Funcția irațională din variabilă este o funcție care este formată din constante variabile și arbitrare folosind un număr finit de operații de adăugare, scădere, multiplicare (erecție într-un grad întregi), diviziune și rădăcini de extragere. Funcția irațională diferă de rațional în faptul că funcția irațională conține operații de extracție rădăcină.

Există trei tipuri principale funcții iraționale, integriile nedeterminate din care sunt date integrale din funcții raționale. Acestea sunt integriile care conțin rădăcinile unor grade întregi arbitrare de la Fractional funcție liniară (rădăcinile pot fi diferite grade, dar din aceeași funcție liniară fracționată); Integrals din binomul diferențial și integral cu rădăcină pătrată De la pătratul trei.

Remarcă importantă. Rădăcinile sunt semnificative!

La calcularea integrelor care conțin rădăcini, specia formei sunt adesea găsite, în care există o anumită funcție din variabila de integrare. Ar trebui să fie socotită în minte că. Adică, cu t\u003e 0, | T | \u003d T. . Cu T.< 0, | t | \u003d - t. Prin urmare, la calcularea acestor integrități, trebuie să luați în considerare separat cazurile T\u003e 0 Si t.< 0 . Acest lucru se poate face dacă scrieți semne sau unde este necesar. Ceea ce înseamnă că semnul superior se referă la cazul t\u003e 0 , iar partea de jos - la cauza t< 0 . Cu o conversie ulterioară, aceste semne sunt de obicei reduse reciproc.

O a doua abordare este posibilă, în care funcția integrată și rezultatul integrării pot fi considerate funcții complexe de la variabile complexe. Apoi, nu puteți urma semne în expresiile detașate. Această abordare este aplicabilă dacă funcția integrat este analitică, adică o funcție diferențiată dintr-o variabilă complexă. În acest caz, funcția integrat și integrarea acesteia sunt funcții multi-evaluate. Prin urmare, după integrare, la înlocuirea valorilor numerice, este necesar să se selecteze ramura neechivocă (suprafața Riemanniană) a funcției Integrand și să aleagă ramura corespunzătoare a rezultatului de integrare.

Iraționalitate liniară

Acestea sunt integralele cu rădăcini din aceeași funcție liniară fracționată:
,
În cazul în care R este o funcție rațională - numere raționale, M 1, N 1, ..., M S, N S sunt numere întregi, α, β, γ, δ - numere valide.
Astfel de integrele sunt reduse la integrale din funcția de caracter rațional:
unde n este un numitor comun al numerelor R 1, ..., R S.

Rădăcinile nu pot fi neapărat dintr-o funcție liniară fracționată, dar și de la linia (γ \u003d 0, Δ \u003d 1) sau de la variabila de integrare x (α \u003d 1, β \u003d 0, γ \u003d 0, δ \u003d 1).

Iată exemple de astfel de integrire:
, .

Integrals din binomi diferențiali

Integralurile din binomul diferențial au forma:
,
În cazul în care M, N, P este numere raționale, a, b - numere valide.
Astfel de integrele sunt reduse la integrale din funcții raționale în trei cazuri.

1) Dacă P este un număr întreg. Substituția x \u003d t n, unde n este denominatorul total al fracțiilor M și N.
2) dacă - întregul. Substituția A x N + B \u003d T m, unde M este numărul de numere p.
3) dacă - un întreg. Substituirea A + B X - N \u003d T m, unde m este numitorul numărului P.

În alte cazuri, astfel de integrele nu sunt exprimate prin funcții elementare.

Uneori, astfel de integrele pot fi simplificate utilizând formule:
;
.

Integrals care conțin rădăcină pătrată a pătratului trei

Astfel de integrele sunt:
,
unde R este o funcție rațională. Pentru fiecare astfel de integrire există mai multe metode de soluție.
1) Folosind transformări pentru a duce la integrale mai simple.
2) Aplicați substituții trigonometrice sau hiperbolice.
3) Aplicați substituțiile lui Euler.

Luați în considerare aceste metode în detaliu.

1) Conversia funcției Integrand

Folosind formula și efectuarea transformărilor algebrice, aduceți o funcție reintrodusă în minte:
,
unde φ (x), ω (x) este funcții raționale.

eu scriu

Integralul formularului:
,
unde p N (x) este un grad de polinom n.

