Рса шифрование. Пример алгоритма шифрования rsa. ЭЦП и открытый ключ

Во второй части мы рассмотрим популярный алгоритм RSA, где при шифровании используется публичный ключ. Но вначале хочу предупредить вас еще раз. Код, представленный в этой статье, предназначен только для ознакомительных целей. Криптография – весьма обширная и сложная область, и чтобы у вас не было проблем, я не рекомендую шифровать информацию при помощи моей поделки.

Во второй части мы рассмотрим популярный алгоритм RSA, где при шифровании используется публичный ключ. Но вначале хочу предупредить вас еще раз. Код, представленный в этой статье, предназначен только для ознакомительных целей. Криптография - весьма обширная и сложная область, и чтобы у вас не было проблем, я не рекомендую шифровать информацию при помощи моей поделки.

Алгоритм RSA

Шифрование с использованием публичного ключа

Шифрование при помощи публичного ключа используется повсеместно. Если вы хотя бы раз оплачивали что-то в интернете, то уже пользовались этим методом (я надеюсь!). Сразу же возникает вопрос о том, как работает эта защита. Если я ввожу номер своей кредитной карты, чтобы что-то купить, почему кроме адресата никто не может подсмотреть эти сведения? Приведу метафору. Чтобы открыть сейф, вам требуется ключ (или молоток, но, к счастью, сейфы и замки защищены от такого рода деятелей). В шифровании с использованием публичного ключа происходит примерно то же самое. Вы показываете замок на всеобщее обозрение, но ключ от этого замка есть только у избранных, а другими методами открыть дверь практически невозможно.

RSA – один из алгоритмов, реализующих вышеуказанную схему. Кроме того, мы можем использовать этот алгоритм для подтверждения подлинности нашей личности. Если вы, используя секретный ключ, отсылаете кому-то зашифрованное сообщение, адресат при помощи публичного ключа может расшифровать ваше послание. Эта технология позволяет подписывать сообщения, и тем самым подтверждается подлинность отправителя.

Демо-программа на базе алгоритма RSA

Схема Райвеста - Шамира - Адлемана (RSA) в настоящее время является единственной, получившей широкое признание и практически применяемой схемой шифрования с открытым ключом.

Схема RSA представляет собой блочный шифр, в котором и открытый текст, и шифрованный текст представляются целыми числами из диапазона от 0 до п - 1 для некоторого п.

Открытый текст шифруется блоками, каждый из которых содержит двоичное значение, меньшее некоторого заданного числа п. Это значит, что длина блока должна быть не больше log2(«). На практике длина блока выбирается равной 2 к битам, где 2 к Схема, разработанная Райвестом, Шамиром и Адлеманом, основана на выражениях со степенями. Шифрование и дешифрование для блока открытого текста М и блока шифрованного текста С можно представить в виде следующих формул:

Как отправитель, так и получатель должны знать значение п. Отправитель знает значение е, и только получателю известно значение d. Таким образом, данная схема является алгоритмом шифрования с открытым ключом KU= {е, п), и личным ключом KR = {d, п}.

Чтобы этот алгоритм мог использоваться для шифрования с открытым ключом, должны быть выполнены следующие требования:

Должны существовать такие значения е, d и п, что M ed = M(mod п) для всех М п.

Должны относительно легко вычисляться IVT и С с1 для всех значений М п.

Должно быть практически невозможно определить d по имеющимся ей п.

Проанализируем сначала первое требование, а остальные рассмотрим позже. Необходимо найти соотношение вида

Здесь как нельзя лучше подойдет следствие из теоремы Эйлера: для таких любых двух простых чисел р и q и таких любых двух целых чисел пит, что n=pqn0 и произвольного целого числа к выполняются следующие соотношения:

где ф(я) является функцией Эйлера, значение которой равно числу положительных целых чисел, меньших п и взаимно простых с п.

В случае простых р и q имеем ф(pq) - (р - 1 )(q - 1). Поэтому требуемое соотношение получается при условии

Это эквивалентно следующим соотношениям:

т.е. ей d являются взаимно обратными по модулю ф(я). Обратите внимание, что в соответствии с правилами арифметики в классах вычетов это может иметь место только тогда, когда d (а следовательно и е) является взаимно простым с ф(и). В эквивалентной записи (ф(/7), d)=.

