Notă:
Puteți efectua acțiuni numai într-un singur sistem numeric; dacă vi se oferă sisteme numerice diferite, mai întâi convertiți toate numerele într-un singur sistem numeric
Dacă lucrați cu un sistem numeric a cărui bază este mai mare de 10 și aveți o literă în exemplul dvs., înlocuiți-o mental cu un număr în sistemul zecimal, efectuați operațiunile necesare și convertiți rezultatul înapoi în sistemul de numere original.

Plus:
Toată lumea își amintește cum în școala elementară am fost învățați să adăugăm într-o coloană, loc cu loc. Dacă, la adăugarea unei cifre, s-a obținut un număr mai mare de 9, am scăzut 10 din acesta, rezultatul rezultat a fost notat în răspuns, iar 1 a fost adăugat la următoarea cifră. Din aceasta putem formula o regulă:

1. Este mai convenabil să pliați într-o „coloană”
2. Adunând loc cu loc, dacă cifra din locul > este mai mare decât cea mai mare cifră a alfabetului unui sistem de numere dat, din acest număr scadem baza sistemului de numere.
3. Scriem rezultatul în categoria cerută
4. Adăugați una la următoarea cifră

Exemplu:

Adăugați 1001001110 și 100111101 în sistemul de numere binar

1001001110

100111101

1110001011

Răspuns: 1110001011

Adăugați F3B și 5A în notație hexazecimală

FE0

Răspuns: FE0

Scădere: Toată lumea își amintește cum în școala elementară am fost învățați să scădem după coloană, valoarea locului din valoarea locului. Dacă, la scăderea într-o cifră, s-a obținut un număr mai mic decât 0, atunci am „împrumutat” unul din cifra cea mai mare și am adăugat 10 la cifra dorită și am scăzut pe cel necesar din noul număr. Din aceasta putem formula o regulă:

1. Este mai convenabil să scazi într-o „coloană”
2. Scăderea la loc dacă cifra este pe loc< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Efectuăm scăderea

Exemplu:

Scădeți numărul 100111101 din 1001001110 în sistemul de numere binar

1001001110

100111101

100010001

Răspuns: 100010001

Scădeți 5A din F3B în notație hexazecimală

D96

Răspuns: D96

Cel mai important, nu uitați că aveți la dispoziție doar numere ale unui anumit sistem de numere și, de asemenea, nu uitați de tranzițiile între termenii de cifre.
Multiplicare:

Înmulțirea în alte sisteme de numere are loc exact în același mod în care suntem obișnuiți cu înmulțirea.

1. Este mai convenabil să înmulțiți într-o „coloană”
2. Înmulțirea în orice sistem numeric urmează aceleași reguli ca și în sistemul zecimal. Dar putem folosi doar alfabetul dat de sistemul numeric

Exemplu:

Înmulțiți 10111 cu 1101 în sistemul de numere binar

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Răspuns: 100101011

Înmulțiți F3B cu numărul A în notație hexazecimală

F3B

984E

Răspuns: 984E

Răspuns: 984E

Cel mai important, nu uitați că aveți la dispoziție doar numere ale unui anumit sistem de numere și, de asemenea, nu uitați de tranzițiile între termenii de cifre.

Divizia:

Împărțirea în alte sisteme numerice are loc exact în același mod în care suntem obișnuiți cu împărțirea.

1. Este mai convenabil să împărțiți într-o „coloană”
2. Împărțirea în orice sistem numeric urmează aceleași reguli ca și în sistemul zecimal. Dar putem folosi doar alfabetul dat de sistemul numeric

Exemplu:

Împărțiți 1011011 la 1101 în sistemul de numere binar

Divide F 3 B pentru numărul 8 în sistemul numeric hexazecimal

Cel mai important, nu uitați că aveți la dispoziție doar numere ale unui anumit sistem de numere și, de asemenea, nu uitați de tranzițiile între termenii de cifre.

