Suma progresiei aritmetice. Suma progresivă aritmetică Proprietatea principală a progresiei aritmetice
Răspuns: Un rând diverge.
Exemplu numărul 3.
Găsiți suma de $ \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (\\ infty) \\ frac (2) ((2n + 1) (2N + 3)) $.
Deoarece limita inferioară a sumării este de 1, atunci membrul total al rândului este înregistrat sub suma sumei: 2) ((2n + 1) (2n + 3)) $. Inventa n-yu parțial Suma rândului, adică Rezumează primii membri de $ n $ din seria numerică specificată:
$$ s_n \u003d u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + \\ ldots + u_n \u003d \\ frac (2) (3 \\ cdot 5) + \\ frac (2) (5 \\ cdot 7) + \\ frac (2) (7 \\ cdot 9) + \\ frac (2) (9 \\ cdot 11) + \\ ldots + \\ frac (2) ((2n + 1) (2N + 3)). $.
De ce scriu exact $ \\ frac (2) (3 \\ cdot 5) $, și nu $ \\ frac (2) (15) $, va fi clar de la narațiune ulterioară. Cu toate acestea, înregistrarea unei sume parțiale fie pe Iota nu ne-a apropiat de obiectiv. Trebuie să găsim $ \\ lim_ (n \\ la \\ infaty) s_n $, dar dacă notează doar:
$$ \\ Lim_ (n \\ to \\ infaty) s_n \u003d \\ la \\ infaty) \\ stânga (\\ frac (2) (3 \\ cdot 5) + \\ frac (2) (5 \\ cdot 7) + \\ Frac (2) (7 \\ cdot 9) + \\ frac (2) (9 \\ cdot 11) + \\ Ldots + \\ Frac (2) ((2n + 1) (2N + 3)) \\ dreapta), $$
apoi, această intrare este complet adevărată în formă, nimic nu ne va da în mod esențial. Pentru a găsi o limită, expresia sumei parțiale trebuie simplificată.
Pentru aceasta, există o conversie standard constând în descompunerea fracției $ \\ Frac (2) ((2n + 1) (2N + 3)) $, care reprezintă un membru comun al rândului, pe fracțiunile elementare. Problema descompunerii fracțiunilor raționale pe elementar este dedicată unui subiect separat (vezi, de exemplu, exemplul numărul 3 pe această pagină). Închiderea fracțiunii de $ \\ Frac (2) ((2n + 1) (2N + 3)) $ per fracțiune elementară, vom avea:
$$ \\ frac (2) ((2n + 3) (2n + 3)) \u003d \\ frac (a) (2n + 1) + \\ frac (b) (2n + 3) \u003d \\ frac (A \\ CDOT (2N +3) + b \\ cdot (2N + 1)) ((2n + 1) (2N + 3)). $.
Noi echivalăm sprumerenul din partea stângă și cea dreaptă a egalității obținute:
$$ 2 \u003d A \\ CDOT (2N + 3) + B \\ CDOT (2N + 1). $.
Pentru a găsi valorile de $ A $ și $ B, există două moduri. Puteți dezvălui paranteze și puteți regrupa componentele și puteți înlocui pur și simplu o anumită valori adecvate în loc de $ N $. Pentru un soi din acest exemplu, să mergem mai întâi și după cum urmează, vom înlocui valorile private de $ N $. Afișarea parantezelor și termenilor de rearanjare, obținem:
$$ 2 \u003d 2An + 3A + 2BN + B; \\\\ 2 \u003d (2A + 2B) N + 3A + B. $.
În partea stângă a egalității în fața modelului $ N $ cost zero. Dacă doriți, partea stângă a egalității pentru claritate poate fi reprezentată ca $ 0 \\ CDOT N + $ 2. De la partea stângă a egalității în fața $ n $ este zero, iar în partea dreaptă a capitalului propriu înainte de $ n cost costă $ 2a + 2b $, avem prima ecuație: $ 2A + 2B \u003d 0 $. Împărțiți imediat ambele părți ale acestei ecuații cu 2, primind $ a + B \u003d 0 $ după aceea.
