια ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)

όπου υπάρχει μια αυθαίρετη σταθερά.

Επιτραπέζιοι

Απευθείας από τον ορισμό λαμβάνουμε τις βασικές ιδιότητες ενός αβέβαιου ενσωματωμένου και έναν κατάλογο των ομοσπονδιακών ολοκλήρων:

1) d∫f (x) dx \u003d f (x)

2) ∫df (x) \u003d f (x) + c

3) ∫AF (x) dx \u003d a∫f (x) dx (a \u003d const)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Κατάλογος πίνακες

1. ∫x m dx \u003d x Μ + 1 / (Μ + 1) + C; (m ≠ -1)

3.∫A x dx \u003d a x / ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx \u003d e x + c

5.∫sin x dx \u003d cosx + c

6.∫cos x dx \u003d - sin x + c

7. \u003d ARCTG X + C

8. \u003d Arcsin X + C

10. \u003d - CTG X + C

Αντικατάσταση της μεταβλητής

Για την ενσωμάτωση πολλών λειτουργιών, η μέθοδος αντικατάστασης μιας μεταβλητής ή υποκαταστάσειςεπιτρέποντας να φέρει ολοκληρώματα σε πίνακα.

Εάν η λειτουργία F (z) είναι συνεχής σε [α, β], η λειτουργία Z \u003d g (x) έχει ένα συνεχές παράγωγο και α ≤ g (x) ≤ β, τότε

∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)

Επιπλέον, μετά την ολοκλήρωση, η υποκατάσταση z \u003d g (x) πρέπει να γίνει στο δεξιό μέρος.

Για να αποδείξετε, αρκεί να γράψετε την πηγή ενσωματωμένη στη φόρμα:

∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) dg (x).

Για παράδειγμα:

Μέθοδος ενσωμάτωσης σε μέρη

Αφήστε u \u003d f (x) και v \u003d g (x) να είναι λειτουργίες που είναι συνεχές. Στη συνέχεια, με εργασία,

d (UV)) \u003d UDV + VDU ή UDV \u003d D (UV) - VDU.

Για την έκφραση D (UV), η πρώτη, προφανώς, θα είναι UV, οπότε ο τύπος είναι:

∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)

Αυτός ο τύπος εκφράζει τον κανόνα Ενσωμάτωση σε μέρη. Έχει ως αποτέλεσμα την ενσωμάτωση της έκφρασης UDV \u003d UV "DX για την ενσωμάτωση της έκφρασης VDU \u003d VU" DX.

Αφήστε, για παράδειγμα, πρέπει να βρείτε ∫xcosx dx. Βάλτε u \u003d x, dv \u003d cosxdx, έτσι ώστε du \u003d dx, v \u003d sinx. Επειτα

∫xcosxdx \u003d ∫x d (sin x) \u003d x sin x - ∫sin x dx \u003d x sin x + cosx + c.

Ο κανόνας ενσωμάτωσης σε μέρη έχει ένα πιο περιορισμένο πεδίο εφαρμογής από την αντικατάσταση της μεταβλητής. Αλλά υπάρχουν ολόκληρες τάξεις ολοκλήρωσης, για παράδειγμα,

∫x k ln m m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax και άλλα που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας ενσωμάτωση σε μέρη.

Ορισμένα ενσωματωμένα

Η έννοια ενός συγκεκριμένου ολοκληρωμένου αυξάνεται ως εξής. Αφήστε τη λειτουργία F (x) να ορίσει στο τμήμα. Σπάζουμε το τμήμα [Α, Β] Ν. εξαρτήματα κουκίδες a \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ Χ Ι \u003d Χ Ι - Χ Ι-1. Το άθροισμα της μορφής f (ξ i) δ x i καλείται αναπόσπαστο ποσόκαι το όριο του στο λ \u003d maxdx i → 0, αν υπάρχει και είναι πεπερασμένη, που ονομάζεται Ορισμένα ενσωματωμέναΛειτουργίες F (x) από ΕΝΑ. πριν ΣΙ. Και υποδεικνύεται:

F (ξ i) Δx Ι (8.5).

Λειτουργία F (x) Σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται ενσωματωμένη στην περικοπή, οι αριθμοί Α και Β καλούνται χαμηλότερο και ανώτερο ολοκληρωτικό όριο.

Για συγκεκριμένο αναπόσπαστο, οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν:

4), (k \u003d const, k∈ cr);

5)

6)

7) F (ξ) (b - a) (ξ∈).

Το τελευταίο ακίνητο καλείται Θεωρεί το μέσο όρο.

Αφήστε το F (x) να είναι συνεχές. Στη συνέχεια, υπάρχει ένα αόριστο ενσωματωμένο σε αυτό το τμήμα

∫f (x) dx \u003d f (x) + c

Και λαμβάνει χώρα formula Newton Labitsa, δεσμεύοντας ένα συγκεκριμένο αναπόσπαστο με αβέβαιο:

F (β) - F (a). (8.6)

Γεωμετρική ερμηνεία: Ένα ορισμένο ολοκληρωμένο είναι μια περιοχή καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς, περιορισμένη από πάνω από την καμπύλη y \u003d f (x), ευθεία x \u003d a και x \u003d b και το τμήμα του άξονα ΒΟΔΙ..

