Systèmes de numéro

Système de numéro -un ensemble de réceptions et de règles pour enregistrer des nombres par des signes numériques ou des symboles.

Tous les systèmes de numéro peuvent être divisés en deux classes: positionné et non-Aposition. Dans la classe de systèmes de position pour enregistrer des nombres dans différents systèmes de nombres, un certain nombre de caractères sont différents les uns des autres. Le nombre de tels signes dans le système de positionnement est appelé la base du système de nombres.Vous trouverez ci-dessous une table contenant les noms de certains systèmes de positionnement de position et une liste de caractères (chiffres) à partir de quels nombres sont formés.

Certains systèmes de nombres

Base	Notation	Panneaux
	Binaire	0,1
	Tropique	0, 1, 2
	Traversier	0, 1, 2, 3
	TAPOTER.	0, 1, 2, 3, 4
	Octal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Décimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Douze	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Hexadécimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, F

Dans un système de position pour le nombre de positions relatives, les figures sont parmi le poids du multiplicateur de poids, et le nombre peut être représenté comme une somme des œuvres de coefficients au degré de base du système de numéros (multiplicateur de poids). :

A N et N-1 A N-2 ... A 1 A 0, A -1 A -2 ... \u003d

A N B N + A N-1 B N-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A -1 B -1 + A -2 B -2 + ...

(Le signe "," sépare toute la partie du nombre de la fraction. Ainsi, la valeur de chaque signe est résolue sur la position que le panneau occupe dans le nombre de chiffres. C'est pourquoi de tels numéros sont appelés positionnels).

Le système de positionnement est un système dans lequel le nombre de nombres est déterminé par les valeurs du nombre de nombres en elle et leur position relative.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

L'indice décimal en bas indique la base du système de nombres.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F, 4 16 \u003d A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 -1 \u003d 2591 625 10.

Lorsque vous travaillez avec des ordinateurs, il est nécessaire d'utiliser simultanément plusieurs systèmes de visualisation de position (le plus souvent binaire, décimal, octal et hexadécimal), par conséquent, les procédures de transfert de nombres d'un système à un autre sont largement pratiques. Notez que dans tous les exemples ci-dessus, le résultat est un nombre décimal, et donc la méthode de traduction de nombres à partir de tout système de numérotation de position de la décimale a déjà été démontrée.

En général, afin de traduire la partie entière du nombre du système décimal au système à la base, il est nécessaire de la diviser sur V. Le résidu donnera un numéro de décharge junior. Dans ce cas particulier, le privé doit être divisé en résidus donnera au chiffre suivant du nombre, etc. Les divisions continuent jusqu'à ce que le privé devienne moins que la fondation. Les valeurs des résidus résultants pris en séquence inverse forment un nombre binaire souhaité.

Un exemple de traduction de la partie complète:Traduisez 25 10 dans le système binaire.

25/2 \u003d 12 avec le résidu 1,

12/2 \u003d 6 avec résidus 0,

6/2 \u003d 3 avec résidus 0,

Les parties entières et fractionnaires sont traduites à part. Pour transférer la partie fractionnée, il doit être multiplié par V. La partie entière du produit résultant sera la première (après la division de la part de la partie entière du signe fractionnaire). La partie fractionnée du travail doit être multipliée à nouveau à B. La partie complète du nombre reçu sera le signe suivant, etc.

Pour transférer la partie fractionnée (ou le nombre, lequel «0» entièrement) doit être multiplié par celui-ci à 2. Une partie intégrante du travail sera le premier chiffre dans le système binaire. Ensuite, en écartant le résultat d'une partie entière, nous multiplions à nouveau par 2, etc. Notez que la fraction décimale finale pourrait bien devenir un binaire infini (périodique).

Exemple de traduction d'une partie fractionnée: Traduisez 0,73 10 sur le système binaire.

0,73 ⋅ 2 \u003d 1,46 (partie entière 1),

0,46 ⋅ 2 \u003d 0,92 (partie integer 0),

0,92 ⋅ 2 \u003d 1,84 (partie entière 1),

0,84 ⋅ 2 \u003d 1,68 (partie entier 1), etc.

Ainsi, 0,73 10 \u003d 0,1011 2.

Sur les nombres enregistrés dans n'importe quel système, vous pouvez produire diverses opérations arithmétiques. Les opérations arithmétiques dans tous les systèmes de visualisation de position sont effectuées par les mêmes règles bien connues de vous.