Astfel de integrele sunt metoda coeficienților incerți care utilizează identitatea:

.
Diferențierea acestei ecuații și echivalarea părților stângi și drepte, găsim coeficienții A i.

Tipul II

Integralul formularului:
,
unde P M (x) este un grad polinom m.

Substituție t \u003d. (X - α) -1 Acest integral este condus la tipul anterior. Dacă m ≥ n, atunci fracția trebuie alocată întregii părți.

Tipul III

Aici facem o substituție:
.
După care integralul va lua forma:
.
Următorul, permanent α, β, trebuie să alegeți astfel încât în \u200b\u200bnumitor coeficienții de la T să se întoarcă la zero:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Apoi, integrale dezintegrează suma integrală a două tipuri:
,
,
care sunt integrate prin substituții:
u 2 \u003d A 1 T 2 + C 1,
v 2 \u003d A 1 + C1 T -2.

2) Substituții trigonometrice și hiperbolice

Pentru integrarea formei, a > 0 ,
Avem trei substituții principale:
;
;
;

Pentru integral, a > 0 ,
Avem următoarele substituții:
;
;
;

Și în cele din urmă pentru integral, a > 0 ,
Substituțiile sunt după cum urmează:
;
;
;

3) Substituții ELER

De asemenea, integrale pot fi reduse la integrale din funcțiile raționale ale uneia dintre cele trei substituții ale Eulerului:
, cu un\u003e 0;
, cu C\u003e 0;
unde x 1 este rădăcina ecuației A x 2 + B x + C \u003d 0. Dacă această ecuație are rădăcini valide.

Integriile eliptice

În concluzie, luați în considerare integriile formularului:
,
unde r este o funcție rațională ,. Astfel de integrele sunt numite eliptice. În general, ele nu sunt exprimate prin funcții elementare. Cu toate acestea, există cazuri în care există relații între coeficienții A, B, C, D, E, cu astfel de integrele sunt exprimate prin funcții elementare.

Mai jos este un exemplu asociat cu polinomii de întoarcere. Calculul acestor integrele se efectuează utilizând substituții:
.

Exemplu

Calculați integral:
.

Decizie

Face o substituție.

.
Aici la x\u003e 0 (U\u003e. 0 ) Luăm semnul de top "+". Cu X.< 0 (U.< 0 ) - Inferior '-'.

.

Răspuns

Referințe:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, colecție de sarcini pe matematică mai mare, "LAN", 2003.

Găsirea unui integral indefinit este o sarcină foarte frecventă în matematică mai mare și alte secțiuni tehnice ale științei. Chiar și soluția celor mai simple sarcini fizice nu este adesea necesară fără a calcula mai multe integrele simple. Prin urmare, de la vârsta școlară, ne învățăm tehnici și metode de rezolvare a integrelor, există numeroase tabele cu integranele celor mai simple funcții. Cu toate acestea, în timp, toate acestea sunt uitate în siguranță sau nu avem suficient timp pentru a verifica sau avem nevoie găsiți o decizie a unui integrat incert De la o funcție foarte complexă. Pentru a rezolva aceste probleme, serviciul nostru va fi indispensabil pentru dvs., permițându-vă să găsiți în mod inconfundabil un integrat integrat nedefinit.

Rezolvați un integral nedefinit

Serviciu online la. website Vă permite să găsiți soluție integrală online Rapid, gratuit și eficient. Puteți înlocui căutarea pe tabelele integrale dorite la serviciul nostru, unde introduceți rapid funcțiile dorite, veți primi o soluție la un integral nedefinit în tabel. Nu toate site-urile matematice pot calcula integralele nedefinite ale funcțiilor online rapid și eficient, mai ales dacă doriți să găsiți intecer integrat Din funcția complexă sau caracteristici care nu sunt incluse în rata globală a matematicii mai mari. Website website va ajuta rezolva integral online și faceți față sarcinii. Folosind soluția online integrată pe site-ul site-ului, veți obține întotdeauna un răspuns corect.

