Αριθμητικά συστήματα

Σύστημα αριθμών -ένα σύνολο τεχνικών και κανόνων για τη σύνταξη αριθμών σε ψηφιακά σήματα ή σύμβολα.

Όλα τα αριθμητικά συστήματα μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες: θέσεωςκαι μη-θέση... Στην τάξη των συστημάτων θέσης, ένας αριθμός διαφορετικών χαρακτήρων χρησιμοποιείται για την εγγραφή αριθμών σε διαφορετικά συστήματα αριθμών. Ο αριθμός τέτοιων χαρακτήρων στο σύστημα αριθμού θέσης καλείται βάση του αριθμητικού συστήματος.Ακολουθεί ένας πίνακας που περιέχει τα ονόματα ορισμένων συστημάτων αριθμού θέσης και μια λίστα σημείων (αριθμών) από τους οποίους σχηματίζονται αριθμοί σε αυτά.

Μερικά συστήματα αριθμών

Βάση	Σημειογραφία	Σημάδια
	Δυάδικος	0,1
	Τριαδικός	0, 1, 2
	Τετραδικός	0, 1, 2, 3
	Πενταπλούς	0, 1, 2, 3, 4
	Οκτάεδρος	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Δεκαδικός	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Δωδεκάδικο	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Δεκαεξαδικό	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Στο αριθμητικό σύστημα θέσης, στη σχετική θέση του ψηφίου στον αριθμό αντιστοιχεί συντελεστής στάθμισης και ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα των προϊόντων των συντελεστών με τον αντίστοιχο βαθμό της βάσης του αριθμητικού συστήματος (συντελεστής στάθμισης ):

A n A n - 1 A n - 2 ... A 1 A 0, A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(Το σύμβολο "," διαχωρίζει το ακέραιο μέρος του αριθμού από το κλασματικό μέρος. Έτσι, η έννοια κάθε σημείου στον αριθμό εξαρτάται από τη θέση που καταλαμβάνει το σημάδι στην εγγραφή αριθμών. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο τέτοια συστήματα αριθμών ονομάζονται θέση ).

Σύστημα αριθμού θέσης - ένα σύστημα στο οποίο η τιμή ενός αριθμού καθορίζεται από τις τιμές των ψηφίων που περιλαμβάνονται σε αυτόν και τη σχετική θέση τους στον αριθμό.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Ο δεκαδικός δείκτης στο κάτω μέρος δείχνει τη βάση του αριθμητικού συστήματος.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F, 4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591.625 10.

Όταν εργάζεστε με υπολογιστές, πρέπει να χρησιμοποιήσετε πολλά συστήματα αριθμού θέσης παράλληλα (συνήθως δυαδικό, δεκαδικό, οκταδικό και δεκαεξαδικό), επομένως, οι διαδικασίες για τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο έχουν μεγάλη πρακτική σημασία. Σημειώστε ότι σε όλα τα παραπάνω παραδείγματα, το αποτέλεσμα είναι ένας δεκαδικός αριθμός και έτσι έχει ήδη αποδειχθεί ένας τρόπος μετατροπής αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμού θέσης σε δεκαδικό.

Γενικά, για να μετατρέψετε το ακέραιο μέρος ενός αριθμού από το δεκαδικό σύστημα στο βασικό σύστημα Β, πρέπει να τον διαιρέσετε με το B. Το υπόλοιπο θα δώσει το λιγότερο σημαντικό ψηφίο του αριθμού. Το πηλίκο που λαμβάνεται σε αυτήν την περίπτωση πρέπει να διαιρεθεί ξανά με B - το υπόλοιπο θα δώσει το επόμενο ψηφίο του αριθμού κ.λπ. Οι διαιρέσεις συνεχίζονται μέχρι το πηλίκο να είναι μικρότερο από τη βάση. Οι τιμές των υπολειμμάτων που προκύπτουν, λαμβάνονται με αντίστροφη σειρά, σχηματίζουν τον επιθυμητό δυαδικό αριθμό.

Ένα παράδειγμα μετάφρασης ενός ολόκληρου μέρους:Μετατροπή 25 10 σε δυαδικό αριθμό.