Considérons l'ajout de deux nombres avec une base de dix:

Lors de l'ajout du nombre 6 et 7, le résultat peut être représenté comme une expression 10 + 3, où 10 est une base complète pour un système de nombres décimal. Remplacez 10 (base) sur 1 et remplacez-le à gauche de la figure 3. Il s'avère:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Considérons l'ajout de deux nombres avec la base huit:

Lorsque les chiffres 6 et 7 sont ajoutés, le résultat peut être représenté comme une expression 8 + 5, où 8 est une base complète pour un système numérique octaous. Remplacez 8 (base) sur 1 et remplacez-le à gauche de la figure 5. Il s'avérera:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Considérons l'ajout de deux grands nombres avec la base huit:

L'ajout commence par la décharge plus jeune. Ainsi, 4 8 + 6 8 représentent comment 8 (base) + 2. Nous remplaçons 8 (base) à 1 et ajoutons cette unité au degré de décharge plus ancienne. En outre, nous formons les décharges suivantes: 5 8 + 3 8 + 1 8. Nous représentons comment 8 + 1, remplacez 8 (base) à 1 et l'ajoutez à la décharge des personnes âgées. En outre, 2 8 + 7 8 + 1 8 représentent comment 8 (base) + 2, remplacez 8 (base) par 1 et remplacez la gauche du nombre résultant (dans la position de la décharge plus ancienne). Ainsi, il s'avère:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 \u003d 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

D'autres opérations arithmétiques (soustraction, multiplication et division) dans divers systèmes de nombres sont effectuées de la même manière.

Considérons la multiplication de la "étape", sur l'exemple de deux nombres du système binaire:

11101 2 · 101 2

Nous écrivons les chiffres les uns dans les autres, conformément aux décharges. Ensuite, nous produisons une multiplication de bonnée du deuxième multiplicateur à la première et écrivez avec le décalage à gauche, ainsi que lors de la multiplication des nombres décimaux. Il reste à être plié des chiffres «offset», étant donné la base de chiffres, dans ce cas binaire.

nous transformons le résultat résultant de la base 16.

Dans la deuxième catégorie 29, nous présentons comment 16 (base) et 13 (d). Remplacez 16 (base) sur 1 et ajoutez-le à la décharge des aînés.

Dans la troisième décharge 96 + 1 \u003d 97. Ensuite, 97 s'imaginera, comme 6 × 16 (base) et 1. ajouter 6 à la décharge plus ancienne.

Dans la quatrième décharge 20 + 6 \u003d 26. Imaginez 26, comme 16 (base) et 10 (a). L'unité est transférée à la décharge senior.

Avec certaines compétences de travailler avec différents systèmes de nombres, l'enregistrement pourrait être immédiatement représenté comme

		UNE.
		B.	B.
	UNE.		RÉ.

Ainsi, A31 16 · 29 16 \u003d 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566b 16 - 4A77 16 \u003d BF4 16

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 · 231 8 \u003d 70616 8,

4A77 16 · BF4 16 \u003d 37A166C 16,

1100110 2 · 1100111 2 \u003d 10100100001010 2.

Du point de vue de l'étude des principes de présentation et de traitement des informations sur l'ordinateur, les systèmes discutés (binaires, octal et hexadécimales) présentent un grand intérêt, bien que l'ordinateur traite les données uniquement converties en code binaire (système de numéros binaires). Toutefois, afin de réduire le nombre de signes enregistrés sur papier ou entré à partir du clavier de l'ordinateur, il est plus pratique d'utiliser des nombres octels ou hexadécimaux, d'autant plus qu'il sera présenté ci-dessous, la procédure de traduction mutuelle des nombres de chacun des Ces systèmes en binaire sont très simples - des transferts beaucoup plus simples entre tous ces trois systèmes et décimales.

Imaginez le nombre de systèmes de numérotation différents selon les autres:

Décimal	Hexadécimal	Octal	Binaire
	UNE.
	B.
	C.
	RÉ.
	E.
	F.

Il peut être vu de la table que le nombre de systèmes avec une base 2, 8 et 16 a des motifs périodiques. Ainsi, les huit valeurs du système octal, c'est-à-dire (de 0 à 7 ou une base complète) correspondent aux trois décharges ( triades) Système binaire. Ainsi, pour décrire les numéros d'une décharge du système octal, exactement trois binaires de décharge sont nécessaires. De même, avec le nombre d'un système hexadécimal. Seulement pour leur description nécessite exactement quatre chiffres ( tétradda) Système binaire.

Il s'ensuit qu'il est nécessaire que, pour la traduction de tout numéro binaire entier à l'octal, il est nécessaire de la rompre à gauche en groupes de 3 chiffres (le groupe le plus à gauche peut contenir moins de trois chiffres binaires), puis Chaque groupe est mis en ligne avec son équivalent octal.