Întrucât în \u200b\u200bpartea stângă a egalității, membrul liber este de 2, iar în partea dreaptă a egalității, membrul liber este egal cu $ 3A + B $, apoi $ 3A + B \u003d $ 2. Deci, avem un sistem:
$$ \\ stânga \\ (\\ începe (aliniat) și A + B \u003d 0; \\\\ & 3A + B \u003d 2. \\ capătul (aliniat) \\ dreapta. $$
Dovada va fi efectuată prin inducție matematică. În primul pas, este necesar să se verifice dacă egalitatea anterioară este făcută $ s_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ cu $ n \u003d 1 $. Știm că $ s_1 \u003d u_1 \u003d \\ frac (2) (15) $, dar va fi expresia de $ \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ valoare $ \\ frac (2 ) (15) $, dacă înlocuim $ n \u003d 1 $ în ea? Verifica:
$$ \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2 \\ cdot 1 + 3) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (5) \u003d \\ frac (5-3) (15) \u003d \\ frac (2) (15). $.
Deci, la $ n \u003d 1 $, egalitatea $ s_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ se face. Aceasta este prima etapă a metodei de inducție matematică.
Să presupunem că la $ n \u003d k $, egalitatea este efectuată, adică. $ S_k \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) $. Dom dovedi că această egalitate va fi efectuată la $ n \u003d k + $ 1. Pentru a face acest lucru, luați în considerare $ s_ (k + 1) $:
$$ S_ (K + 1) \u003d S_K + U_ (K + 1). $.
Deoarece $ u_n \u003d \\ frac (1) (2n + 1) - \\ frac (1) (2n + 3) $, apoi $ u_ (k + 1) \u003d \\ frac (1) (2 (k + 1) + 1 ) - \\ Frac (1) (2 (k + 1) +3) \u003d \\ frac (1) (2k + 3) - \\ frac (1) (2 (k + 1) +3) $. Conform presupunerii de mai sus a $ s_k \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) $, prin urmare, formula $ s_ (k + 1) \u003d s_k + u_ (k + 1) $ va lua forma:
$$ S_ (K + 1) \u003d S_K + U_ (K + 1) \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ frac (1) (2k + 3) + \\ frac (1) (2k + 3) - \\ Frac (1) (2 (K + 1) +3) \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ Frac (1) (2 (K + 1) +3). $.
Concluzie: Formula $ s_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ este adevărat la $ n \u003d k + $ 1. În consecință, conform metodei de inducție matematică, formula $ s_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $ este adevărat pentru orice $ N \\ Inn $. Egalitatea este dovedită.
În cursul standard al matematicii superioare, ele sunt, de obicei, mulțumiți de "tăierea" termenilor în declin, fără a necesita dovezi. Deci, am primit o expresie pentru suma parțială N-TH: $ s_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $. Găsiți $ \\ Lim_ (n \\ la \\ infaty) s_n $:
Concluzie: seria specificată converges și suma $ s \u003d \\ frac (1) (3) $.
A doua modalitate de a simplifica formula pentru suma parțială.
Sincer, eu însumi prefer această metodă :) Să scriem o sumă parțială în versiunea abreviată:
$$ s_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) u_k \u003d \\ sum \\ sum \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) (2k + 1) (2k + 3)). $.
Avem mai devreme că $ u_k \u003d \\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) $, deci:
$$ s_n \u003d \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) (2k + 1) (2k + 3)) \u003d \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ stânga (\\ Frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ dreapta). $.
Suma de $ s_n $ conține un număr final de termeni, astfel încât să le rearanjăm așa cum suntem mulțumiți. Vreau să plopim mai întâi toți termenii de tip $ \\ frac (1) (2k + 1) $, și apoi treceți la termenul de tip $ \\ frac (1) (2k + 3) $. Aceasta înseamnă că suma parțială va fi imaginată în acest formular:
$$ s_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (7) - \\ Frac (1) (9) + \\ frac (1) (9) - \\ frac (1) (11) + \\ ldots + \\ frac (1) (2n + 1) - \\ frac (1) (2N + 3) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (9) + \\ ldots + \\ frac (1) (2n + 1) - \\ stânga (\\ frac (1) (5) + \\ frac (1) (7) + \\ frac (1) (9) + \\ ldots + \\ frac (1) (2n + 3) \\ dreapta) . $.
