Opérations arithmétiques dans divers art. Division. Contrôle des devoirs

Pour travailler avec des données, utilisez codage, c'est à dire. expression de données d'un type à travers des données d'un autre type.

Le système existe aussi en informatique - on l'appelle codage binaire et repose sur la représentation des données par une séquence de deux caractères seulement : 0 et 1. Ces caractères sont appelés chiffres binaires, en anglais - chiffre binaire ou, en bref, peu (peu).

Deux concepts peuvent être exprimés avec un bit : 0 ou 1 (Oui ou non, noir ou blanc, vrai ou Couché etc.). Si le nombre de bits est porté à deux, alors quatre concepts différents peuvent déjà être exprimés :

Huit valeurs différentes peuvent être codées avec trois bits : 000 001 010 011 100 101 110 111

En augmentant de un le nombre de bits dans le système de codage binaire, on double le nombre de valeurs qui peuvent être exprimées dans ce système, c'est-à-dire que la formule générale est :

N = 2 m, où:

N - nombre de valeurs codées indépendantes ;

T- largeur de codage binaire, adoptée dans ce système.

Puisqu'un bit est une unité de mesure trop petite, en pratique, une unité plus grande est souvent utilisée - un octet, égal à huit bits.

Des unités de données dérivées plus grandes sont également utilisées :

Kilooctet (Ko) = 1024 octets = 2 10 octets ;

Mégaoctet (Mo) = 1024 Ko = 2 20 octets ;

Gigaoctet (Go) = 1024 Mo = 2 30 octets.

V Ces derniers temps dans le cadre de l'augmentation du volume de données traitées, des unités dérivées telles que :

Téraoctet (To) = 1024 Go = 2 40 octets ;

Pétaoctets (Po) = 1024 To = 2 50 octets ;

Exaoctet (Eoctet) = 1024 Po = 2 60 octets.

Codage informations textuelles est produit à l'aide du code standard américain pour l'échange d'informations ASCII, dans lequel les codes de caractères sont définis de 0 à 127. Les normes nationales allouent 1 octet d'informations pour un caractère et comprennent une table de codes ASCII, ainsi que des codes d'alphabets nationaux avec des nombres de 128 à 255. Il existe actuellement cinq codages cyrilliques différents : KOI-8, MS-DOS, Windows, Macintosh et ISO. À la fin des années 90, un nouveau standard international Unicode est apparu, qui alloue non pas un octet, mais deux octets pour chaque caractère, et peut donc être utilisé pour coder non pas, mais des caractères différents.

Tableau de codage de base ASCII est donné dans le tableau.

Code de couleurs images graphiques produit à l'aide d'un raster, où chaque point est associé à son numéro de couleur. Dans le système de codage RVB, la couleur de chaque point est représentée par la somme du rouge (Rouge), du vert (Vert) et du bleu (Bleu). Dans le système de codage CMJN, la couleur de chaque point est représentée par la somme du cyan, du magenta, du jaune et de l'ajout du noir (K).

Codage des signaux analogiques

Historiquement, la première forme technologique de réception, de transmission et de stockage de données était la représentation analogique (continue) d'un signal sonore, optique, électrique ou autre. Pour recevoir de tels signaux dans un ordinateur, une conversion analogique-numérique est d'abord effectuée.

La conversion analogique-numérique consiste à mesurer un signal analogique à intervalles réguliers et à coder le résultat de la mesure avec un mot binaire de n bits. Dans ce cas, on obtient une séquence de mots binaires de n bits, représentant un signal analogique avec une précision donnée.

La norme CD actuellement acceptée utilise ce que l'on appelle « l'audio 16 bits avec un taux de balayage de 44 kHz ». Pour la figure donnée, traduite en langage normal, cela signifie que la "longueur de pas" (t) est égale à 1/44000 s, et la "hauteur de pas" (δ) est de 1/65 536 de la sonie maximale du signal (puisque 2 16 = 65 536) ... Dans ce cas, la plage de fréquences de reproduction est de 0 à 22 kHz et la plage dynamique de 96 décibels (ce qui est une caractéristique de qualité totalement inaccessible pour l'enregistrement sonore magnétique ou mécanique).

Compression de données.

Le volume de données traitées et transmises augmente rapidement. Cela est dû à la mise en œuvre de processus applicatifs de plus en plus complexes, à l'émergence de nouveaux services d'information, à l'utilisation de l'image et du son.

Compression de données (compression de données)- un processus de réduction de la quantité de données. La compression peut réduire considérablement la quantité de mémoire requise pour le stockage des données et réduire (à une taille acceptable) le temps de transfert des données. La compression d'image est particulièrement efficace. La compression des données peut être effectuée à la fois par logiciel et par matériel ou par une méthode combinée.