NEPOZIȚIONALĂ

Sisteme numerice non-poziționale

Sistemele numerice non-poziționale au apărut primele din punct de vedere istoric. În aceste sisteme, semnificația fiecărui caracter digital este constantă și nu depinde de poziția acestuia. Cel mai simplu caz al unui sistem nepozițional este sistemul de unități, pentru care se folosește un singur simbol pentru a desemna numere, de obicei o bară, uneori un punct, din care se plasează întotdeauna cantitatea corespunzătoare numărului desemnat:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - |||, etc.

Deci, acest personaj are sens unitati, din care numărul necesar se obține prin adunare succesivă:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

O modificare a sistemului de unități este sistemul cu o bază, în care există simboluri nu numai pentru a desemna unitatea, ci și pentru gradele bazei. De exemplu, dacă numărul 5 este luat ca bază, atunci vor exista simboluri suplimentare pentru a indica 5, 25, 125 și așa mai departe.

Un exemplu de astfel de sistem de bază 10 este cel egiptean antic, care a apărut în a doua jumătate a mileniului al treilea î.Hr. Acest sistem avea următoarele hieroglife:

• stâlpi - unități,
• arc - zeci,
• frunza de palmier - sute,
• floare de lotus - mii.

Numerele au fost obținute prin simplă adunare; ordinea putea fi oricare. Deci, pentru a desemna, de exemplu, numărul 3815, au fost desenate trei flori de lotus, opt frunze de palmier, un arc și cinci poli. Sisteme mai complexe cu semne suplimentare - greacă veche, romană. Cea romană folosește și un element al sistemului pozițional - se adaugă un număr mai mare în fața unuia mai mic, se scade unul mai mic în fața unuia mai mare: IV = 4, dar VI = 6, această metodă însă, este folosit exclusiv pentru a desemna numerele 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 și derivatele lor prin adunare.

Sistemele grecești moderne și cele rusești antice au folosit 27 de litere ale alfabetului ca numere, unde au notat fiecare număr de la 1 la 9, precum și zeci și sute. Această abordare a făcut posibilă scrierea numerelor de la 1 la 999 fără a repeta numerele.

În vechiul sistem rusesc, cadrele speciale în jurul numerelor erau folosite pentru a indica numerele mari.

Sistemul de numerotare non-pozițională este încă folosit aproape peste tot ca sistem de numerotare verbală. Sistemele de numerotare verbală sunt strâns legate de limbaj, iar elementele lor comune se referă în principal la principiile generale și denumirile numerelor mari (trilioane și mai sus). Principiile generale care stau la baza numerotărilor verbale moderne implică formarea denumirilor prin adăugarea și multiplicarea semnificațiilor numelor unice.

Scopul serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a adăuga numere binare în codurile înainte, inversă și complementară.

Următoarele sunt, de asemenea, utilizate cu acest calculator:
Conversia numerelor în sisteme de numere binare, hexazecimale, zecimale, octale
Înmulțirea numerelor binare
Format virgulă mobilă
Exemplul nr. 1. Reprezentați numărul 133,54 sub formă de virgulă mobilă.
Soluţie. Să reprezentăm numărul 133,54 în formă exponențială normalizată:
1,3354*10 2 = 1,3354*exp 10 2
Numărul 1,3354*exp 10 2 este format din două părți: mantisa M=1,3354 și exponentul exp 10 =2
Dacă mantisa este în intervalul 1 ≤ M Reprezentarea unui număr în formă exponențială denormalizată.
Dacă mantisa este în intervalul 0,1 ≤ M Să reprezentăm numărul în formă exponențială denormalizată: 0,13354*exp 10 3

Exemplul nr. 2. Reprezentați numărul binar 101.10 2 în formă normalizată, scrisă în standardul IEEE754 pe 32 de biți.
Tabelul adevărului

Calculul limitelor

Aritmetica în sistemul de numere binar

Operațiile aritmetice în sistemul binar sunt efectuate în același mod ca și în sistemul zecimal. Dar, dacă în sistemul numeric zecimal transferul și împrumutul sunt efectuate cu zece unități, atunci în sistemul numeric binar - cu două unități. Tabelul arată regulile de adunare și scădere în sistemul numeric binar.