Μη έγκυρα ολοκληρώματα

Ολοκληρωμένα με άπειρα όρια και ολοκληρώματα από ασυνεχές (απεριόριστες) λειτουργίες καλούνται ασύμβατες. Μη συμβατά ολοκληρώματα του είδους - Αυτά είναι ολοκληρώματα σε ένα άπειρο χάσμα που ορίζεται ως εξής:

(8.7)

Εάν υπάρχει αυτό το όριο και είναι πεπερασμένο, τότε καλείται συγκλίνοντας ατελή ολοκλήρωση από το f (x) στο διάστημα [Α, + ∞), και η λειτουργία F (x) καλείται ενσωματωμένο σε ένα άπειρο διάστημα[Α, + ∞). Διαφορετικά για το αναπόσπαστο λέει Δεν υπάρχει ή αποκλίνει.

Κατά τον ίδιο τρόπο, προσδιορίζονται ακατανόητα ολοκληρωμένα ολοκληρώματα στα διαστήματα (-∞, b] και (-∞, + ∞):

Ορίζουμε την έννοια της ολοκλήρωσης από την απεριόριστη λειτουργία. Εάν το f (x) είναι συνεχές για όλες τις τιμές Χ. Κόψτε, εκτός από το σημείο C, στο οποίο το f (x) έχει ένα ατελείωτο κενό, τότε Ασυμβίβαστο ενσωματωμένο γένος II από F (x) Στην περιοχή από Α έως Β Το ποσό καλείται:

Εάν υπάρχουν αυτά τα όρια και είναι πεπερασμένα. Ονομασία:

Παραδείγματα υπολογισμού των ολοκλήρων

Παράδειγμα 3.30. Υπολογίστε ∫DX / (x + 2).

Απόφαση. Δηλώστε με t \u003d x + 2, στη συνέχεια dx \u003d dt, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d ln | x + 2 | + C.

Παράδειγμα 3.31.. Βρείτε ∫ tgxdx.

Απόφαση.∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Αφήστε το t \u003d cosx, στη συνέχεια ∫ tgxdx \u003d -∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -LN | COSX | + C.

Παράδειγμα3.32 . Βρείτε ∫DX / SINX

Απόφαση.

Παράδειγμα3.33. Να βρω .

Απόφαση. = .

Παράδειγμα3.34 . Βρείτε ∫ARCTGXDX.

Απόφαση. Ενσωματώνουμε σε μέρη. Δηλώστε u \u003d arctgx, dv \u003d dx. Στη συνέχεια, du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d x, από όπου ∫ ∫arctgxdx \u003d XARCTGX - ∫ XDX / (x 2 +1) \u003d XARCTGX + 1/2 LN (Χ 2 +1) + C; όπως και
∫XDX / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫D (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.

Παράδειγμα3.35 . Υπολογίστε ∫LNXDX.

Απόφαση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο ενσωμάτωσης σε μέρη, παίρνουμε:
u \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Τότε ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d XLNX - ∫DX + C \u003d XLNX - X + C.

Παράδειγμα3.36 . Υπολογίστε ∫e x sinxdx.

Απόφαση. Δηλώστε το u \u003d e x, dv \u003d sinxdx, τότε du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → ∫ e x sinxdx \u003d - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Το ενσωματωμένο ∫e x cosxdx ενσωματώνει επίσης σε μέρη: u \u003d e x, dv \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx. Εχουμε:
∫ e x cosxdx \u003d e x sinx - ∫ e x sinxdx. Έλαβε ∫e x sinxdx \u003d - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, από όπου 2∫E x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + s

Παράδειγμα 3.37. Υπολογίστε j \u003d ∫cos (lnx) dx / x.

Απόφαση.Δεδομένου ότι DX / X \u003d DLNX, στη συνέχεια J \u003d ∫COS (LNX) D (LNX). Αντικατάσταση LNX μέσω t, φτάνουμε στο τραπέζι Integral J \u003d ∫ CostDT \u003d Sint + C \u003d SIN (LNX) + C.

Παράδειγμα 3.38 . Υπολογίστε j \u003d.

Απόφαση. Λαμβάνοντας υπόψη ότι \u003d D (LNX), παράγουμε την υποκατάσταση LNX \u003d t. Τότε j \u003d. .

Παράδειγμα 3.39 . Υπολογίστε το ενσωματωμένο J \u003d .

Απόφαση.Εχουμε: . Επομένως \u003d.
=
\u003d. Εισάγεται έτσι SQRT (Tan (X / 2)).

Και αν κάνετε κλικ στα βήματα εμφάνισης στην επάνω δεξιά γωνία και, στη συνέχεια, λάβετε μια λεπτομερή λύση.