Par exemple, il est nécessaire de traduire 11011001 2 sur le système octal.

Nous divisons le nombre en groupes de trois chiffres 011 2, 011 2 et 001 2. Nous substituons les figures correspondantes du système octal. Nous obtenons 3 8, 3 8 et 1 8 ou 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

De même, les transferts inversés sont effectués, par exemple:

Traduire AB5D 16 en un système de numéros binaires.

Remplacez alternativement chaque caractère du numéro AB5D 16 au numéro correspondant du système binaire. Nous obtenons 1010 16, 1011 16, 0101 16 et 1101 16 ou 1010101101011101 2.

AB5D 16 \u003d 1010101101011101 2.

Outre les systèmes de positionnement ci-dessus, il est tel que le sens du signe ne dépend pas de la place qu'elle a lieu. Ces systèmes de nombres sont appelés non-sacrifices. L'exemple le plus célèbre du système de nonposition est romain. Ce système utilise 7 caractères (I, V, X, L, C, D, M), qui correspondent aux valeurs suivantes:

Règles pour enregistrer les nombres numéros romains: - Si la grande figure se tient devant le plus petit, ils se plient (le principe d'addition), - si une figure plus petite est plus importante, la plus petite est déduite du plus grand (le principe de soustraction).

La deuxième règle s'applique pour éviter la répétition à quatre reprises du même nombre. Ainsi, les chiffres romains I, X, C sont mis selon X, C, M de désigner 9, 90, 900 ou avant V, L, D pour indiquer 4, 40, 400.

Exemples de numéros d'enregistrement NUMÉROS ROMAINS:

IV \u003d 5 - 1 \u003d 4 (au lieu de IIII),

Xix \u003d 10 + 10 - 1 \u003d 19 (au lieu de XVIIII),

Xl \u003d 50 - 10 \u003d 40 (au lieu de xxxx),

Xxxiii \u003d 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 \u003d 33, etc.

Il convient de noter que la mise en œuvre d'actions arithmétiques encore simples au-dessus du nombre multi-valorisation des nombres romains est très inconfortable. La complexité des calculs dans un système romain basé sur l'utilisation de lettres latines est probablement devenue l'une des bonnes raisons de la remplacer à un système décimal plus pratique dans ce plan.

3.1 La base du système de numéro est appelée ...

Total des réceptions et des règles pour enregistrer des numéros numériques signes ou symboles numériques

Le nombre de signes utilisés dans un système de positionnement spécifique

Diviseur utilisé lors du transfert de nombres d'un système de numéros à un autre

Multiplicateur commun, lors du transfert de nombres d'un nombre de chiffres à un autre

3.2 Quel système de numéro n'a pas trouvé de grande utilisation dans le technicien en informatique

Octal

Binaire

TAPOTER.

Hexadécimal

Opérations arithmétiques dans les systèmes de chirurgie positionnelle

Les opérations arithmétiques dans tous les systèmes de visualisation de position sont effectuées par les mêmes règles bien connues de vous.

Une addition. Considérons l'ajout de chiffres dans le système de numéros binaires. Il est basé sur la table d'ajout de nombres binaires à un chiffre:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Il est important de faire attention au fait que lorsque les deux unités sont additionnées, le débordement de la décharge survient et transféré à la décharge senior. Le débordement de la décharge se produit lorsque la valeur du nombre est égale ou supérieure à la base.

L'ajout de numéros binaires à plusieurs chiffres se produit conformément au tableau d'addition susmentionné, en tenant compte des transferts éventuels des revenus plus jeunes aux aînés. À titre d'exemple, posez dans la colonne Numéros binaires 110 2 et 11 2:

Nous vérifions l'exactitude du calcul en ajoutant dans le système de nombres décimaux. Nous traduisons les numéros binaires en un système de nombres décimaux, puis nous les plions:

110 2 \u003d 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 \u003d 6 10;

11 2 \u003d 1 × 2 1 + 1 × 2 0 \u003d 3 10;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Nous allons maintenant transférer le résultat d'un ajout binaire au nombre décimal:

1001 2 \u003d 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 \u003d 9 10.

Comparez les résultats - L'addition est effectuée correctement.