Теперь у нас есть все, чтобы представить схему RSA. Компонентами схемы являются:

р и q - два простых числа (секретные, выбираются);

п - pq (открытое, вычисляется);

такое е , что (ф(я), е) = 1,1 е

d = е л (mod ф(/?)) (секретное, вычисляется).

Личный ключ складывается из {d,n}, а открытый- из {е, п}. Предположим, что пользователь А опубликовал свой открытый ключ, и теперь пользователь В собирается переслать ему сообщение М.

Тогда пользователь В вычисляет шифрованное сообщение

Получив этот шифрованный текст, пользователь А дешифрует его, вычисляя

Имеет смысл привести здесь обоснование этого алгоритма. Были выбраны ей d такие, что

Значит, еЛшеет вид кц>(п)+. Но по следствию теоремы Эйлера, для таких любых двух простых чисел р и qu целых чисел п = pqn М, чтоО выполняются соотношения

Поэтому

Теперь имеем

Таблица 10.1 резюмирует алгоритм RSA, а на рис. 10.1 показан пример его применения. В этом примере ключи вычисляются следующим образом:

1. Выбираются два простых числа: р- 7 wq- 17.
2. Вычисляется п =pq = 7 х 17=119.
3. Вычисляется ф(п) - (р -){q - 1) = 96.
4. Выбирается е , взаимно простое с ф(п) = 96 и меньшее, чем ф(я); в данном случаев = 5.
5. Определяется такое d, что de = 1 (mod 96) и d 96. Соответствующим значением будет d= 77, так как 77 х 5 = 385 = 4 х 96 + 1.
6. В результате получаются открытый ключ KU= (5, 119} и личный ключ KR = {77, 119}.

В данном примере показано использование этих ключей с вводимым открытым текстом М = 19. При шифровании 19 возводится в пятую степень, что в результате дает 2 476 099. В результате деления на 119 определяется остаток, равный 66. Следовательно, 19 5 = 66(mod 119), и поэтому шифрованным текстом будет 66. После дешифрования выясняется, что

Рис. 10.1.

Таблица 10.1

RSA-шифрование представляет собой одну из первых практических криптосистем с открытым ключом, которая широко используется для безопасной передачи данных. Ее основное отличие от подобных сервисов в том, что ключ шифрования является открытым и отличается от ключа дешифрования, который держится в секрете. В технологии RSA основана на практической сложности факторингового воспроизведения двух больших простых чисел (проблема факторинга).

История создания

Название RSA состоит из начальных букв фамилий Ривест, Шамир и Адлеман, - ученых, которые впервые публично описали подобные в 1977 году. Клиффорд Кокс, английский математик, работавший на спецслужбы Великобритании, впервые разработал эквивалентную систему в 1973 году, но она не была рассекречена до 1997 г.

Пользователь RSA создает и затем публикует открытый ключ, основанный на двух больших простых числах вместе со вспомогательным значением. должны храниться в тайне. Любой человек может использовать открытый ключ для шифрования сообщения, но если он достаточно большой, то только кто-либо со знанием простых чисел может декодировать сообщение. Раскрытие RSA шифрования известно как основная проблема: сегодня остается открытой дискуссия о том, насколько это надежный механизм.

RSA является относительно медленным алгоритмом, по причине чего он не так широко используется для непосредственного пользователя. Чаще всего этот метод используют для передачи в зашифрованном виде общих ключей для симметричного ключа шифрования, который, в свою очередь, может выполнять операции массового шифрования и дешифрования на гораздо более высокой скорости.

Когда появилась криптосистема в современном виде?

Идея асимметричного ключа криптосистемы приписывается Диффи и Хеллману, которые опубликовали концепцию в 1976 году, представив цифровые подписи и попытавшись применить теорию чисел. Их формулировка использует общий секретный ключ, созданный из экспоненциации некоторого числа по модулю простого числа. Тем не менее, они оставили открытой проблему реализации этой функции, поскольку принципы факторинга не были хорошо изучены в то время.