25/2 = 12 με το υπόλοιπο 1,

12/2 = 6 με το υπόλοιπο 0,

6/2 = 3 με το υπόλοιπο 0,

Ολόκληρα και κλασματικά μέρη μεταφράζονται ξεχωριστά. Για τη μετάφραση του κλασματικού μέρους, πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το B. Το ολόκληρο μέρος του προϊόντος που προκύπτει θα είναι το πρώτο (μετά το κόμμα που διαχωρίζει ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό). Το κλασματικό μέρος του προϊόντος πρέπει να πολλαπλασιαστεί ξανά με το B. Το ολόκληρο μέρος του προκύπτοντος αριθμού θα είναι το επόμενο σύμβολο κ.λπ.

Για να μεταφράσετε το κλασματικό μέρος (ή έναν αριθμό με ακέραιους αριθμούς "0"), πρέπει να το πολλαπλασιάσετε με το 2. Το σύνολο του προϊόντος θα είναι το πρώτο ψηφίο του αριθμού στο δυαδικό σύστημα. Στη συνέχεια, απορρίπτοντας ολόκληρο το αποτέλεσμα, πολλαπλασιάζουμε ξανά με 2 κ.λπ. Σημειώστε ότι το τελικό δεκαδικό κλάσμα σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να γίνει άπειρο (περιοδικό) δυαδικό.

Ένα παράδειγμα της μετάφρασης του κλασματικού μέρους:Μετατροπή 0,73 10 σε δυαδικό αριθμό.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (ολόκληρο μέρος 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (ακέραιο μέρος 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (ολόκληρο μέρος 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (ακέραιο μέρος του 1) κ.λπ.

Έτσι: 0,73 10 = 0,1011 2.

Μπορούν να πραγματοποιηθούν διάφορες αριθμητικές πράξεις σε αριθμούς γραμμένους σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών. Οι αριθμητικές λειτουργίες σε όλα τα συστήματα αριθμού θέσης εκτελούνται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες που είναι γνωστοί σε εσάς.

Σκεφτείτε να προσθέσετε δύο αριθμούς στη βάση δέκα:

Κατά την προσθήκη των αριθμών 6 και 7, το αποτέλεσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως η έκφραση 10 + 3, όπου το 10 είναι η πλήρης βάση για το δεκαδικό σύστημα αριθμών. Αντικαταστήστε το 10 (βάση) με 1 και αντικαταστήστε στα αριστερά του αριθμού 3. Θα αποδειχθεί:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Σκεφτείτε να προσθέσετε δύο αριθμούς στη βάση οκτώ:

Κατά την προσθήκη των αριθμών 6 και 7, το αποτέλεσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως η έκφραση 8 + 5, όπου το 8 είναι η πλήρης βάση για το σύστημα οκταδικών αριθμών. Αντικαταστήστε το 8 (βάση) με 1 και αντικαταστήστε στα αριστερά του αριθμού 5. Παίρνουμε:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Σκεφτείτε να προσθέσετε δύο μεγάλους αριθμούς στη βάση οκτώ:

Η προσθήκη ξεκινά με το λιγότερο σημαντικό κομμάτι. Έτσι, το 4 8 + 6 8 αντιπροσωπεύεται ως 8 (βάση) + 2. Αντικαταστήστε το 8 (βάση) με το 1 και προσθέστε αυτήν τη μονάδα στα πιο σημαντικά ψηφία. Στη συνέχεια, προσθέστε τα ακόλουθα ψηφία: 5 8 + 3 8 + 1 8 αντιπροσωπεύεται ως 8 + 1, αντικαταστήστε το 8 (βάση) με 1 και προσθέστε το στο πιο σημαντικό bit. Επιπλέον, τα 2 8 + 7 8 + 1 8 αντιπροσωπεύονται ως 8 (βάση) + 2, αντικαταστήστε το 8 (βάση) με 1 και αντικαταστήστε στα αριστερά του προκύπτοντος αριθμού (στη θέση του πιο σημαντικού ψηφίου). Έτσι, αποδεικνύεται:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Άλλες αριθμητικές πράξεις (αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση) εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο σε διαφορετικά συστήματα αριθμών.