Soustraction. Considérons la soustraction des nombres binaires. Il est basé sur une table de soustraction de nombres binaires à un chiffre. Lors de la soustraction d'un nombre plus petit (0) plus (1), un prêt provenant de la décharge plus ancienne est effectué. Dans le tableau, le prêt est indiqué 1 avec une fonctionnalité:

Multiplication. La multiplication est basée sur la table de multiplication des nombres binaires à un chiffre:

Division. L'opération de division est effectuée selon un algorithme similaire à l'algorithme d'exécution d'une opération de division dans un système de nombres décimaux. Par exemple, nous produirons une division du numéro binaire 110 2 à 11 2:

Pour effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres exprimés dans divers systèmes de nombres, il est nécessaire de les traduire dans le même système.

Tâches

1.22. Réalisez l'addition, la soustraction, la multiplication et la division des nombres binaires 1010 2 et 10 2 et vérifiez l'exactitude de l'exécution d'actions arithmétiques à l'aide d'une calculatrice électronique.

1.23. Pliez les nombres octals: 5 8 et 4 8, 17 8 et 41 8.

1.24. Conduisez la soustraction des nombres hexadécimaux: F 16 et A 16, 41 16 et 17 16.

1.25. Numéros de pliaux: 17 8 et 17 16, 41 8 et 41 16

Noter:
Vous ne pouvez effectuer que des actions dans un système d'un numéro si vous recevez des systèmes de numéros différents, transférez d'abord tous les numéros en un système numérique.
Si vous travaillez avec un système numérique, la base dont la base est supérieure à 10 et dans votre exemple remplit la lettre, remplacez-la mentalement avec le nombre dans le système décimal, dessinez les opérations nécessaires et traduisez le résultat du système de numéro de source.

Une addition:
Tout le monde se souvient de la façon dont l'école primaire nous a appris à plier la colonne, la décharge avec la décharge. Si, lors de l'addition de la décharge, un nombre a été obtenu plus de 9, nous en soustraits à partir de celui-ci 10, le résultat a été enregistré en réponse et 1 a été ajouté à la prochaine décharge. De cela, vous pouvez formuler une règle:

1. Plier plus pratique à "colonne"
2. Pliage vers le bas, si la figure est déchargée\u003e plus le plus grand chiffre de l'alphabet de ce système de numérique, nous soustrayons de ce numéro la base du système de numéros.
3. Le résultat est enregistré dans la décharge souhaitée
4. Ajouter une unité à la prochaine décharge

Exemple:

Plier 1001001110 et 100111101 dans un système de nombres binaires

1001001110

100111101

1110001011

Réponse: 1110001011

Fixer F3B et 5A dans un système de nombres hexadécimaux

Fe0.

Réponse: Fe0.

Soustraction: Tout le monde se souvient de la façon dont l'école primaire nous a appris à déduire la colonne, la décharge de la catégorie. Si, lors de la soustraction de la décharge, il y avait un nombre inférieur à 0, nous avons "occupé" une unité de la décharge plus ancienne et ajouté à la figure 10 souhaitée, du nouveau numéro qu'il a été soustrait. De cela, vous pouvez formuler une règle:

1. Soustraire plus pratique à la "étape"
2. Libéré est bonable si la figure est déchargée< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Nous produisons une soustraction

Exemple:

Abonnez-vous à partir de 1001001110 Numéro 100111101 dans un système de numéros binaires

1001001110

100111101

100010001

Réponse: 100010001

Libération de F3B Number 5A dans un système de nombres hexadécimaux

D96

Réponse: D96.

Plus important encore, n'oubliez pas le fait que vous n'avez que le nombre de ce système de numéro, n'oubliez pas les transitions entre les termes de décharge.
Multiplication:

La multiplication dans d'autres systèmes de nombres se produit comme nous l'habitude de multiplier.

1. Multiplier plus pratique par la "étape"
2. La multiplication dans tous les numéros se produit conformément aux mêmes règles qu'en décimal. Mais nous ne pouvons utiliser que l'alphabet, ce système de numéros

Exemple:

Multipliez 10111 par numéro 1101 dans un système de nombres binaires

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Réponse: 100101011

Multipliez F3B par numéro A dans un système numérique hexadécimal

F3b.

984E.

Réponse: 984E.

Réponse: 984E.

Plus important encore, n'oubliez pas le fait que vous n'avez que le nombre de ce système de numéro, n'oubliez pas les transitions entre les termes de décharge.

Division:

Division dans d'autres systèmes d'enquête survient comme nous l'avions l'habitude de partager.

1. Partager plus pratique à "colonne"
2. Division dans n'importe quel système se produit conformément aux mêmes règles qu'en décimal. Mais nous ne pouvons utiliser que l'alphabet, ce système de numéros

Exemple:

Divisé 1011011 au numéro 1101 dans le système de nombres binaires

Diviser F 3. B pour le numéro 8 dans un système de nombres hexadécimal

Plus important encore, n'oubliez pas le fait que vous n'avez que le nombre de ce système de numéro, n'oubliez pas les transitions entre les termes de décharge.