1. Când adăugați două unități într-un sistem de numere binar, acest bit va fi 0 și unitatea va fi transferată la bitul cel mai semnificativ.
2. Când scădeți unul din zero, unul este împrumutat din cifra cea mai mare, unde există 1. O unitate ocupată în această cifră dă două unități în cifra în care se calculează acțiunea, precum și una în toate cifrele intermediare.

Adăugarea de numere ținând cont de semnele lor pe o mașină este o succesiune a următoarelor acțiuni:

• conversia numerelor originale în codul specificat;
• adăugarea codurilor pe biți;
• analiza rezultatului obtinut.

La efectuarea unei operații în cod invers (modificat invers), dacă în urma adunării apare o unitate de transport în bitul de semn, aceasta este adăugată la bitul de ordin inferior al sumei.
Atunci când se efectuează o operație în codul complement a doi (complement a doi modificat), dacă o unitate de transport apare în bitul de semn ca urmare a adunării, aceasta este aruncată.
Operația de scădere într-un calculator se realizează prin adunare după regula: X-Y=X+(-Y). Acțiunile ulterioare sunt efectuate în același mod ca și pentru operația de adăugare.

Exemplul nr. 1.
Dat: x=0,110001; y= -0,001001, adăugați codul modificat invers.

Dat: x=0,101001; y= -0,001101, adăugați cod suplimentar modificat.

Exemplul nr. 2. Rezolvați exemple de scădere a numerelor binare folosind complementul la 1 și metoda purtării ciclice.
a) 11 - 10.
Soluţie.
Să ne imaginăm numerele 11 2 și -10 2 în cod invers.

Numărul binar 0000011 are un cod reciproc de 0,0000011

Să adăugăm numerele 00000011 și 11111101

7	6	5	4	3	2	1	0
						1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
							0

7	6	5	4	3	2	1	0
					1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
						0	0

A avut loc o depășire în a 2-a cifră (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a treia cifră.

7	6	5	4	3	2	1	0
				1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
					0	0	0

7	6	5	4	3	2	1	0
			1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
				0	0	0	0

7	6	5	4	3	2	1	0
		1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
			0	0	0	0	0

7	6	5	4	3	2	1	0
	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
		0	0	0	0	0	0

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
	0	0	0	0	0	0	0

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
0	0	0	0	0	0	0	0

Ca rezultat obținem:

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
0	0	0	0	0	0	0	0

A avut loc un transfer de la bitul de semn. Să-l adăugăm (adică 1) la numărul rezultat (efectuând astfel procedura de transfer ciclic).
Ca rezultat obținem:

7	6	5	4	3	2	1	0
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	0	0	0	0	0	1

Rezultatul adunării: 00000001. Să îl convertim în reprezentare zecimală. Pentru a traduce o parte întreagă, trebuie să înmulțiți cifra unui număr cu gradul corespunzător al cifrei.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Rezultatul adunării (notație zecimală): 1

b) 111-010 Să ne imaginăm numerele 111 2 și -010 2 în cod invers.
Codul invers pentru un număr pozitiv este același cu codul înainte. Pentru un număr negativ, toate cifrele numărului sunt înlocuite cu opuse (1 cu 0, 0 cu 1), iar o unitate este introdusă în cifra semnului.
Numărul binar 0000111 are un cod reciproc de 0,0000111
Numărul binar 0000010 are un cod reciproc de 1,1111101
Să adăugăm numerele 00000111 și 11111101
A avut loc o depășire în a 0-a cifră (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la prima cifră.

7	6	5	4	3	2	1	0
						1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
							0

A avut loc un debordare în prima cifră (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a 2-a cifră.

7	6	5	4	3	2	1	0
					1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
						0	0

A avut loc o depășire în a 2-a cifră (1 + 1 + 1 = 11). Prin urmare, scriem 1 și mutam 1 la a treia cifră.

7	6	5	4	3	2	1	0
				1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
					1	0	0

A avut loc o depășire în a 3-a cifră (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a 4-a cifră.

7	6	5	4	3	2	1	0
			1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
				0	1	0	0

A avut loc o depășire în al 4-lea bit (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a 5-a cifră.