Εξετάστε τον πολλαπλασιασμό "στήλη", χρησιμοποιώντας το παράδειγμα δύο αριθμών στο δυαδικό σύστημα:

11101 2 101 2

Γράφουμε αριθμούς μεταξύ τους, σύμφωνα με τα ψηφία. Στη συνέχεια, κάνουμε έναν δυαδικό πολλαπλασιασμό του δεύτερου παράγοντα με τον πρώτο και τον γράφουμε με μια μετατόπιση προς τα αριστερά, με τον ίδιο τρόπο όπως όταν πολλαπλασιάζουμε τους δεκαδικούς αριθμούς. Απομένει να προσθέσετε τους "μετατοπισμένους" αριθμούς, λαμβάνοντας υπόψη τη βάση των αριθμών, στην περίπτωση αυτή δυαδικό.

μετατρέψτε το αποτέλεσμα που προκύπτει σε βάση 16.

Στο δεύτερο ψηφίο, το 29 αντιπροσωπεύεται ως 16 (βάση) και 13 (D). Αντικαταστήστε το 16 (βάση) με το 1 και προσθέστε το στο πιο σημαντικό bit.

Στο τρίτο ψηφίο 96 + 1 = 97. Στη συνέχεια, το 97 αντιπροσωπεύεται ως 6,16 (βάση) και 1. Προσθέστε το 6 στο πιο σημαντικό ψηφίο.

Στο τέταρτο ψηφίο, 20 + 6 = 26. Ας αντιπροσωπεύσουμε 26 ως 16 (βάση) και 10 (Α). Μεταφέρουμε τη μονάδα στην πιο σημαντική κατηγορία.

Με ορισμένες δεξιότητες στην εργασία με διάφορα συστήματα αριθμών, το ρεκόρ θα μπορούσε να αναπαρασταθεί αμέσως ως

		ΕΝΑ
		σι	σι
	ΕΝΑ		ρε

Έτσι A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 - 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 1100111 2 = 10100100001010 2.

Από την άποψη της μελέτης των αρχών αναπαράστασης και επεξεργασίας πληροφοριών σε έναν υπολογιστή, τα συστήματα που συζητούνται (δυαδικά, οκταδικά και δεκαεξαδικά) παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον, αν και ο υπολογιστής επεξεργάζεται δεδομένα που μετατρέπονται μόνο σε δυαδικό κώδικα (σύστημα δυαδικών αριθμών) . Ωστόσο, συχνά προκειμένου να μειωθεί ο αριθμός των χαρακτήρων που είναι γραμμένοι σε χαρτί ή που έχουν εισαχθεί από ένα πληκτρολόγιο υπολογιστή, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείτε οκταδικούς ή δεκαεξαδικούς αριθμούς, ειδικά επειδή, όπως θα φανεί παρακάτω, η διαδικασία αμοιβαίας μετάφρασης αριθμών από καθένα από αυτά τα συστήματα σε δυαδικά είναι πολύ απλή - πολύ απλούστερες μεταφράσεις μεταξύ οποιουδήποτε από αυτά τα τρία συστήματα και δεκαδικού.

Αντιπροσωπεύουμε τους αριθμούς διαφορετικών αριθμητικών συστημάτων, αντίστοιχα, μεταξύ τους:

Δεκαδικός	Δεκαεξαδικό	Οκτάεδρος	Δυάδικος
	ΕΝΑ
	σι
	ντο
	ρε
	μι
	φά

Ο πίνακας δείχνει ότι οι αριθμοί του συστήματος με βάση 2, 8 και 16 έχουν περιοδικά μοτίβα. Έτσι, οκτώ τιμές του οκταδικού συστήματος, δηλαδή (από 0 έως 7 ή πλήρης βάση) αντιστοιχούν σε τρία ψηφία ( τριάδες) του δυαδικού συστήματος. Έτσι, για να περιγράψουμε τους αριθμούς ενός ψηφίου του οκταδικού συστήματος, απαιτούνται ακριβώς τρία ψηφία του δυαδικού. Ομοίως με δεκαεξαδικούς αριθμούς. Μόνο για την περιγραφή τους απαιτείται ακριβώς τέσσερα ψηφία ( τετράδες) του δυαδικού συστήματος.