Chiar dacă doriți să calculați dvs. integrale, datorită serviciului nostru, va fi ușor să vă verificați răspunsul, să găsiți o eroare asumată sau o listă sau să vă asigurați că sarcina este impecabilă. Dacă rezolvați sarcina și dvs. ca efect auxiliar, trebuie să calculați un integral nedefinit, atunci de ce pierdeți timpul pe aceste acțiuni care ar fi făcut deja de o mie de ori? În plus, calculele suplimentare ale integralei pot fi cauza utilizării sau a unor erori mici care au condus ulterior la un răspuns incorect. Utilizați doar serviciile noastre și găsiți nedefinit integral online fără efort. Pentru sarcini practice integral Funcții pe net Acest server este foarte util. Trebuie să intre funcția specificată, a primi decizia online a unui integral nedefinit Și comparați răspunsul cu decizia dvs.

Complexe integrale

Acest articol completează subiectul integrelor incerte și, în ea, integriile pe care le consider destul de complicate sunt incluse. Lecția a fost creată pe cererile repetate ale vizitatorilor care au exprimat dorințele astfel încât exemplele mai dificile să fie dezmembrate pe site.

Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe cum să aplice principalele tehnici de integrare. Ceaințele și persoanele care nu sunt foarte confidențiale cu integriile ar trebui să fie menționate la prima lecție - Interestru incert. Exemple de soluțiiunde puteți stăpâni subiectul cu aproape zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnicile și metodele de integrare, care în articolele mele nu s-au întâlnit încă.

Ce integri vor fi luate în considerare?

În primul rând, vom lua în considerare integriile cu rădăcini, pentru a rezolva care este utilizat în mod consecvent Înlocuirea variabilei și integrarea în părți. Aceasta este, într-un exemplu, două recepții sunt combinate. Și încă mai mult.

Apoi ne vom familiariza cu interesant și original informațiile despre metodă integral pentru tine. Această metodă este rezolvată nu atât de puține integrale.

Al treilea număr al programului va merge integral din fracțiuni complexe care au zburat din registrele de numerar din articolele anterioare.

În al patrulea rând, integrale suplimentare din funcțiile trigonometrice vor fi dezasamblate. În special, există metode care vă permit să evitați consumul de timp al unei substituții trigonometrice universale.

(2) În funcția Integrand, număratorul de pe denominator.

(3) Utilizați proprietatea liniară a unui integral nedefinit. În ultimul integral imediat curățați funcția sub semnul diferențialului.

(4) Luați integralele rămase. Rețineți că în logaritm puteți utiliza paranteze, nu un modul, deoarece.

(5) Deținem un înlocuitor, exprimând de la înlocuirea directă "Te":

Studenții masochieni pot indiferent răspunsul și pot obține funcția Integrand Original așa cum am făcut-o. Nu, nu, am îndeplinit verificarea în sensul potrivit \u003d)

După cum puteți vedea, în timpul deciziei, am avut de folosit și mai mult de două decizii ale soluției, deci pentru represalii cu integrele similare, aveți nevoie de abilități de integrare confidențiale și nu cea mai mică experiență.

În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai frecventă, aici sunt trei exemple pentru auto-hotărâtă:

Exemplul 2.

Găsiți un integral nedefinit

Exemplul 3.

Găsiți un integral nedefinit

Exemplul 4.

Găsiți un integral nedefinit

Aceste exemple de același tip, astfel încât soluția completă la sfârșitul articolului va fi numai pentru Exemplul 2, în exemplele 3-4 - un răspuns. Ce înlocuire să se aplice la începutul deciziilor, cred că, evident. De ce am luat același tip de exemple? Adesea găsite în rolul dvs. Mai des, poate, doar ceva de genul .

Dar nu întotdeauna, atunci când sunt sub arctgenne, sinus, cosinie, exponențială etc. Caracteristicile sunt rădăcina unei funcții liniare, trebuie aplicate mai multe metode. În unele cazuri, este posibil să "scapi de", adică imediat după înlocuire, se obține un simplu integrat, care este elementar luat. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse sunt exemplul 4, după înlocuire, se dovedește un relativ simplu integrantă.

Informațiile despre metodă integral pentru tine

O metodă spirituală și frumoasă. Luați în considerare imediat clasicul genului:

Exemplul 5.

Găsiți un integral nedefinit

Sub rădăcină există un biccoon pătrat și când încearcă să se integreze acest exemplu Cazanul poate suferi ore întregi. Un astfel de integral este luat în părți și se apropie de ea însăși. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.