Desigur, înregistrarea desfășurată este extrem de incomodă, prin urmare, egalitatea prezentată mai sus poate fi emisă mai mult compactă:
$$ s_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ stânga (\\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ dreapta) \u003d \\ sum \\ limite_ ( k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3). $.
Acum transformăm expresiile $ \\ frac (1) (2k + 1) $ și $ \\ frac (1) (2k + 3) $ la un aspect. Presupun că confortabil să conducă la forma unei fracții mai mari (deși este posibilă pentru cea mai mică, aceasta este o chestiune de gust). Deoarece $ \\ Frac (1) (2k + 1)\u003e \\ frac (1) (2k + 3) $ (cu atât mai mare denominator, cu atât fracțiunea mai mică), atunci vom conduce $ \\ Frac (1) (2k + 3 ) $ la tipul $ \\ frac (1) (2k + 1) $.
Exprimarea în denomoterul Denumit $ \\ Frac (1) (2k + 3) $ Voi prezenta în acest formular:
$$ \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ frac (1) (2k + 2 + 1) \u003d \\ frac (1) (2 (k + 1) +1). $.
Și cantitatea de $ \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) $ poate fi acum scris ca:
$$ \\ sum \\ (n) \\ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ sum \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1 ) +1) \u003d \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1). $.
Dacă egalitatea este $ \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) ^ frac (1) (1) 2k + 1) $ nu provoacă întrebări, apoi să mergem mai departe. Dacă aveți întrebări, vă rog să faceți o notă.
Cum am obținut suma transformată? Arată ascunde
Am avut un număr de $ \\ sum \\ limits_ (n) \\ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (2 K + 1) +1) $. Să introducem o nouă variabilă în loc de $ K + 1 $, de exemplu, $ t $. Deci, $ t \u003d k + $ 1.
Cum a fost schimbată vechea variabilă $ k $? Și sa schimbat de la 1 la $ n $. Să aflăm cum se va schimba noua variabilă. Dacă $ k \u003d 1 $, atunci $ t \u003d 1 + 1 \u003d $ 2. Dacă $ k \u003d n $, apoi $ t \u003d n + 1 $. Deci, expresia $ \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) $ acum a fost: $ \\ sum \\ limits_ (t \u003d 2) ^ ( n +1) \\ frac (1) (2t + 1) $.
$$ \\ sum \\ (n) ^ (n) \\ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) \u003d \\ sum \\ limite_ (t \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1 ) (2t + 1). $.
Avem suma de $ \\ sum \\ limite_ (n \u003d 2) ^ (n + 1) ^ frac (1) (2t + 1) $. Întrebare: Nu este egal cu modul de utilizare în această sumă? :) trolly înregistrarea literei $ k $ în loc de $ t $, primim următoarele:
$$ \\ sum ^ (n + 1) ^ (1) (2t + 1) \u003d \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) ^ frac (1) (2k +1). $.
Deci, se dovedește egalitatea de $ \\ sum \\ limites_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ (n) \\ frac (1) (2 (k + 1) +1) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac (1) (2k + 1) $.
Astfel, o sumă parțială poate fi reprezentată după cum urmează:
$$ s_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\ Sum \\ (n) \\ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) ^ frac (1) (2k + 1 ). $.
Rețineți că cantitatea de $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) $ și $ \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) \\ frac ( 1) (2k + 1) $ este diferit numai în cadrul sumării. Să facem ca aceste limite să fie la fel. "Luând" primul element din cantitatea de $ \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) $ va avea:
$$ \\ sum \\ (n) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ frac (1) (2 \\ cdot 1 + 1) + \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1). $.
"Luând" ultimul element din cantitatea de $ \\ sum \\ limites_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) ^ frac (1) (2k + 1) $, primim:
$$ \\ sum \\ limits_ (n + 1) ^ (1) (2k + 1) \u003d \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1 ) + \\ Frac (1) (2 (n + 1) +1) \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) + \\ frac (1) (2n + 3). $$
Apoi, expresia pentru suma parțială va lua forma:
$$ s_n \u003d \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n + 1) ^ frac (1) (2k +1) \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ stânga (\\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) + \\ frac (1) (2n + 3) \\ dreapta) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2n + 3) \u003d \\ Frac (1) (3) - \\ frac (1) (2N + 3). $.