Ακολουθεί ότι για να μετατρέψετε οποιονδήποτε δυαδικό ακέραιο σε οκταδικό, είναι απαραίτητο να τον χωρίσετε από δεξιά προς τα αριστερά σε ομάδες 3 ψηφίων (η αριστερότερη ομάδα μπορεί να περιέχει λιγότερα από τρία δυαδικά ψηφία) και, στη συνέχεια, να αντιστοιχίσετε κάθε ομάδα στο οκταδικό της ισοδύναμο.

Για παράδειγμα, θέλετε να μεταφράσετε το 11011001 2 στο οκταδικό σύστημα.

Διαιρούμε τον αριθμό σε ομάδες τριών ψηφίων 011 2, 011 2 και 001 2. Αντικαταστήστε τους αντίστοιχους αριθμούς στο οκταδικό σύστημα. Παίρνουμε 3 8, 3 8 και 1 8 ή 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

Οι αντίστροφες μεταφορές πραγματοποιούνται με τον ίδιο τρόπο, για παράδειγμα:

Μετατρέψτε το AB5D 16 σε δυαδικό συμβολισμό.

Αντικαθιστούμε κάθε χαρακτήρα του αριθμού AB5D 16 με τη σειρά του με τον αντίστοιχο αριθμό από το δυαδικό σύστημα. Παίρνουμε 1010 16, 1011 16, 0101 16 και 1101 16 ή 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2.

Εκτός από τα συστήματα αριθμού θέσης που συζητήθηκαν παραπάνω, υπάρχουν εκείνα στα οποία η έννοια του σημείου δεν εξαρτάται από τη θέση που καταλαμβάνει στον αριθμό. Αυτά τα αριθμητικά συστήματα ονομάζονται μη-θέση... Το πιο διάσημο παράδειγμα ενός μη τοποθετημένου συστήματος είναι ρωμαϊκός... Αυτό το σύστημα χρησιμοποιεί 7 χαρακτήρες (I, V, X, L, C, D, M), οι οποίοι αντιστοιχούν στις ακόλουθες τιμές:

Κανόνες για τη σύνταξη αριθμών με λατινικούς αριθμούς: - εάν ένα μεγάλο ψηφίο βρίσκεται μπροστά από ένα μικρότερο, τότε προστίθενται (η αρχή της προσθήκης), - εάν ένα μικρότερο ψηφίο βρίσκεται μπροστά από ένα μεγαλύτερο, τότε το μικρότερο αφαιρείται από το μεγαλύτερο (το αρχή της αφαίρεσης).

Ο δεύτερος κανόνας εφαρμόζεται για να αποφευχθεί η επανάληψη του ίδιου αριθμού τέσσερις φορές. Έτσι, οι λατινικοί αριθμοί I, X, C τοποθετούνται αντίστοιχα μπροστά από τα X, C, M για να ορίσουν τα 9, 90, 900 ή πριν από τα V, L, D για να ορίσουν 4, 40, 400

Παραδείγματα γραφής αριθμών με λατινικούς αριθμούς:

IV = 5 - 1 = 4 (αντί για IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (αντί για XVIIII),

XL = 50 - 10 = 40 (αντί για XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 κ.λπ.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η απόδοση είναι ακόμη απλή αριθμητικές πράξειςΟι αριθμοί πολλαπλών ψηφίων με λατινικούς αριθμούς είναι πολύ άβολοι. Πιθανώς, η πολυπλοκότητα των υπολογισμών στο ρωμαϊκό σύστημα, με βάση τη χρήση λατινικών γραμμάτων, έγινε ένας από τους επιτακτικούς λόγους για την αντικατάστασή του με ένα πιο βολικό δεκαδικό σύστημα από αυτή την άποψη.

3.1 Η βάση του αριθμητικού συστήματος ονομάζεται ...