Denotă de integralul considerat al scrisorii latine și începe soluția:

Integram în părți:

(1) Pregătim o funcție de înlocuire pentru diviziunea solului.

(2) Împărțăm funcția de înlocuire. Poate că nu toți în mod clar, voi scrie mai detaliat:

(3) Utilizați proprietatea liniară a unui integral nedefinit.

(4) Luați ultimul logarit integrat ("Long").

Acum ne uităm la începutul deciziei:

Și la sfârșit:

Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integralul a ajuns la el însuși!

Noi echivalează începutul și sfârșitul:

Transferim spre partea stângă cu schimbarea semnului:

Și demolarea demo-ului în partea dreaptă. Ca urmare:

Constanta, strict vorbind, a trebuit să fie adăugată mai devreme, dar a atribuit-o la sfârșit. Îți recomand cu tărie citirea a ceea ce este aici pentru o rigoare:

Notă: O etapă finală mai strictă a soluției arată astfel:

În acest fel:

Constant poate fi reutilizat prin. De ce poți reemitei? Pentru că încă mai ia orice Valori și în acest sens între constante și nu există nici o diferență.
Ca urmare:

Un astfel de truc cu constantă reisit este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale. Și acolo voi fi strict. Și aici o astfel de libertate este permisă de mine numai pentru a nu vă confunda cu lucruri inutile și să vă concentrați asupra metodei de integrare în sine.

Exemplul 6.

Găsiți un integral nedefinit

Un alt tipic integrat pentru auto-decizii. Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției. Diferența cu răspunsul exemplului anterior va fi!

Dacă rădăcina pătrată este o triplă pătrată, atunci soluția în orice caz este redusă la două exemple dezasamblate.

De exemplu, ia în considerare integrarea . Tot ce trebuie să faceți este pre- selectați Piața Full:
.
Apoi, se efectuează o înlocuire liniară, ceea ce costă "fără consecințe":
Ca rezultat, se obține integralul. Ceva familiar, nu?

Sau un astfel de exemplu, cu pătrat Bounced:
Subliniem un pătrat complet:
Și, după înlocuirea liniară, obținem un integral, care este, de asemenea, rezolvată de algoritmul deja luat în considerare.

Luați în considerare alte două exemple tipice privind primirea informațiilor integrale pentru dvs.:
- integral din expozitorul înmulțit cu sinusul;
- Integral din expozitorul înmulțit cu cosinus.

În integrarea enumerată în părți vor trebui integrate de două ori:

Exemplul 7.

Găsiți un integral nedefinit

Funcția Integrand este un exponat înmulțit cu sinusul.

Ne integrăm de două ori în părți și aducem integral pentru tine:

Ca urmare a integrării în douăzeci în părți, integralul sa ajuns la el însuși. Noi echivalează soluțiile de început și de sfârșit:

Transferim spre partea stângă cu schimbarea semnului și exprimă integralul nostru:

Gata. De asemenea, este de dorit să se combată partea dreaptă, adică Pentru a face un exponent pentru paranteze și în paranteze pentru a pune sinusul cu cosinus în ordinea "frumoasă".

Acum, să ne întoarcem la începutul exemplului sau mai degrabă - la integrarea în părți:

Pentru că am desemnat expozantul. Întrebarea apare, este întotdeauna necesar să se refere la expozantul? Nu este necesar. De fapt, în cadrul integrat examinat principiu nicio diferentaLa ce să se refere la, a fost posibil să mergeți la alt mod:

De ce este posibil? Deoarece expozantul se transformă în sine (și în timpul diferențierii și în timpul integrării), sinusul cu cosinus se deține reciproc (din nou - atât în \u200b\u200btimpul diferențierii, cât și în timpul integrării).

Adică funcția trigonometrică poate fi indicată. Dar, în exemplul examinat, este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracțiunile. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu în al doilea rând, răspunsurile trebuie coincide.

Exemplul 8.

Găsiți un integral nedefinit

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Înainte de a decide, gândiți-vă că este mai profitabil în acest caz pentru a desemna, expunerea sau funcția trigonometrică? Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Și, bineînțeles, nu uitați că majoritatea răspunsurilor acestei lecții sunt destul de ușor de verificat diferențierea!