Dacă pierdeți toate explicațiile, procesul de găsire a formulei abreviate pentru cantitatea parțială N-TH va dura acest tip:
$$ s_n \u003d \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) u_k \u003d \\ sum \\ sum \\ sum \\ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (2) (2k + 1) (2k + 3)) \u003d \\ Sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ stânga (\\ frac (1) (2k + 1) - \\ frac (1) (2k + 3) \\ dreapta) \u003d \\\\ \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3) \u003d \\ frac (1) (3) + \\ Sum \\ limits_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ stânga (\\ sum \\ limite_ (k \u003d 2) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1 ) + \\ Frac (1) (2N + 3) \\ dreapta) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2N + 3). $.
Permiteți-mi să vă reamintesc că am traversat $ \\ Frac (1) (2k + 3) $ la tipul $ \\ frac (1) (2k + 1) $. Desigur, puteți proceda dimpotrivă, adică Prezentați fracțiunea de $ \\ Frac (1) (2k + 1) $ în formularul $ \\ frac (1) (2k + 3) $. Expresia finală pentru suma parțială nu se va schimba. Procesul de găsire a unei sume parțiale în acest caz mă voi ascunde.
Cum să găsești $ s_n $ dacă dai mintea unei alte fracțiuni? Arată ascunde
$$ s_n \u003d \\ sum \\ limits_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 1) - \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\ Sum ^ (n - 1) ^ (1) (2k + 3) - \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n) \\ frac (1) (2k + 3 ) \u003d \\\\ \u003d \\ frac (1) (3) + \\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n - 1) \\ frac (1) (2k + 3) - \\ stânga (\\ sum \\ limite_ (k \u003d 1) ^ (n - 1) \\ frac (1) (2k + 3) + \\ frac (1) (2N + 3) \\ dreapta) \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3). $.
Deci, $ s_n \u003d \\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) $. Găsim limita de $ \\ lim_ (n \\ la \\ infaty) s_n $:
$$ \\ Lim_ (n \\ la \\ infaty) s_n \u003d \\ la \\ \\ infaty) \\ stânga (\\ frac (1) (3) - \\ frac (1) (2n + 3) \\ dreapta) \u003d \\ frac (1) (3) -0 \u003d \\ frac (1) (3). $.
Seria specificată converges și suma lui $ s \u003d \\ frac (1) (3) $.
Răspuns: $ S \u003d \\ frac (1) (3) $.
Continuarea subiectului de a găsi cantitatea de număr va fi luată în considerare în a doua și a treia părți.
Înainte de a începe să decidem Sarcini pentru progresia aritmetică, Ia în considerare ce este o secvență numerică, deoarece progresia aritmetică este cazul privat secvență numerică.
Secvența numerică este un set numeric, fiecare element al cărei element are propriul număr de secvență.. Elementele acestui set sunt numite membri de secvențe. Numărul secvenței elementului de secvență este indicat de index:
Primul element al secvenței;
Al cincilea element de secvență;
- elementul "condamnat" al secvenței, adică Elementul "în picioare în coada" sub numărul n.
Între valoarea elementului de secvență și numărul de secvență este o dependență. În consecință, putem lua în considerare secvența ca funcție, argumentul căruia este secvența elementului de secvență. Cu alte cuvinte, putem spune asta secvența este o funcție de la un argument natural:
Secvența poate fi setată în trei moduri:
1 . Secvența poate fi setată folosind tabelul. În acest caz, specificăm pur și simplu valoarea fiecărui membru al secvenței.
De exemplu, cineva a decis să facă o gestionare personală a timpului și să înceapă să se calculeze în timpul săptămânii, cât de mult timp deține Vkontakte. Timp de scriere în tabel, va primi o secvență formată din șapte elemente:
Prima linie a tabelului arată numărul zilei săptămânii, în a doua oară în câteva minute. Vedem asta, adică luni, cineva a petrecut Vkontakte 125 de minute, adică joi - 248 de minute și, vineri, doar 15.
2 . Secvența poate fi solicitată utilizând formula N-TH.