Ένα σύνολο τεχνικών και κανόνων για τη σύνταξη αριθμών σε ψηφιακά σήματα ή σύμβολα

Ο αριθμός των χαρακτήρων που χρησιμοποιούνται σε ένα συγκεκριμένο σύστημα αριθμού θέσης

Το Divisor χρησιμοποιείται κατά τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Κοινός παράγοντας κατά τη μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

3.2 Ποιο σύστημα αριθμών δεν χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνολογία υπολογιστών

Οκτάεδρος

Δυάδικος

Πενταπλούς

Δεκαεξαδικό

Αριθμητικές πράξεις σε συστήματα αριθμού θέσης

Οι αριθμητικές λειτουργίες σε όλα τα συστήματα αριθμού θέσης εκτελούνται σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες που είναι γνωστοί σε εσάς.

Πρόσθεση.Εξετάστε την προσθήκη αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Βασίζεται στον πίνακα προσθήκης δυαδικών αριθμών ενός bit:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Είναι σημαντικό να δοθεί προσοχή στο γεγονός ότι όταν προστίθενται δύο μονάδες, προκύπτει υπερχείλιση εκφόρτισης και πραγματοποιείται μεταφορά στο πιο σημαντικό κομμάτι. Η υπερχείλιση του ψηφίου συμβαίνει όταν η τιμή του αριθμού σε αυτήν γίνεται ίση ή μεγαλύτερη από τη βάση.

Η προσθήκη δυαδικών δυαδικών αριθμών πραγματοποιείται σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα προσθήκης, λαμβάνοντας υπόψη πιθανές μεταφορές από τα λιγότερο σημαντικά bit στα πιο σημαντικά. Για παράδειγμα, προσθέστε τους δυαδικούς αριθμούς 110 2 και 11 2 σε μια στήλη:

Ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών προσθέτοντας στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας μετατρέψουμε τους δυαδικούς αριθμούς στο σύστημα δεκαδικών αριθμών και στη συνέχεια προσθέστε τους:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Τώρα ας μετατρέψουμε το αποτέλεσμα της δυαδικής προσθήκης σε δεκαδικό αριθμό:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα - η προσθήκη έγινε σωστά.

Αφαίρεση.Εξετάστε την αφαίρεση των δυαδικών αριθμών. Βασίζεται σε έναν πίνακα αφαίρεσης για δυαδικούς αριθμούς ενός bit. Κατά την αφαίρεση από έναν μικρότερο αριθμό (0) έναν μεγαλύτερο (1), ένα δάνειο γίνεται από το πιο σημαντικό bit. Στον πίνακα, το δάνειο ορίζεται 1 με γραμμή:

Πολλαπλασιασμός.Ο πολλαπλασιασμός βασίζεται στον πίνακα πολλαπλασιασμού δυαδικών αριθμών ενός bit:

Διαίρεση.Η λειτουργία διαίρεσης εκτελείται σύμφωνα με έναν αλγόριθμο παρόμοιο με τον αλγόριθμο για την εκτέλεση της λειτουργίας διαίρεσης σε δεκαδικά ψηφία. Για παράδειγμα, ας διαιρέσουμε τον δυαδικό αριθμό 110 2 με 11 2:

Για να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις σε αριθμούς που εκφράζονται σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, πρέπει πρώτα να τις μεταφράσετε στο ίδιο σύστημα.

Καθήκοντα

1.22. Πραγματοποιήστε την προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση δυαδικών αριθμών 1010 2 και 10 2 και ελέγξτε την ορθότητα των αριθμητικών πράξεων χρησιμοποιώντας ηλεκτρονική αριθμομηχανή.

1.23. Προσθέστε οκταδικούς αριθμούς: 5 8 και 4 8, 17 8 και 41 8.

1.24. Αφαιρέστε τους δεκαεξαδικούς αριθμούς: F 16 και A 16, 41 16 και 17 16.