Ривест, Ади Шамир и Адлеман в Массачусетском технологическом институте предприняли несколько попыток в течение года, чтобы создать однонаправленную функцию, которую трудно раскодировать. Ривест и Шамир (как компьютерные ученые) предложили множество потенциальных функций, в то время как Адлеманом (как математиком) осуществлялся поиск «слабых мест» алгоритма. Они использовали много подходов и в конечном итоге в апреле 1977 года разработали окончательно систему, сегодня известную как RSA.

ЭЦП и открытый ключ

Электронная цифровая подпись, или ЭЦП, представляет собой составную часть документов электронного типа. Она образуется при определенном криптографическом изменении данных. С помощью этого атрибута возможно провести проверку целостности документа, его конфиденциальности, а также установить, кто является его владельцем. По сути, это альтернатива обыкновенной стандартной подписи.

Данная криптосистема (RSA-шифрование) предлагает открытый ключ, чем отличается от симметричных. Принцип ее функционирования в том, что применяют два разных ключа - закрытый (зашифрованный), а также открытый. Первый применяют для того, чтобы сгенерировать ЭЦП и впоследствии получить возможность расшифровки текста. Второй - для собственно шифрования и проверки ЭЦП.

Использование подписи позволяет лучше понять шифрование RSA, пример которого можно привести как обычный засекреченный «закрытый от посторонних глаз» документ.

В чем суть алгоритма?

Алгоритм RSA состоит из четырех этапов: генерации ключей, их распределения, шифрования и дешифрования. Как уже было указано, RSA-шифрование включает в себя открытый ключ и закрытый ключ. Открытый может быть известен всем и используется для шифрования сообщений. Суть его состоит в том, что сообщения, зашифрованные с помощью открытого ключа, могут быть расшифрованы только в определенный промежуток времени с использованием секретного ключа.

В целях безопасности целые числа должны быть выбраны случайным образом и быть одинаковыми по величине, но при этом различаться по длине на несколько цифр, чтобы сделать факторинг сложнее. Одинаковые же числа могут быть эффективно найдены с помощью теста на их простоту, поэтому шифрование информации должно обязательно усложняться.

Открытый ключ состоит из модуля и публичной экспоненты. Закрытый состоит из модуля и приватного показателя, который должен храниться в тайне.

Шифрование файлов RSA и слабые места

Однако существует целый ряд механизмов по взлому простого RSA. При шифровании с низкими показателями и малыми значениями чисел шифр может быть легко раскрыт, если подобрать корень шифротекста над целыми числами.

Поскольку RSA-шифрование является детерминированным алгоритмом (т.е. не имеет случайной составляющей), злоумышленник может успешно запустить выбранный открытый текст атаки против криптосистемы путем шифрования вероятных открытых текстов под открытым ключом и проверками на предмет того, равны ли они шифротексту. Криптосистема называется семантически безопасной в том случае, если злоумышленник не сможет отличить две шифровки друг от друга, даже если он знает соответствующие тексты в раскрытом виде. Как было описано выше, RSA без дополнения другими сервисами не является семантически безопасной.

Дополнительные алгоритмы шифрования и защиты

Чтобы избежать вышеуказанных проблем, при практической реализации RSA обычно встраивают некоторую форму структурированного, рандомизированного заполнения перед шифрованием. Это гарантирует, что содержание не попадает в диапазон небезопасных открытых текстов и что данное сообщение не сможет быть раскрыто путем случайного подбора.

Безопасность криптосистемы RSA и шифрование информации основаны на двух математических задачах: проблемы разложения на множители больших чисел и собственно проблемы RSA. Полное раскрытие шифротекста и ЭЦП в RSA считается недопустимым на том предположении, что обе эти проблемы невозможно разрешить в совокупности.

Однако благодаря возможности восстановления простых множителей, злоумышленник может вычислить секретный показатель из открытого ключа, а затем расшифровать текст с помощью стандартной процедуры. Несмотря на то что сегодня ни один существующий метод для факторизации больших чисел на классическом компьютере не найден, не было доказано, что он не существует.