În acest caz, dependența valorii elementului secvenței din numărul său este exprimată direct ca o formulă.
De exemplu, dacă, atunci
Pentru a găsi valoarea elementului de secvență cu numărul specificat, înlocuim numărul elementului în formula N-TH.
Facem același lucru dacă trebuie să găsiți valoarea funcției dacă este cunoscută valoarea argumentului. Înlocuim valoarea argumentului în locul ecuației funcției:
Dacă, de exemplu, 
T.
Încă o dată, menționez că, în secvență, spre deosebire de o funcție numerică arbitrară, argumentul poate fi doar un număr natural.
3 . Secvența poate fi solicitată utilizând o formulă care exprimă dependența valorii unui membru al secvenței cu numărul N din valoarea membrilor anteriori. În acest caz, nu suntem suficienți pentru a cunoaște doar un număr de membru al secvenței pentru a-și găsi valoarea. Trebuie să stabilim primul membru sau mai mulți membri ai primilor secvențe.
De exemplu, luați în considerare secvența 
, 
Putem găsi valorile membrilor secvenței. in secvențăÎncepând cu a treia:
Aceasta este, de fiecare dată când găsiți valoarea membrului N-TH al secvenței, revenim la cele două două. Se numește această metodă de stabilire a unei secvențe recurentdin cuvântul latin. recurro. - Întoarcere.
Acum putem da definiția progresiei aritmetice. Progresul aritmetic este un simplu caz privat de secvență numerică.
Progresie aritmetică Se numește secvența numerică, fiecare membru al căruia, pornind de la al doilea, este egal cu cel precedent, pliat cu același număr.
Numărul este numit diferența dintre progresia aritmetică. Diferența de progresie aritmetică poate fi pozitivă, negativă sau egală cu zero.
Dacă titlul \u003d "(! Lang: D\u003e 0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} crescând.
De exemplu, 2; cinci; opt; unsprezece;...
Dacă fiecare membru al progresiei aritmetice este mai mic decât anterior, iar progresia este descendentă.
De exemplu, 2; -unu; -four; -7; ...
Dacă toți membrii progresiei sunt egali cu același număr, iar progresia este staționar.
De exemplu, 2; 2; 2; 2; ...
Proprietatea principală a progresiei aritmetice:
Să ne uităm la desen.
Noi vedem asta
, și în același timp
Plăcuți aceste două egalități, obținem:
.
Împărțim ambele părți ale egalității pentru 2:
Deci, fiecare membru al progresiei aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu aritmetica medie a doi adiacenți:
În plus, de atunci
, și în același timp
T.
, prin urmare
Fiecare membru al progresiei aritmetice, începând cu titlul \u003d "(! Lang: k\u003e l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Formula pentru membru.
Vedem că relațiile sunt efectuate pentru membrii progresiei aritmetice:
Și, în sfârșit
Avem Formula unui membru al N-TH.
IMPORTANT! Orice membru al progresiei aritmetice poate fi exprimat prin intermediul și. Cunoașterea primului mandat și diferența de progresie aritmetică poate fi găsită pe oricine.
Suma membrilor progresiei aritmetice.
În progresia arbitrară aritmetică a cantității de membri egali cu extremele egale între ele:
Luați în considerare o progresie aritmetică în care N membri. Lăsați cantitatea de membri N din această progresie egală.
Plasați mai întâi membrii progresiei în ordinea crescătorilor și apoi în ordine descrescătoare:
Mutarea în perechi:
Suma din fiecare consola este egală, numărul de abur este N.
Primim:
Asa de, cantitatea de membri n ai progresiei aritmetice poate fi găsită prin formule:
Considera rezolvarea sarcinilor pentru progresia aritmetică.
1 . Secvența este stabilită prin formula AN-a membru: . Demonstrează că această secvență este o progresie aritmetică.
Doveim că diferența dintre doi membri ai secvenței adiacente este egală cu același număr.
Avem că diferența dintre doi membri ai secvenței vecine nu depinde de numărul lor și este o constantă. În consecință, prin definiție, această secvență este o progresie aritmetică.