Exemplele nu au fost considerate cele mai dificile. În practică, integrale sunt găsite mai des, în care există o constantă în indicatorul exponent și în argumentul unei funcții trigonometrice, de exemplu:. Gândirea într-un integral similar va trebui să facă mulți, mă confund de multe ori. Faptul este că în rezolvarea probabilității apariției fracțiilor și este foarte pur și simplu ceva intens de pierdut. În plus, probabilitatea de erori în semne este excelentă, vă rugăm să rețineți că în indicatorul exponent există un semn minus, ceea ce face dificultăți suplimentare.

În etapa finală, aproximativ următoarele sunt adesea obținute:

Chiar și la sfârșitul deciziei ar trebui să fie extrem de atent și să se ocupe de fracțiunile:

Integrarea fracțiilor complexe

Încet, ajungem la ecuatorul de lecție și începem să luăm în considerare integralele din fracțiuni. Din nou, nu toate sunt SPUSWIT, doar pentru un motiv sau alte exemple au fost un pic "nu în subiect" în alte articole.

Continuăm subiectul rădăcinilor

Exemplul 9.

Găsiți un integral nedefinit

În numitor, sub rădăcina se află un pătrat de trei stări plus în afara rădăcinii "Îmbunătățiți" sub formă de "Iksa". Integrarea acestui tip este rezolvată utilizând înlocuirea standard.

Noi decidem:

Înlocuirea aici este simplă:

Ne uităm la viață după înlocuire:

(1) După înlocuire, dau termenii generali de numitor sub rădăcină.
(2) Înălțim de la rădăcină.
(3) Numerator și numitor reducând pe. În același timp, sub rădăcină, am rearanjat componentele într-o ordine confortabilă. Cu un anumit experiment, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea acțiunilor comentate pe cale orală.
(4) Integranul rezultat, pe măsură ce vă amintiți de lecție Integrarea unor fracțiuni, decide. metoda de alocare a unui pătrat complet. Selectați un pătrat complet.
(5) Integrare Obținem un logaritm "lung".
(6) efectuați un înlocuitor. Dacă inițial, apoi înapoi :.
(7) Acțiunea finală vizează coafura rezultatului: sub rădăcină, acestea aduc din nou componentele la numitorul general și îndurarea de la rădăcină.

Exemplul 10.

Găsiți un integral nedefinit

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. Aici, constanta a fost adăugată la singura "ICSU", iar înlocuirea este aproape aceeași:

Singurul lucru pe care trebuie să-l faceți suplimentar este expres "x" de la înlocuire:

Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Uneori, într-un astfel de integral sub rădăcină, poate exista o bicicletă pătrată, nu schimbă soluția pentru a rezolva, va fi chiar mai ușoară. Simte diferenta:

Exemplul 11.

Găsiți un integral nedefinit

Exemplul 12.

Găsiți un integral nedefinit

Scurte decizii și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 \u200b\u200beste exact binomial integrat, a cărui decizie a fost luată în considerare în lecție Integrals din funcțiile iraționale.

Integral dintr-un polinom nedescoperit al unui grad al doilea în grad

(polinomul în numitor)

Mai rar, dar, totuși, întâlnire exemple practice Tipul integral.

Exemplul 13.

Găsiți un integral nedefinit

Dar reveniți, de exemplu, cu numărul fericit 13 (sincer, nu se potrivește). Acest integral este, de asemenea, din categoria celor cu care puteți fi destul de suficient dacă nu știți cum să rezolvați.

Decizia începe cu transformarea artificială:

Cum să împărți numitorul la numitor, cred că totul este înțeles.

Integralul rezultat este luat în părți:

Pentru vizualizarea integrală (- numărul natural) eliminat recurent Formula de reducere a gradului:
Unde - Gradul Integral mai mic.

Voi fi convins de justiția acestei formule pentru integrarea profesionată.
În acest caz, :, Folosim formula:

După cum puteți vedea, răspunsurile coincid.

Exemplul 14.

Găsiți un integral nedefinit

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă. În eșantionul soluției, formula menționată mai sus a fost de două ori.