Автоматизация

Инструмент, называемый Yafu, может быть использован для оптимизации этого процесса. Автоматизация в YAFU представляет собой современную функцию, сочетающую алгоритмы факторизации в интеллектуальной и адаптивной методологии, которая сводит к минимуму время, чтобы найти факторы произвольных входных чисел. Большинство реализаций алгоритма многопоточные, что позволяет Yafu в полной мере использовать мульти- или много (в том числе SNFS, SIQS и ECM). Прежде всего, это управляемый инструмент командной строки. Время, затраченное на поиск фактора шифрования с использованием Yafu на обычном компьютере, может быть уменьшено до 103.1746 секунд. Инструмент производит обработку емкостью 320 бит или больше. Это очень сложное программное обеспечение, которое требует определенного количества технических навыков для установки и настройки. Таким образом, RSA-шифрование C может оказаться уязвимым.

Попытки взлома в новейшее время

В 2009 году Бенджамин Муди с помощью битового ключа RSA-512 работал над расшифровкой криптотекста в течение 73 дней, используя только общеизвестное программное обеспечение (GGNFS) и среднестатистический настольный компьютер (двухъядерный Athlon64 при 1900 МГц). Как показал данный опыт, потребовалось чуть менее 5 гигабайт диска и около 2,5 гигабайт оперативной памяти для процесса «просеивания».

По состоянию на 2010 год, самый большой факторизованный номер RSA был 768 бит длиной (232 десятичные цифры, или RSA-768). Его раскрытие длилось два года на нескольких сотнях компьютеров одновременно.

На практике же ключи RSA имеют большую длину - как правило, от 1024 до 4096 бит. Некоторые эксперты считают, что 1024-битные ключи могут стать ненадежными в ближайшем будущем или даже уже могут быть взломаны достаточно хорошо финансируемым атакующим. Однако, мало кто станет утверждать, что 4096-битные ключи могут быть также раскрыты в обозримом будущем.

Перспективы

Поэтому, как правило, предполагается, что RSA является безопасным, если числа достаточно велики. Если же основное число 300 бит или короче, шифротекст и ЭЦП может быть разложен в течение нескольких часов на персональном компьютере с использованием программного обеспечения, имеющегося уже в свободном доступе. Ключи длиной 512 бит, как было доказано, могли быть вскрыты уже в 1999 году с использованием нескольких сотен компьютеров. В наши дни это возможно в течение нескольких недель с использованием общедоступного аппаратного обеспечения. Таким образом, вполне возможно, что в будущембудет легко раскрываться RSA-шифрование на пальцах, и система станет безнадежно устаревшей.

Официально в 2003 году была поставлена под сомнение безопасность 1024-битных ключей. В настоящее время рекомендуется иметь длину не менее 2048 бит.

RSА использует два типа ключей - e и d , где e - открытый, a d - секретный. Предположим, что P - исходный текст и C - зашифрованный текст. Алиса использует C = P e mod n , чтобы создать зашифрованный текст C из исходного текста P ; Боб использует P = C d mod n , чтобы извлечь исходный текст (файл), переданный Алисой. Модулей n создается очень большое количество с помощью процесса генерации ключей, который мы обсудим позже.

Для шифрования и дешифрования применяют возведение в степень по модулю. Как мы уже обсуждали в лекциях 12-13, при использовании быстрого алгоритма возведение в степень по модулю выполнимо в полиномиальное время. Однако нахождение модульного логарифма так же сложно, как и разложение числа по модулю. Для него нет алгоритма с полиномиальным временем. Это означает, что Алиса может зашифровать сообщение общедоступным ключом (e) в полиномиальное время. Боб также может расшифровать его в полиномиальное время (потому что он знает d ). Но Ева не может расшифровать это сообщение, потому что она должна была бы вычислить корень e -той степени из C с использованием модульной арифметики. Рисунок 14.5 показывает идею RSA .

Рис. 14.5.

Другими словами, Алиса использует одностороннюю функцию (возведение в степень по модулю) с лазейкой, известной только Бобу. Ева не знает лазейку, поэтому не может расшифровать сообщение. Если когда-нибудь найдут полиномиальный алгоритм для модуля вычисления корня e -той степени из n , то возведение в степень по модулю n не будет больше односторонней функцией.