7	6	5	4	3	2	1	0
		1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
			0	0	1	0	0

A avut loc o depășire în a 5-a cifră (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a șasea cifră.

7	6	5	4	3	2	1	0
	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
		0	0	0	1	0	0

A avut loc o depășire în al 6-lea bit (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a 7-a cifră.

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
	0	0	0	0	1	0	0

A avut loc o depășire în al 7-lea bit (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și mutam 1 la a 8-a cifră.

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
0	0	0	0	0	1	0	0

Ca rezultat obținem:

7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	0	1
0	0	0	0	0	1	0	0

A avut loc un transfer de la bitul de semn. Să-l adăugăm (adică 1) la numărul rezultat (efectuând astfel procedura de transfer ciclic).
Ca rezultat obținem:

7	6	5	4	3	2	1	0
0	0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	0	0	1
0	0	0	0	0	1	0	1

Rezultat adunare: 00000101
Avem numărul 00000101. Pentru a converti întreaga parte, trebuie să înmulțiți cifra numărului cu gradul corespunzător al cifrei.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Rezultatul adunării (notație zecimală): 5

Adunarea numerelor reale binare în virgulă mobilă

Pe un computer, orice număr poate fi reprezentat în format virgulă mobilă. Formatul în virgulă mobilă este prezentat în figură:


De exemplu, numărul 10101 în format virgulă mobilă poate fi scris astfel:


Calculatoarele folosesc o formă normalizată de scriere a unui număr în care poziția punctului zecimal este întotdeauna dată înaintea cifrei semnificative a mantisei, adică. conditia este indeplinita:
b -1 ≤|M| Număr normalizat - Acesta este un număr care are o cifră semnificativă după virgulă zecimală (adică 1 în sistemul numeric binar). Exemplu de normalizare:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11

Când se adaugă numere în virgulă mobilă, alinierea ordinii se realizează către o ordine superioară:

Algoritm pentru adăugarea numerelor în virgulă mobilă:

1. Alinierea comenzilor;
2. Adăugarea mantiselor în codul suplimentar modificat;
3. Normalizarea rezultatului.

Exemplul nr. 4.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Alinierea comenzilor;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Adăugarea mantiselor în codul suplimentar modificat;
MA mod suplimentar. =00,01011
MB mod suplimentar. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Normalizarea rezultatului.
A+B=0,1101*2 10

Exemplul nr. 3. Scrieți un număr zecimal în sistemul numeric binar și adăugați două numere în sistemul numeric binar.

| Informatică și Tehnologii ale Informației și Comunicațiilor | Planificarea lecției și materialele pentru lecție | clasa a 10-a | Planificarea lecțiilor pentru anul universitar (FSES) | Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale

Lecția 15
§12. Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale

Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale

Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale cu bază q se efectuează după reguli similare regulilor în vigoare în sistemul numeric zecimal.

În școala elementară, tabelele de adunare și înmulțire sunt folosite pentru a-i învăța pe copii să numere. Tabele similare pot fi compilate pentru orice sistem de numere poziționale.

12.1. Adunarea numerelor în sistemul numeric cu baza q

Luați în considerare exemple de tabele de adunare în sisteme numerice ternar (Tabelul 3.2), octal (Tabelul 3.4) și hexazecimal (Tabelul 3.3).

Tabelul 3.2

Adunarea în sistemul de numere ternar

Tabelul 3.3

Adunarea în sistem numeric hexazecimal

Tabelul 3.4

Adunarea în sistemul de numere octale

q obține suma S doua numere AȘi B, trebuie să însumați cifrele care le formează prin cifre i de la dreapta la stânga:

Dacă a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
dacă a i + b i ≥ q, atunci s i = a i + b i - q, cea mai semnificativă (i + 1) cifră este mărită cu 1.