2 . Progresia aritmetică Dana -31; -27; ...
a) Găsiți 31 de membri ai progresiei.
b) Determinați dacă numărul 41 este inclus în această progresie.
dar) Noi vedem asta;
Scriu formula membrului N-TH pentru progresul nostru.
În general 
În cazul nostru 
, asa de 
Suma progresiei aritmetice.
Cantitatea de progresie aritmetică este simplă. Și în sens, și cu formula. Dar sarcinile de pe acest subiect sunt tot felul de. De la elementar la destul de solid.
Mai întâi vom face față înțelegerii și formulei sumare. Și apoi se rade. În plăcerea mea.) Semnificația cantității este simplă ca săpun. Pentru a găsi cantitatea de progresie aritmetică, trebuie doar să pliați ușor toți membrii săi. Dacă acești membri sunt mici, puteți pune fără formule. Dar, dacă este foarte mult, sau foarte mult ... tulpini de adiție.) În acest caz, formula economisește.
Suma sumei pare simplă:
Să discernem că ciocurile sunt incluse în formula. Acest lucru va clarifica mult.
S N. - cantitatea de progresie aritmetică. Rezultatul adăugării toate Membrii, S. primul de ultimul. Este important. Este tocmai tot Membrii la rând, fără sărind și să salveze. Și, începând cu primul. În sarcini, cum ar fi găsirea sumei membrilor a treia și a opta sau a sumei membrilor din a cincea din a douăzecea - utilizarea directă a formulei va dezamăgi.)
a 1. - primul Membru al progresiei. Totul este clar aici, este doar primul număr de rânduri.
un n. - ultimul Membru al progresiei. Ultimul număr de rânduri. Nu nume foarte familiar, dar, în aplicat la suma, este foarte bun. Mai mult, veți vedea.
n. - numărul ultimului membru. Este important să înțelegeți că în formula acest număr coincide cu numărul de membri pliați.
Apăra cu concept ultimul Membru un n.. Întrebare de backup: Ce membru va ultimul Dacă Dana. infinit Progresie aritmetică?)
Pentru un răspuns sigur, trebuie să înțelegeți semnificația elementară a progresiei aritmetice și citiți cu atenție sarcina!)
În sarcina de a găsi suma progresiei aritmetice, apare întotdeauna (direct sau indirect) ultimul membru care ar trebui să se limiteze la. În caz contrar, suma finală, concretă pur și simplu nu există. Pentru a rezolva, este important ca progresia să fie setată: ultimul sau fără sfârșit. Este important ca acesta să fie întrebat: lângă numere sau cu formula membrului NI.
Cel mai important lucru este să înțelegeți că formula funcționează cu primul membru al progresiei unui membru cu numărul n. De fapt, numele complet al formulei arată astfel: suma primilor membri ai progresiei aritmetice. Numărul acestor primii membri, adică n.este determinată exclusiv de sarcină. În sarcină, toate aceste informații valoroase sunt adesea criptate, da ... dar nimic, în exemplele de mai jos, eliminăm aceste secrete.)
Exemple de sarcini pentru cantitatea de progresie aritmetică.
În primul rând, informații utile:
Principala complexitate în sarcinile cu privire la cantitatea de progresie aritmetică este definirea corectă a elementelor formulei.
Aceste elemente foarte elemente ale compilatoarelor de sarcini sunt criptate cu o fantezie infinită.) Principalul lucru nu trebuie să se teamă. Înțelegerea esenței elementelor, este suficient să le descifrați. Analizăm în detaliu câteva exemple. Să începem cu o sarcină bazată pe Gia reală.
1. Progresia aritmetică este dată de condiție: un n \u003d 2n-3.5. Găsiți suma primelor 10 membri ai săi.
O sarcină bună. Lumina.) Pentru a determina suma cu formula a ceea ce trebuie să știți? Primul membru. a 1., ultima pula un n.da numărul ultimului membru n.
Unde să obțineți numărul ultimului membru n.? Da, în stare! Se spune: Găsiți suma primii 10 membri. Ei bine, cu ce număr va fi ultimul, A zecea membru?) Nu veți crede numărul său - al zecelea!) A devenit în loc de un n. În formula, vom înlocui a 10., Și în schimb n. - duzină. Repet, numărul ultimului membru coincide cu numărul de membri.