1.25. Προσθέστε αριθμούς: 17 8 και 17 16, 41 8 και 41 16

Σημείωση:
Μπορείτε να εκτελέσετε ενέργειες μόνο σε ένα σύστημα αριθμών, εάν σας δοθεί διαφορετικά συστήματααριθμούς, μεταφράστε πρώτα όλους τους αριθμούς σε ένα σύστημα αριθμών
Εάν εργάζεστε με ένα σύστημα αριθμών του οποίου η βάση είναι μεγαλύτερη από 10 και έχετε ένα γράμμα στο παράδειγμά σας, αντικαταστήστε το διανοητικά με έναν αριθμό στο δεκαδικό σύστημα, εκτελέστε τις απαραίτητες λειτουργίες και μετατρέψτε το αποτέλεσμα πίσω στο αρχικό σύστημα αριθμών

Πρόσθεση:
Όλοι θυμούνται πώς μέσα δημοτικό σχολείομάθαμε να στοιβάζουμε με μια στήλη, να εκφορτώνουμε με εκφόρτιση Εάν, κατά την προσθήκη στο ψηφίο, ελήφθη ένας αριθμός μεγαλύτερος από 9, αφαιρέσαμε 10 από αυτό, το αποτέλεσμα καταγράφηκε στην απάντηση και 1 προστέθηκε στο επόμενο ψηφίο. Από αυτό, μπορεί να διατυπωθεί ένας κανόνας:

1. Είναι πιο βολικό να διπλώνετε "σε μια στήλη"
2. Προσθέτοντας δεξιόστροφα, εάν το ψηφίο στο ψηφίο> είναι μεγαλύτερο από το μεγαλύτερο ψηφίο του αλφαβήτου του δεδομένου συστήματος αριθμών, αφαιρέστε τη βάση του συστήματος αριθμών από αυτόν τον αριθμό.
3. Το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι γραμμένο στην επιθυμητή κατηγορία.
4. Προσθέστε ένα στο επόμενο ψηφίο

Παράδειγμα:

Προσθέστε 1001001110 και 100111101 στην δυαδική σημειογραφία

1001001110

100111101

1110001011

Απάντηση: 1110001011

Προσθέστε F3B και 5A δεκαεξαδικό

FE0

Απάντηση: FE0

Αφαίρεση: Όλοι θυμούνται πώς στο δημοτικό σχολείο μάθαμε να αφαιρούμε μια στήλη από μια κατηγορία. Εάν, κατά την αφαίρεση του ψηφίου, ελήφθη ένας αριθμός μικρότερος από 0, τότε "καταλάβαμε" ένα από το πιο σημαντικό ψηφίο και προσθέσαμε 10 στο επιθυμητό ψηφίο, αφαιρέσαμε το επιθυμητό από τον νέο αριθμό. Από αυτό, μπορεί να διατυπωθεί ένας κανόνας:

1. Είναι πιο βολικό να αφαιρέσετε "σε μια στήλη"
2. Αφαίρεση δεξιόστροφα εάν το ψηφίο είναι στο ψηφίο< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Αφαίρεση

Παράδειγμα:

Αφαιρέστε το 100111101 από το 1001001110 σε δυαδικό συμβολισμό

1001001110

100111101

100010001

Απάντηση: 100010001

Αφαιρέστε το δεκαεξαδικό 5Α από το F3B

Δ96

Απάντηση: D96

Το πιο σημαντικό, μην ξεχνάτε το γεγονός ότι έχετε στη διάθεσή σας μόνο τα ψηφία αυτού του αριθμητικού συστήματος, απλώς μην ξεχνάτε τις μεταβάσεις μεταξύ των όρων του ψηφίου.
Πολλαπλασιασμός:

Ο πολλαπλασιασμός σε άλλα συστήματα αριθμών είναι ακριβώς ο ίδιος με τον πολλαπλασιασμό.

1. Είναι πιο βολικό να πολλαπλασιάζετε με "στήλη"
2. Ο πολλαπλασιασμός σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών ακολουθεί τους ίδιους κανόνες όπως στο δεκαδικό. Αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο το αλφάβητο, δεδομένο σύστημαυπολογισμός

Παράδειγμα:

Δυαδικό πολλαπλασιάστε 10111 με 1101

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Απάντηση: 100101011

Πολλαπλασιάστε το F3B με το Α σε δεκαεξαδική σημειογραφία

F3B

984Ε

Απάντηση: 984E

Απάντηση: 984E

Το πιο σημαντικό, μην ξεχνάτε το γεγονός ότι έχετε στη διάθεσή σας μόνο τα ψηφία αυτού του αριθμητικού συστήματος, απλώς μην ξεχνάτε τις μεταβάσεις μεταξύ των όρων του ψηφίου.