Dacă se află sub gradul independent de multiplicatori Pătrat triplă, atunci soluția se reduce la Bicked prin evidențierea unui pătrat complet, de exemplu:

Ce se întâmplă dacă sunteți suplimentar în numărator există un polinom? În acest caz, se utilizează metoda de coeficienți nedeterminați, iar funcția integrat este descrisă în cantitatea de fracțiuni. Dar în practica mea a unui astfel de exemplu nu m-am întâlnit, așa că am pierdut acest caz în articol Integral din funcția rațională fracționatăMi-e dor de acum. Dacă se întâlnește un astfel de integrare, consultați manualul - totul este simplu acolo. Nu consider că este de competență pentru a include materialul (chiar simplu), probabilitatea de întâlnire cu care se străduiește pentru zero.

Integrarea funcțiilor trigonometrice complexe

Adjectivul "complex" pentru majoritatea exemplelor este în multe privințe condiționate. Să începem cu tangenți și kotangenes în grade înalte. Din punctul de vedere al metodelor de rezolvare a tangentului și a kotangentului, aproape același lucru, așa că voi vorbi mai mult despre tangent, ceea ce înseamnă că recepția demonstrată a soluției integrale este corectă și pentru Cotangent.

Pe lecția de mai sus, am luat în considerare substituția trigonometrică universală Pentru a rezolva un tip specific de integrale din funcțiile trigonometrice. Lipsa unei substituții trigonometrice universale este aceea că atunci când se folosește, apar integriile voluminoase cu calcule dificile. Și, în unele cazuri, de o substituție trigonometrică universală poate fi evitată!

Luați în considerare un alt exemplu canonic, integralul de la unitatea împărțită în sinus:

Exemplul 17.

Găsiți un integral nedefinit

Aici puteți utiliza o substituție trigonometrică universală și puteți obține un răspuns, dar există o cale mai rațională. Voi oferi o soluție completă cu comentarii pentru fiecare pas:

(1) Utilizați formula trigonometrică a sinusului cu unghi dual.
(2) Realizăm o transformare artificială: în numitor, împărțim și multiplicați.
(3) În conformitate cu formula cunoscută din numitor, transformăm fracțiunea în tangentă.
(4) mătură funcția sub semnul diferenței.
(5) Luați integrale.

Câteva exemple simple pentru o soluție independentă:

Exemplul 18.

Găsiți un integral nedefinit

Notă: Prima acțiune trebuie utilizată cu formula Și efectuați cu atenție similar exemplului anterior al acțiunii.

Exemplul 19.

Găsiți un integral nedefinit

Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Cred că acum nimeni nu are probleme cu integrale:
etc.

Care este ideea metodei? Ideea este că, cu ajutorul transformărilor, formulele trigonometrice de a organiza în tangentele Integrand și un derivat tangent. Adică, este vorba despre înlocuire: . În exemplele 17-19, am aplicat de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât costă un efect echivalent - pentru a rezuma funcția sub semnul diferenței.

Argumente similare, așa cum am stipulat deja, puteți cheltui pentru Cotangennt.

Există o condiție prealabilă formală pentru utilizarea înlocuirii de mai sus:

Suma gradelor de cosinie și sinus este un număr întreg negativ, de exemplu:

pentru integral - un număr întreg negativ.

Fotografiile! Notă : Dacă funcția Integrand conține numai sinusul sau numai cosinul, atunci integralul este luat într-un grad negativ ciudat (cele mai simple cazuri din exemplele nr. 11, 18).

Luați în considerare câteva sarcini mai informative pentru această regulă:

Exemplul 20.

Găsiți un integral nedefinit

Suma de grade de sinus și cosinus: 2 - 6 \u003d -4 este un număr negativ întreg, ceea ce înseamnă că integralul poate fi redus la tangenți și derivatul său:

(1) Transformăm numitorul.
(2) În conformitate cu celebra formula, ajungem.
(3) Transformăm numitorul.
(4) Folosim formula .
(5) Predarea funcției sub semnul diferenței.
(6) Înlocuiți. Studenții mai experimentați nu pot fi înlocuiți, dar totuși este mai bine să înlocuiți tangentul cu o literă - mai puțin riscul este confuz.

Exemplul 21.

Găsiți un integral nedefinit

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă.

Țineți, începeți rundele campionului \u003d)

Adesea în funcția Integrand este "Solyanka":

Exemplul 22.