Rămâne de determinat a 1. și a 10.. Acest lucru este ușor de luat în considerare prin formula membrului N, care este dat în starea problemei. Nu știu cum să o faci? Vizitați lecția anterioară, fără acest lucru - în nici un caz.
a 1.\u003d 2 · 1 - 3.5 \u003d -1.5
a 10.\u003d 2 · 10 - 3.5 \u003d 16.5
S N. = S 10..
Am aflat valoarea tuturor elementelor cu formula sumei progresiei aritmetice. Rămâne să le înlocuiți, dar numărul:
Asta e toate lucrurile. Răspuns: 75.
O altă sarcină bazată pe GIA. Un pic mai complicat:
2. Se administrează progresia aritmetică (A N), dintre care diferența este de 3,7; A 1 \u003d 2.3. Găsiți suma primelor 15 dintre membrii săi.
Scrieți imediat formula rezumatului:
Această formulă ne permite să găsim valoarea oricărui membru prin numărul său. Căutăm o simplă înlocuire:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) · 3,7 \u003d 54,1
Rămâne să înlocuiți toate elementele în formula suma progresiei aritmetice și să calculați răspunsul:
Răspuns: 423.
Apropo, dacă în suma sumei un n. Doar înlocuiți formula membrului N, primim:
Dăm altele asemenea, obținem o nouă formulă a sumei membrilor progresiei aritmetice:
 |
După cum puteți vedea, nu solicită un membru al N-TH un n.. În unele sarcini, această formulă ajută minunat, da ... vă puteți aminti această formulă. Și puteți obține pur și simplu la momentul potrivit, ca aici. La urma urmei, ar trebui să fie amintită formula sumei și formula membrului NI.).)
Acum sarcina sub forma unei scurte criptare):
3. Găsiți suma tuturor numerelor pozitive din două cifre, mai multe trei.
Cum! Nici primul dvs. membru, nici ultima, nici progresia în general ... Cum să trăiești!?
Trebuie să vă gândiți la cap și să scoateți toate elementele sumei progresiei aritmetice din această condiție. Ce este numerele de două cifre - știm. Din cele două Tsiferok constau.) Ce număr din două cifre va fi primul? 10, este necesar să credem.) A ultimul lucru Numărul de două cifre? 99, desigur! În spatele lui deja trei cifre ...
Apăsați trei ... Um ... acestea sunt numerele care sunt împărțite în trei scopuri, aici! O duzină nu este împărțită în trei, 11 nu este împărțită ... 12 ... Împărțit! Deci, ceva este evaporat. Puteți înregistra deja o serie de condiții de sarcină:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Va avea această gamă de progrese aritmetice? Sigur! Fiecare membru diferă de cea anterioară strict pe primele trei. Dacă adăugați 2 sau 4 unui membru, spuneți, rezultatul, adică. Un număr nou, nu mai există acțiuni care vizează 3. Înainte de HAP, puteți imediat și diferența de progresie aritmetică pentru a determina: d \u003d 3. Devenit realitate!)
Deci, puteți scrie în siguranță unii parametri de progresie:
Și care va fi numărul n. Ultimul membru? Cel care se gândește este că 99 - greșeli greșite ... camere - întotdeauna merg la rând și avem membri - sari peste primele trei. Ei nu coincid.
Există două modalități de rezolvare. O modalitate - pentru revânzări. Puteți picta progresia, întreaga gamă de numere și calculați numărul de membri cu degetul dvs.) Al doilea mod este de atent. Este necesar să se amintească formula membrului NI. Dacă formula se aplică în sarcina noastră, obținem că 99 este un membru al progresiei. Acestea. n \u003d 30.
Ne uităm la formula suma progresiei aritmetice:
Ne uităm și ne bucurăm.) Am scos sarcina din condițiile sarcinii tot ce aveți nevoie pentru a calcula suma:
a 1.= 12.
a 30.= 99.
S N. = S 30..
Aritmetice elementare rămâne. Înlocuim numărul în formula și credem:
Răspuns: 1665.
Un alt tip de sarcină populară:
4. Progresie aritmetică Dana:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Găsiți cantitatea de membri din douăzeci și treizeci pe pace.