Процедура

Рисунок 14.6 показывает общую идею процедуры, используемой в RSA .

RSA использует возведение в степень по модулю для шифрования/дешифрования. Для того чтобы атаковать закрытый текст, Ева должна вычислить

Рис. 14.6.

Две алгебраические структуры

RSA использует две алгебраических структуры: кольцо и группу.

Кольца шифрования/дешифрования . Шифрование и дешифрование сделаны с использованием коммутативного кольца с двумя арифметическими операциями: сложение и умножение. В RSA это кольцо общедоступно, потому что модуль n общедоступен. Любой может послать сообщение Бобу, используя это кольцо для шифрования.

Группы генерирования ключей . RSA использует мультипликативную группу для генерации ключей. Группа поддерживает только умножение и деление (мультипликативную инверсию), которые необходимы для того, чтобы создать открытые и секретные ключи. Эту группу надо скрыть, потому что ее модуль является секретным. Мы увидим, что если Ева найдет этот модуль, она сможет легко атаковать криптографическую систему.

RSA использует две алгебраических структуры: открытое кольцо R = < Z n , +, x > и секретную группу G = < Z (n)* , x > .

Генерация ключей

Боб использует шаги, показанные в алгоритме 14.2 , чтобы создать свои открытый и секретный ключи. После генерации ключей Боб объявляет кортеж (e, n) как свой открытый ключ доступа: Боб сохраняет d как свой секретный ключ. Боб может отказаться от p, q и ; они не могут изменить его секретный ключ, не изменяя модуль. Для безопасности рекомендуется размер для каждого простого p или q - 512 бит (почти 154 десятичные цифры). Это определяет размер модуля, n 1024 бита (309 цифр).

14.2. RSA-генерация ключей

В RSA кортеж (e, n) - открытый ключ доступа; целое число d - секретный ключ .

Шифрование

Передать сообщение Бобу может любой, используя его открытый ключ доступа. Шифрование в RSA может быть выполнено с использованием алгоритма с полиномиальной сложностью по времени, как показано в алгоритме 14.3 . Быстрый алгоритм возведения в степень был рассмотрен в лекциях 12-13. Размер исходного текста должен быть меньше чем n ; если размер исходного текста больше, то он должен быть разделен на блоки.

Под катом описаны примеры выбора «плохих» параметров шифра RSA.

«Следует подчеркнуть необходимость соблюдения осторожности в выборе модуля RSA (числа n ) для каждого из корреспондентов сети. В связи с этим можно сказать следующее. Читатель может самостоятельно убедиться в том, что зная одну из трех величин p , q или φ(n) , можно легко найти секретный ключ RSA…».

Дополним этот текст. При неудачном выборе модуля шифра RSA, как это сделано в примере пособия, приводимом ниже, можно дешифровать текст и без наличия секретного ключа, т.е. не зная ни одной из трех названных величин.

Для этого достаточно располагать зашифрованным текстом, заданным модулем шифра n , открытым ключом е шифра и выполнить всего три шага атаки «бесключевого чтения». После четвертого атакующего шага устанавливается, что на предыдущем шаге был получен исходный текст, он может быть прочитан. Покажем, насколько просто это делается.

Вначале приведем сам пример со стр. 313-315 из названного пособия.

Пример

Шифрование короткого исходного текстового сообщения: RSA .
Получатель устанавливает шифр с характеристиками n=pq=527 , где р=17 , q=31 и φ(n)=(р –1)(q – 1)=480 . В качестве открытого ключа е выбрано число, взаимно простое с φ(n) , е=7 . Для этого числа с помощью расширенного алгоритма Евклида найдены целые числа u и v , удовлетворяющие соотношению е∙u+φ(n)∙v=1 :

480=7∙68+4,
7=4∙1+3,
4=3∙1+1,
1=4–3∙1=4–(7–4∙1)∙1=4∙2–7∙1=(480–7∙68)∙2–7∙1=480∙2–7∙137,
v=2, u=–137 .