Găsiți un integral nedefinit

În acest integral, tangentul este inițial prezent, care urmărește imediat gândul deja familiar:

Transformarea artificială la început și rămânând pașii rămași fără comentarii, deoarece totul a fost menționat mai sus.

O pereche de exemple creative pentru o soluție independentă:

Exemplul 23.

Găsiți un integral nedefinit

Exemplul 24.

Găsiți un integral nedefinit

Da, în ele, desigur, este posibil să se diminueze gradul de sinus, cosinus, să folosească o substituție trigonometrică universală, dar decizia va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă se efectuează prin intermediul tangentelor. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției

Funcția F (x), diferențiată în acest decalaj, se numește perfect pentru funcția F (x) sau prin integrirea de la F (x), dacă pentru orice x ∈x, egalitatea este adevărată:

F "(x) \u003d f (x). (8.1)

Găsirea tuturor primar pentru această caracteristică este numită integrare. Funcție integrată incertăf (x) la acest decalaj se numește setul de toate funcțiile primitive pentru funcția f (x); Denumire -

Dacă f (x) este un fel de funcție funcțională f (x), apoi ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)

unde există o constantă arbitrară.

Masa integrală

Direct din definiție obținem proprietățile de bază ale unui integrat incert și o listă de integrale tabulare:

1) d∫f (x) dx \u003d f (x)

2) ∫df (x) \u003d f (x) + c

3) ∫AF (x) dx \u003d a∫f (x) dx (a \u003d const)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Lista integralurilor tabulare

1. ∫x m dx \u003d x m + 1 / (M + 1) + C; (M ≠ -1)

3.A x dx \u003d A x / ln A + C (A\u003e 0, A ≠ 1)

4.∫e x dx \u003d e x + c

5.Sin x dx \u003d cosx + c

6.COS X DX \u003d - SIN X + C

7. \u003d Arctg X + C

8. \u003d Arcsin X + C

10. \u003d - CTG X + C

Înlocuirea variabilei

Pentru integrarea multor funcții, metoda de înlocuire a unei variabile sau substituțiipermițând să aducă parte integrantă la forma tabulară.

Dacă funcția F (z) este continuă la [α, β], funcția z \u003d g (x) are un derivat continuu și α ≤ g (x) ≤ β, atunci

∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)

În plus, după integrare, înlocuirea Z \u003d G (x) trebuie făcută în partea dreaptă.

Pentru a dovedi, este suficient să scrieți integrat sursa sub forma:

∫ F (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) dg (x).

De exemplu:

Metoda de integrare în părți

Lăsați u \u003d f (x) și v \u003d g (x) să fie funcții care sunt continue. Apoi, prin muncă,

d (UV)) \u003d UDV + VDU sau UDV \u003d D (UV) - VDU.

Pentru expresia D (UV), prima, evident, va fi UV, deci formula este:

∫ Udv \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)

Această formulă exprimă regula integrarea în părți. Rezultă în integrarea expresiei UDV \u003d UV "DX pentru a integrima expresia VDU \u003d VU" DX.

Lăsați, de exemplu, trebuie să găsiți ∫xcosx dx. Puneți u \u003d x, dv \u003d cosxdx, astfel încât du \u003d dx, v \u003d sinx. Atunci

∫XCOSXDX \u003d ∫x D (SIN X) \u003d x SIN X - ∫sin x dx \u003d x Sin x + cosx + c.

Regula de integrare în părți are un domeniu mai limitat decât înlocuirea variabilei. Dar există clase întregi de integrare, de exemplu,

∫x k ln m xdx, ∫x k Sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax și altele care sunt calculate folosind integrarea în părți.

Anumite integrale

Conceptul unui anumit integral este îmbunătățit după cum urmează. Lăsați funcția F (x) să definească pe segment. Am rupt segmentul [A, B] n. Piese Dots A \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Suma formei F (ξ i) Δ x i se numește suma integrală, și limita sa la λ \u003d maxΔx i → 0, dacă există și este finită, numită Anumite integralefuncții f (x) de la a. inainte de b. Și a indicat:

F (ξ i) Δx i (8.5).

Funcția F (x) în acest caz se numește integrabilă la tăiere, numerele A și B sunt numite limită integrală inferioară și superioară.