Ne uităm la suma sumei și ... sunt supărați.) Formula, reamintește, consideră suma din prima Membru. Și sarcina trebuie luată în considerare cu douăzecea ... Formula nu funcționează.
Puteți, bineînțeles, vopsea întreaga progresie la rând, ci să postați membrii de la 20 la 34. Dar ... cumva stupid și lung se dovedește, nu?)
Există o soluție mai elegantă. Ne rupem rândul nostru în două părți. Prima parte va fi de la primul membru al al XIX-lea. A doua parte a lui - de la al XX-lea până la treizeci de ani. Este clar că dacă luăm în considerare prima sumă a membrilor S 1-19., da, adăugați cu suma membrilor a doua parte S 20-34., Voi primi cantitatea de progresie de la primul membru al celei de-a treia patrate S 1-34.. Ca aceasta:
S 1-19. + S 20-34. = S 1-34.
De aici se poate observa că găsirea sumei S 20-34. Puteți scădea cu ușurință
S 20-34. = S 1-34. - S 1-19.
Ambele sume din partea dreaptă sunt luate în considerare din prima Membru, adică Este destul de aplicabilă formulei standard rezumat. Start?
Scoateți problema problemei progresiei problemei:
d \u003d 1,5.
a 1.= -21,5.
Pentru a calcula sumele primelor 19 și primii 34 de membri, vom avea nevoie de cei 19 și 34 de membri. Considerăm că sunt în funcție de formula membrului NI, ca în sarcina 2:
a 19.\u003d -21,5 + (19-1) · 1,5 \u003d 5,5
a 34.\u003d -21,5 + (34-1) · 1,5 \u003d 28
Nu a mai ramas nimic. Din suma de 34 de membri pentru a scoate suma de 19 membri:
S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110,5 - (-152) \u003d 262,5
Răspuns: 262.5.
O remarcă importantă! În rezolvarea acestei sarcini există un cip foarte util. În loc de calcul direct ceea ce este necesar (S 20-34), Am numărat ce pare necesar - S 1-19. Și apoi apoi determinată și S 20-34., filetarea de la rezultatul complet inutil. O astfel de "urechi" salvează adesea în sarcini rele.)
În această lecție, am revizuit sarcinile pentru care este suficient să înțelegem sensul sumei progresiei aritmetice. Ei bine, câteva formule trebuie să știe.)
Sfaturi practice:
La rezolvarea oricărei sarcini cu privire la cantitatea de progresie aritmetică, vă recomand imediat descărcarea celor două formule principale din acest subiect.
Formula Membrii NIT:
Aceste formule vor solicita imediat că trebuie să căutați, în ce direcție să vă gândiți să rezolvați sarcina. Ajută.
Și acum sarcini pentru auto-decizii.
5. Găsiți suma tuturor numerelor din două cifre care nu sunt împărțite la trei.
Cool?) Sfat este ascuns în comentariu la sarcină 4. Sarcina 3 va ajuta.
6. Progresia aritmetică este setată de condiție: A 1 \u003d -5,5; A N + 1 \u003d A N +0.5. Găsiți suma primelor 24 de membri ai săi.
Neobișnuit?) Aceasta este o formulă recurentă. Despre acesta poate fi citit în lecția anterioară. Nu ignorați link-ul, sunt adesea găsite astfel de sarcini în GIA.
7. Vasya sa acumulat pentru vacanța de bani. Întreg 4550 de ruble! Și am decis să-mi dau singură persoana mea preferată (eu) pentru mai multe zile de fericire). Să trăiască frumos, fără a refuza. Petreceți 500 de ruble în prima zi, iar în fiecare zi ulterioară petreceți 50 de ruble mai mult decât în \u200b\u200bcea precedentă! Până când stocul de bani se va încheia. Câte zile de fericire au venit Vasi?
Dificil?) O formulă suplimentară va ajuta de la sarcina 2.
Răspunsuri (în tulburare): 7, 3240, 6.
Dacă vă place acest site ...
Apropo, am un alt cuplu de site-uri interesante pentru tine.)
Acesta poate fi accesat în rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testarea cu verificarea instantanee. Aflați - cu interes!)
Vă puteți familiariza cu caracteristici și derivați.