Non-Aposition

Systèmes de nombres non échantillons

Les systèmes de nombres non échantillons sont apparus d'abord d'abord. Dans ces systèmes, la valeur de chaque symbole numérique est constamment indépendante de sa position. Le cas le plus simple du système de non-sacrification est un seul, pour lequel le symbole unique est utilisé pour désigner des nombres, en règle générale, il s'agit d'une fonctionnalité, parfois un point que le nombre correspond au nombre indiqué est toujours installé:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - |||, etc.

Ainsi, ce symbole unique est important. unitésÀ partir de quel ajout séquentiel a obtenu le nombre requis:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

La modification d'un système unique est un système avec une base dans laquelle il existe des caractères non seulement pour désigner une unité, mais également pour les degrés de la base. Par exemple, si la base est prise numéro 5, il y aura des caractères supplémentaires pour la notation 5, 25, 125, etc.

Un exemple d'un tel système avec la base 10 est l'ancien égyptien, qui s'est dégagé dans la seconde moitié du troisième millénaire à la nouvelle ère. Ce système a eu les hiéroglyphes suivants:

• six unités,
• arc - dizaines,
• feuille de palmier - des centaines,
• fleur de Lotus - Des milliers.

Les chiffres ont été obtenus par simple dépendance, l'ordre des éléments suivants pourrait être n'importe lequel. Ainsi, pour la désignation, par exemple, le nombre 3815, les trois fleurs de lotus peintes, huit feuilles de palmier, un arc et cinq pôles. Systèmes plus complexes avec signes supplémentaires - vieux grec, romain. Romain utilise également un élément du système de positionnement - une grande figure qui se tient devant le plus petit, est ajoutée auparavant - elle est soustraite: IV \u003d 4, mais VI \u003d 6, cette méthode est toutefois utilisée exclusivement à désigner Numéros 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 et leurs ajouts.

Les systèmes nouvellement russes utilisés comme chiffres 27 lettres de l'alphabet, où ils ont été désignés tous les nombres de 1 à 9, ainsi que des dizaines et des centaines. Cette approche a fourni la possibilité d'enregistrer des nombres de 1 à 999 sans répétition.

Dans le système de vieux circuit, une cadrage spéciale autour des chiffres a été utilisée pour désigner de grands nombres.

En tant que système verbal, le nombre est encore presque partout inspiration. Les systèmes de numérotation verbale sont fortement liés dans la langue et leurs éléments généraux sont principalement liés aux principes généraux et aux noms de grands nombres (trillions et plus). Principes généraux basés sur la numérotation verbale moderne des dommages causés à la formation de la désignation en ajoutant et en multipliant les valeurs des noms uniques.

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LEÇON 15.
§12. Opérations arithmétiques dans les systèmes de chirurgie positionnelle

Opérations arithmétiques dans les systèmes de chirurgie positionnelle

Opérations arithmétiques dans les systèmes de visualisation de position basés sur des systèmes de visualisation q. Effectué selon les règles similaires aux règles opérant dans le système de nombres décimaux.

Dans l'école primaire, des tables d'addition et de multiplication sont utilisées pour enseigner aux enfants. De telles tables peuvent être compilées pour tout système de numéro de positionnement.

12.1. Ajout de nombres dans le système de numéros avec la base q

Considérez les exemples des tables de pliage dans le trico (Table 3.2), l'octal (Tableau 3.4) et Hexadecimal (Tableau 3.3) des systèmes de nombres.

Tableau 3.2.

Ajout dans le système de numéros tropics

Tableau 3.3.

Ajout dans un système numérique hexadécimal

Tableau 3.4.

Ajout dans le système de numéro d'octal

q. Faire une somme S. Deux nombres MAIS et B., Il est nécessaire de résumer leurs chiffres pour les chiffres jE. de droite à gauche:

Si un i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
Si un i + b i ≥ q, alors s i \u003d a i + b i-q, l'aîné (i + 1) -ème décharge augmente de 1.

Exemples:

12.2. Soustraction des nombres dans le système de numéro avec la base q

Dans le système numérique avec la base q. Faire une différence R Deux nombres MAIS et DANS, il est nécessaire de calculer les différences des chiffres formant leurs chiffres à décharger jE. de droite à gauche:

Si j'ai ≥ b i, alors r i \u003d a I-B i, Senior (i + 1) -ème décharge ne change pas;
Si un I.< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).