Διαίρεση:

Η διαίρεση σε άλλα αριθμητικά συστήματα είναι ακριβώς η ίδια με τη διαίρεση.

1. Είναι πιο βολικό να διαιρείται με "στήλη"
2. Η διαίρεση σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών ακολουθεί τους ίδιους κανόνες όπως στο δεκαδικό. Αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο το αλφάβητο που δίνεται από το σύστημα αριθμών.

Παράδειγμα:

Διαιρέστε το 1011011 με δυαδικό 1101

διαιρέστε ΣΤ 3 Β στον αριθμό 8 δεκαεξαδικό

Το πιο σημαντικό, μην ξεχνάτε το γεγονός ότι έχετε στη διάθεσή σας μόνο τα ψηφία αυτού του αριθμητικού συστήματος, απλώς μην ξεχνάτε τις μεταβάσεις μεταξύ των όρων του ψηφίου.

ΜΗ ΘΕΤΙΚΑ

Μη αριθμητικά συστήματα θέσης

Τα μη αριθμητικά συστήματα αριθμών ήταν ιστορικά τα πρώτα που εμφανίστηκαν. Σε αυτά τα συστήματα, η έννοια κάθε ψηφιακού συμβόλου είναι σταθερή και δεν εξαρτάται από τη θέση του. Η απλούστερη περίπτωση ενός συστήματος μη θέσης είναι η μονάδα, για την οποία ένα μόνο σύμβολο χρησιμοποιείται για να δηλώσει αριθμούς, κατά κανόνα είναι μια γραμμή, μερικές φορές μια τελεία, η οποία τοποθετείται πάντα στον αριθμό που αντιστοιχεί στον αριθμό που δηλώνεται:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| κ.λπ.

Επομένως, αυτός ο μοναδικός χαρακτήρας έχει σημασία μονάδες, από τον οποίο ο απαιτούμενος αριθμός λαμβάνεται με διαδοχική προσθήκη:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Μια τροποποίηση ενός συστήματος μονάδας είναι ένα σύστημα με βάση, στο οποίο υπάρχουν σύμβολα όχι μόνο για τον προσδιορισμό μιας μονάδας, αλλά και για τους βαθμούς βάσης. Για παράδειγμα, εάν η βάση είναι 5, τότε θα υπάρχουν πρόσθετα σύμβολα για την ένδειξη 5, 25, 125 και ούτω καθεξής.

Ένα παράδειγμα ενός τέτοιου συστήματος με βάση 10 είναι το αρχαίο αιγυπτιακό, το οποίο εμφανίστηκε στο δεύτερο μισό της τρίτης χιλιετίας π.Χ. Αυτό το σύστημα είχε τα ακόλουθα ιερογλυφικά:

• πόλοι - μονάδες,
• τόξα - δεκάδες,
• φύλλο φοίνικα - εκατοντάδες,
• λουλούδι λωτού - χιλιάδες.

Οι αριθμοί αποκτήθηκαν με απλή προσθήκη, η παραγγελία θα μπορούσε να είναι οποιαδήποτε. Έτσι, για να ορίσουμε, για παράδειγμα, τον αριθμό 3815, σχεδιάστηκαν τρία άνθη λωτού, οκτώ φύλλα φοίνικα, ένα τόξο και πέντε πόλοι. Πιο περίπλοκα συστήματα με επιπρόσθετες πινακίδες - τα παλιά ελληνικά, ρωμαϊκά. Το Roman χρησιμοποιεί επίσης ένα στοιχείο του συστήματος θέσης - ένας μεγάλος αριθμός μπροστά από έναν μικρότερο προστίθεται, ένας μικρότερος μπροστά από έναν μεγαλύτερο αφαιρείται: IV = 4, αλλά VI = 6, ωστόσο, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται αποκλειστικά για να δηλώσουν τους αριθμούς 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 και τα παράγωγά τους με προσθήκη.