Поскольку –137≡343(mod480) , то d=343 .

Проверка: 7∙343=2401≡1(mod480) .

Текстовое сообщение представляется в виде последовательности чисел, содержащихся в интервале . Для этого буквы R , S и A кодируются пятиразрядными двоичными числами. Используются порядковые номера этих букв в английском алфавите при их двоичном представлении:

R=18 10 =(10010) 2 , S=19 10 =(10011) 2 ,
A=1 10 =(00001) 2 .

Тогда RSA=(100101001100001) 2 . Разбиение текста на блоки ограниченной длины дает представление из двух блоков: RSA=(100101001), (100001)=(М 1 =297, М 2 =33) .

Последовательно шифруются блоки исходного текста М 1 =297 , М 2 =33 :
y 1 =Е k (М 1)=М 1 e ≡297 7 (mod527)=474 .

Здесь воспользовались тем, что:

297 7 =((297 2) 3)297≡(mod527)=(200 3 (mod527)297)(mod527)=474 ,
y 2 =Е k (М 2)=M 2 e ≡33 7 (mod527)=407 .

Шифрованный текст, как и исходный, получаем в виде двух блоков: у 1 =474 ; у 2 =407 .

Расшифрование представляется последовательностью действий D k (y i)=(y i) d =(y i) 343 (mod 527) , i=1,2 .

Вычисления возведения в степень d более удобно проводить, предварительно представляя показатель степени суммой степеней числа 2 , а именно: 343=256+64+16+4+2+1 .

Используя это представление показателя степени d=343 , получаем:

474 2 ≡174(mod527),
474 4 ≡237(mod527),
474 8 ≡307(mod527),
474 16 ≡443(mod527),
474 32 ≡205(mod527),
474 64 ≡392(mod527),
474 128 ≡307(mod527),
474 256 ≡443(mod527),
и окончательно 474 343 (mod527)=(443∙392∙443∙237∙174∙474) (mod527)=297 .

Аналогично вычисляется значение 407 343 (mod527)=33 .

Переход к буквенному представлению расшифрованного сообщения дает: RSA .

После рассмотрения примера в пособии приводятся рассуждения о стойкости системы RSA. Подчеркивается необходимость соблюдения осторожности в выборе модуля шифра RSA (числа n ) для каждого из корреспондентов сети. Указывается на недопустимость игнорирования требований к выбираемым характеристикам системы шифрования. Среди таких требований, к сожалению, не указано то, нарушение которого иллюстрирует приведенный пример.

Атака на шифр RSA

Рассмотрим пример атаки на шифр RSA. Воспользуемся данными примера, приведенного на странице 313-315 в учебном пособии «Основы криптографии» А.П. Алферов, А.Ю. Зубов, А.С. Кузьмин, А.В. Черемушкин, Москва. «Гелиос АРВ», 2001.

Неудачность (недопустимость) выбранных параметров системы в этом примере легко показывается вычислениями, реализующими атаку бесключевого чтения исходного текста. Сущность такой атаки состоит в следующем. Заданы открытый ключ шифра RSA (е=7 , n=527 ) и шифрованный текст. В примере шифрованный текст представлен двумя блоками
у=(у 1 =474, у 2 =407) .

Каждый шифрованный блок атакуется индивидуально, вначале атакуем у 1 =474 , после его дешифрования, атакуем другой блок у 2 =407 .

Далее формируется путем многократного зашифрования с сохранением результатов двух последовательных шагов алгоритма атаки и с использованием открытого ключа последовательность числовых значений у i , у 1 =у имеющийся шифрованный текст.

В алгоритме атаки на шифрованный текст определяется такой номер шага j , для которого y i e j (mod n)=(y i e j–1 (mod n)) e (mod n)=y i , i>1 . Из последнего соотношения видим, что при возведении в степень е значения (y i e j–1 (mod n)) получается начальный шифoртекст y i = у 1 .

Но это и означает, что на этом шаге шифровался открытый текст. Непосредственными вычислениями (их оказывается совсем немного) с использованием экранного калькулятора находим то значение j , при котором цикл шифрования завершается значением y 1 , с которого цикл и был начат.