Pentru un anumit integral, următoarele proprietăți sunt valide:

4), (k \u003d const, k∈r);

5)

6)

7) F (ξ) (b - a) (ξ∈).

Ultima proprietate este numită Teasea în sensul mediu.

Fie f (x) continuă. Apoi, există un integral nedefinit pe acest segment

∫F (x) dx \u003d f (x) + c

Și are loc formula Newton Labitsa., legarea unui anumit integral cu incert:

F (b) - f (a). (8.6)

Interpretarea geometrică: Un anumit integral este o zonă a trapezului curbilinar, limitată deasupra curbei y \u003d f (x), dreaptă x \u003d a și x \u003d b și segmentul axei BOU..

Integrame nevalide

Sunt numite integrale cu limite infinite și integrale din funcțiile discontinue (nelimitate) incompatibil. Integrame incompatibile de amice - Acestea sunt integrante la un decalaj infinit definit după cum urmează:

(8.7)

Dacă această limită există și este finită, apoi a sunat convergând integral incomplet de la f (x) pe intervalul [A, + ∞) și funcția F (x) este numită integrat la un interval infinit[A, + ∞). Altfel despre integral spune el nu există sau nu diferă.

În același mod, sunt determinate integriile incomprehensibile la intervale (-∞, b] și (-∞, + ∞):

Definim conceptul de integrare din funcția nelimitată. Dacă f (x) este continuu pentru toate valorile x. Tăiat, cu excepția punctului C, în care F (x) are un decalaj nesfârșit, atunci Incompatibil integrat II gen F (x) în intervalul de la A la b Suma se numește:

dacă aceste limite există și sunt finite. Desemnare:

Exemple de calcul integral

Exemplul 3.30. Calculați ∫dx / (x + 2).

Decizie. Denotă de t \u003d x + 2, apoi dx \u003d dt, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d LN | X + 2 | + C.

Exemplul 3.31.. Găsiți ∫ TGXDX.

Decizie.∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Fie t \u003d cosx, apoi ∫ tgxdx \u003d-∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -LN | Cosx | + C.

Exemplu3.32 . Găsiți ∫dx / sinx

Decizie.

Exemplu3.33. A găsi .

Decizie. = .

Exemplu3.34 . Găsiți ∫arctgxdx.

Decizie. Integram în părți. Denotă u \u003d arctgx, dv \u003d dx. Apoi du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d x, de unde ∫arctGxdx \u003d xarctGx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + c; la fel de
∫xdx / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.

Exemplu3.35 . Calculați ∫lnxdx.

Decizie. Folosind formula de integrare în părți, obținem:
u \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Apoi ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d Xlnx - ∫dx + c \u003d xlnx - x + C.

Exemplu3.36 . Calculați ∫e x Sinxdx.

Decizie. Denotă u \u003d e x, dv \u003d sinxdx, apoi du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → ∫ e x sinxdx \u003d - E x cosx + ∫ e x cosxdx. Integral ∫e x cosxdx se integrează în părți: u \u003d e x, dv \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx. Avem:
∫ E x Cosxdx \u003d E x Sinx - ∫ E x Sinxdx. A primit ∫e x Sinxdx \u003d - E x Cosx + E x Sinx - ∫ E x Sinxdx, de unde 2∫e x Sinx DX \u003d - E x Cosx + E x Sinx + S

Exemplu 3.37. Calculați J \u003d ∫cos (LNX) DX / X.

Decizie.Deoarece DX / X \u003d DLNX, apoi J \u003d ∫COS (LNX) D (LNX). Înlocuirea LNX prin t, ajungem la masa integrală J \u003d ∫ costdt \u003d Sint + C \u003d Sin (LNX) + C.

Exemplu 3.38 . Calculați J \u003d.

Decizie. Având în vedere că \u003d D (lnx), producem substituirea lnx \u003d t. Apoi J \u003d. .

Exemplu 3.39 . Calculați integral J \u003d .

Decizie.Avem: . Prin urmare \u003d.
=
\u003d. Se introduce SO SQRT (Tan (x / 2)).

Și dacă faceți clic pe pașii de spectacol din colțul din dreapta sus, obțineți o soluție detaliată.