Τα νέα ελληνικά και παλαιά ρωσικά συστήματα χρησιμοποίησαν 27 γράμματα του αλφαβήτου ως αριθμούς, όπου όριζαν κάθε αριθμό από το 1 έως το 9, καθώς και δεκάδες και εκατοντάδες. Αυτή η προσέγγιση κατέστησε δυνατή την εγγραφή αριθμών από το 1 έως το 999 χωρίς την επανάληψη αριθμών.

Στο παλιό ρωσικό σύστημα, χρησιμοποιήθηκαν ειδικά πλαίσια γύρω από τους αριθμούς για να δείξουν μεγάλους αριθμούς.

Ως σύστημα λεκτικής αρίθμησης, το μη εντοπισμό εξακολουθεί να χρησιμοποιείται σχεδόν παντού. Τα λεκτικά συστήματα αρίθμησης συνδέονται στενά με τη γλώσσα και τα κοινά τους στοιχεία σχετίζονται κυρίως με τις γενικές αρχές και τα ονόματα μεγάλων αριθμών (τρισεκατομμύρια και άνω). Οι γενικές αρχές που διέπουν τη σύγχρονη λεκτική αρίθμηση είναι επιβλαβείς για το σχηματισμό των ονομασιών προσθέτοντας και πολλαπλασιάζοντας τις έννοιες των μοναδικών ονομάτων.

| Πληροφορική και τεχνολογίες πληροφοριών και επικοινωνιών | Σχεδιασμός μαθημάτων και υλικό μαθήματος | 10 τάξεις | Προγραμματισμός μαθημάτων για το ακαδημαϊκό έτος (FSES) | Αριθμητικές πράξεις σε συστήματα αριθμού θέσης

Μάθημα 15
§12. Αριθμητικές πράξεις σε συστήματα αριθμού θέσης

Αριθμητικές πράξεις σε συστήματα αριθμού θέσης

Αριθμητικές λειτουργίες σε συστήματα ακτίνας θέσης εεκτελούνται σύμφωνα με τους κανόνες παρόμοιους με αυτούς του συστήματος δεκαδικών αριθμών.

Στο δημοτικό σχολείο, οι πίνακες προσθήκης και πολλαπλασιασμού χρησιμοποιούνται για να διδάξουν στα παιδιά πώς να μετράνε. Παρόμοιοι πίνακες μπορούν να καταρτιστούν για οποιοδήποτε σύστημα αριθμού θέσης.

12.1. Προσθήκη αριθμών στη βάση q

Εξετάστε παραδείγματα πινάκων προσθήκης σε τριμερή (Πίνακας 3.2), οκταδικά (Πίνακας 3.4) και δεκαεξαδικά (Πίνακας 3.3) αριθμητικά συστήματα.

Πίνακας 3.2

Τερματική προσθήκη

Πίνακας 3.3

Δεκαεξαδική προσθήκη

Πίνακας 3.4

Οκταλ προσθήκη

επάρτε το ποσό μικρόδύο αριθμοί ΑΛΛΑκαι σι, είναι απαραίτητο να συνοψίσουμε τα ψηφία που τα σχηματίζουν με τα ψηφία Εγώαπό δεξιά προς τα αριστερά:

Εάν ένα i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
Αν ένα i + b i ≥ q, τότε s i = a i + b i - q, το πιο σημαντικό (i + 1) th bit αυξάνεται κατά 1.

Παραδείγματα:

12.2. Αφαίρεση αριθμών στη βάση q

Έτσι σε ακτίνα επάρτε τη διαφορά Ρδύο αριθμοί ΑΛΛΑκαι ΣΕ, είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε τις διαφορές των ψηφίων που τα σχηματίζουν με τα ψηφία Εγώαπό δεξιά προς τα αριστερά:

Εάν a ≥ b i, τότε r i = a i - b i, το πιο σημαντικό (i + 1) th bit δεν αλλάζει.
αν ένα i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).