Атака на первый блок у 1 =474 шифртекста.
Шаг 1 : 474 7 (mod527)=382 ;
Шаг 2 : 382 7 (mod527)=423 ;
Шаг 3 : 423 7 (mod527)=297 ;
Шаг 4 : на этом шаге шифруется уже найденный исходный текст, но его необходимо выполнить, так как атакующий исходного текста не знает. Признаком завершения атаки является совпадение начального значения шифртекста (474 ) и результата 4-го шага зашифрования. Именно такое совпадение и имеет место.

297 7 (mod527)=474 получили начальный (первый) блок шифртекста. Атака на первый блок завершена успешно у 1 =474 . Предшествующий результат шага 3 равен открытому тексту М 1 =297 .

n=527 r=297 по модулю n=527 . Это записывается так y i =у 1 =297 . Формируем степенные вычеты
(((297 7 (mod527)) 7 (mod527)) 7 (mod527)) 7 =297 .

Атака на второй блок у 2 =407 шифртекста.
Шаг 1 : 407 7 (mod527)=16 ;
Шаг 2 : 16 7 (mod527)=101 ;
Шаг 3 : 101 7 (mod527)=33 ;
Шаг 4 : 33 7 (mod527)=407 .

Вновь на третьем шаге получен блок исходного текста (М 2 =33 ), но атакующему это неизвестно, и он выполняет следующий (четвертый шаг), результат которого (407 ) совпадает с начальным шифртекстом у 2 =407 .

По существу в кольце вычетов по модулю n=527 реализовался короткий цикл обработки вычета r=33 по модулю n=527 . Это записывается так y i =у 2 =33 .
Формируем степенные вычеты ((33 7 (mod527)) 7 (mod527)) 7 (mod527)=33 .

Результат атаки (исходный текст М 1 =297 , М 2 =33 ) получен трехкратным шифрованием заданного шифртекста. Больший успех для атакующего шифртекст трудно представить.

Продолжая обсуждение вопроса о выборе модуля и других параметров шифра, можно добавить, что модуль шифра (n=527 ) некоторые исходные тексты вообще не позволяет шифровать. При этом выбор значения открытого ключа е большой роли не играет. Существуют значения исходных текстов, которые вообще невозможно зашифровать выбранным шифром с модулем n=527 .

Ни на одном из заданных е не удается зашифровать исходные тексты, представляемые числами
187 , 341 , 154 и 373 .

Пример (невозможность шифрования значений некоторых исходных текстов)

Пусть исходные тексты представлены четырьмя блоками y=(y 1 =154, y 2 =187, y 3 =341, y 4 =373) . Экспонента е открытого ключа шифра может быть любым взаимно простым числом с функцией Эйлера φ(n)=φ(527)=480 . Впрочем, для рассматриваемого случая открытый ключ е может быть задан произвольно. Действительно, пусть е=2, 4, 7, 9, 17, 111 тогда:

154 2 (mod527)=1 ;
154 4 (mod527)=1 ;
154 7 (mod527)=154 ;
154 9 (mod527)=154 ;
154 17 (mod527)=154 ;
154 111 (mod527)=154 ;
187 2 (mod527)=187 ;
187 4 (mod527)=187 ;
187 7 (mod527)=187 ;
187 9 (mod527)=187 ;
187 17 (mod527)=187 ;
187 111 (mod527)=187 ;
341 2 (mod527)=341 ;
341 4 (mod527)=1 ;
341 7 (mod527)=341 ;
341 9 (mod527)=341 ;
341 17 (mod527)=341 ;
341 111 (mod527)=341 ;
373 2 (mod527)=1 ;
373 4 (mod527)=373 ;
373 7 (mod527)=373 ;
373 9 (mod527)=373 ;
373 17 (mod527)=373 ;
373 111 (mod527)=373 .

Из рассмотренного примера следует простой вывод. Действительно, к выбору параметров процесса шифрования надо подходить очень внимательно и проводить тщательный предварительный анализ таких параметров. Как это делать - отдельный вопрос, и в рамках этой работы он не рассматривается.