Exemple:

12.2. Scăderea numerelor în sistemul numeric de bază q

Deci într-un sistem numeric cu o bază q obțineți diferența R doua numere AȘi ÎN, este necesar să se calculeze diferențele dintre cifrele care le formează prin cifre i de la dreapta la stânga:

Dacă a i ≥ b i, atunci r i = a i - b i, cea mai semnificativă (i + 1)-a cifră nu se modifică;
dacă un i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

Operații aritmetice în sistemul numeric binar

Regulile pentru efectuarea operațiilor aritmetice pe numere binare sunt specificate prin tabele de adunare, scădere și înmulțire.

Regula pentru efectuarea operației de adunare este aceeași pentru toate sistemele de numere: dacă suma cifrelor adăugate este mai mare sau egală cu baza sistemului numeric, atunci unitatea este transferată la următoarea cifră din stânga. La scadere, daca este necesar, faceti un imprumut.

Operațiile aritmetice sunt efectuate în mod similar în sisteme octal, hexazecimal și alte sisteme numerice. Este necesar să se țină cont de faptul că valoarea transferului către următoarea cifră atunci când se adună și se împrumută de la cea mai mare cifră la scădere este determinată de valoarea bazei sistemului numeric.

Operații aritmetice în sistemul numeric octal

Pentru a reprezenta numerele în sistemul de numere octale, sunt folosite opt cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), deoarece baza sistemului de numere octale este 8. Toate operațiunile sunt efectuate folosind aceste opt cifre. Operațiile de adunare și înmulțire în sistemul de numere octale sunt efectuate folosind următoarele tabele:

Tabelele de adunare și înmulțire în sistemul de numere octale

Exemplul 5.Scădeți numerele octale 5153- 1671 și 2426,63- 1706,71

Exemplul 6. Înmulțiți numerele octale 51 16 și 16,6 3,2

Operații aritmetice în sistem numeric hexazecimal

Pentru a reprezenta numere în sistemul numeric hexazecimal, se folosesc șaisprezece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. În sistemul hexazecimal , numărul șaisprezece este scris ca 10. Efectuarea operațiilor aritmetice în sistemul hexazecimal este aceeași ca și în sistemul zecimal, dar atunci când se efectuează operații aritmetice pe numere mari, este necesar să se folosească tabele pentru adunarea și înmulțirea numerelor în sistemul numeric hexazecimal.

Tabel de adunare în sistemul numeric hexazecimal

Tabel de înmulțire în sistem numeric hexazecimal

Exemplul 7. Adăugați numere hexazecimale

Adunarea și scăderea numerelor în orice sistem de numere pozițional se efectuează pe biți. Pentru a afla suma, se adaugă unități din aceeași cifră, începând cu unitățile din prima cifră (în dreapta). Dacă suma unităților cifrei adăugate depășește numărul egal cu baza sistemului, atunci din această sumă este selectată unitatea cifrei celei mai mari, care se adaugă cifrei adiacente din stânga. Prin urmare, adunarea se poate face direct, ca în sistemul zecimal, într-o „coloană”, folosind un tabel pentru adăugarea numerelor cu o singură cifră.

De exemplu, într-un sistem numeric de bază 4, tabelul de adunare arată astfel:

Și mai simplu este tabelul de adunare în sistemul numeric binar:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10.

Exemplu:

Scădere O procedăm în același mod ca și în sistemul zecimal: semnăm subtraend sub minuend și scădem numerele în cifre, începând de la prima. Dacă scăderea celor dintr-o cifră nu este posibilă, „ocupăm” 1 din cifra cea mai mare și îl convertim în unitățile cifrei din dreapta adiacente.

Exemplu: 2311 4 - 1223 4 . În prima cifră, 3 nu poate fi scăzut din 1; „ocupăm” o unitate a celei de-a doua cifre; aceasta conține patru unități din prima cifră. Adăugăm la ele unitatea existentă a primei cifre, în total obținem cinci unități în prima cifră - în sistemul cuaternar sunt scrise ca 11. În prima cifră scădem trei unități din cinci: 11-3=2. Nu au mai rămas unități în a doua categorie, noi o ocupăm pe a treia (vor mai rămâne 2 unități în a treia). O unitate din a treia categorie conține 4 unități din a doua. Scădeți în a doua cifră: 4-2 = 2. În a treia cifră: 2-2=0. În a patra cifră: 2-1=1.