La compression des textes est associée à une mise en page plus compacte octets, encodage des caractères. Il utilise également un compteur de répétition d'espace. Quant au son et aux images, la quantité d'informations qui les représente dépend du pas de quantification choisi et du nombre de bits de conversion analogique-numérique. Fondamentalement, il utilise les mêmes méthodes de compression que pour le traitement de texte. Si la compression des textes s'effectue sans perte d'informations, la compression du son et des images entraîne presque toujours une certaine perte d'informations. La compression est largement utilisée dans l'archivage de données.

Notation- représentation d'un nombre par un ensemble spécifique de caractères. Les systèmes de nombres sont :

1. Unique (système de tags ou de bâtons) ;

2. Non positionnel (Romain);

3. Positionnel (décimal, binaire, octal, hexadécimal, etc.).

Positionnel est un système numérique dans lequel la valeur quantitative de chaque chiffre dépend de sa place (position) dans le nombre. La base Le système de numération positionnelle est un entier élevé à une puissance égale au nombre de chiffres de ce système.

Le système de nombres binaires comprend un alphabet de deux nombres : 0 et 1.

Le système de nombre octal comprend un alphabet de 8 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7.

Le système de nombres décimaux comprend un alphabet de 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Le système de nombres hexadécimaux comprend un alphabet à 16 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.


			A B C D E F

En informatique, le codage est utilisé dans le système de nombres binaires, c'est-à-dire séquence 0 et 1.

Pour convertir un entier d'un système numérique à un autre, vous devez exécuter l'algorithme suivant :

1. La base du nouveau système de numérotation est exprimée par les numéros du système de numérotation d'origine.

2. Effectuez consécutivement la division du nombre donné par la base du nouveau système de nombres jusqu'à ce que le quotient soit inférieur au diviseur.

3. Les soldes résultants doivent être transférés vers le nouveau système de numérotation.

4. Faites un nombre à partir des restes de nouveau système compter à partir du dernier reste.

Dans le cas général, dans un SS positionnel de base P, tout nombre X peut être représenté comme un polynôme de base P :

X = un n P n + un n-1 P n-1 +… + un 1 P 1 + un o P 0 + un -1 P -1 + un -2 P -2 +… + un -m P -m,

où les coefficients a i peuvent être n'importe lequel des P chiffres utilisés dans le CC avec la base P.

La conversion des nombres de 10 SS à n'importe quel autre pour les parties entières et fractionnaires du nombre est effectuée par différentes méthodes :

a) la partie entière du nombre et les quotients intermédiaires sont divisés par la base du nouveau SS, exprimé en 10 SS jusqu'à ce que le quotient de la division devienne inférieur à la base du nouveau SS. Les actions sont effectuées en 10 SS. Le résultat est des quotients écrits dans l'ordre inverse.

b) la partie fractionnaire du nombre et les parties fractionnaires résultantes des produits intermédiaires sont multipliées par la base du nouveau SS jusqu'à ce que la précision spécifiée soit atteinte, ou "0" est obtenu dans la partie fractionnaire du produit intermédiaire. Le résultat est des parties entières de pièces intermédiaires, écrites dans l'ordre dans lequel elles ont été reçues.

À l'aide de la formule (1), vous pouvez convertir des nombres de n'importe quel système de nombres vers le système de nombres décimaux.

Exemple 1. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres binaires (SS) en SS décimal. Solution:

1 2 6 + 0 2 5 + 1 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125

Exemple 2. Convertir 1011101.001 du système de nombre octal (SS) en SS décimal. Solution:

Exemple 3... Convertissez le nombre AB572.CDF de la base hexadécimale en SS décimal. Solution:

Ici UNE-remplacé par 10, B- à 11 heures, C- à 12, F- par 15.

Conversion d'un nombre 8 (16) en forme 2 - il suffit de remplacer chaque chiffre de ce nombre par le nombre binaire correspondant à 3 bits (4 bits). Jetez les zéros inutiles dans les chiffres les plus significatifs et les moins significatifs.

Exemple 1 : Convertissez le nombre 305.4 8 en SS binaire.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Exemple 2 : convertir le nombre 9AF, 7 16 en CC binaire.

(_9 __ _UNE __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

Pour traduire le 2e nombre en 8 (16) SS, procédez comme suit : en partant de la virgule vers la gauche et la droite, divisez le nombre binaire en groupes de 3 (4) chiffres, en complétant les groupes extrêmes gauche et droite par des zéros si nécessaire . Ensuite, chaque groupe est remplacé par le chiffre octal (16) correspondant.

Exemple 1 : Convertissez le nombre 110100011110100111,1001101 2 en octal SS.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Exemple 2 : convertissez le nombre 110100011110100111,1001101 2 en SS hexadécimal.

0011 0100 0111 1010 0111.1001 1010 2 = 347A7.9A 16

Opérations arithmétiques dans tous les systèmes positionnels, les nombres sont exécutés selon les mêmes règles que vous connaissez bien.

Une addition. Considérez l'ajout de nombres dans le système de nombres binaires. Il est basé sur la table d'addition de nombres binaires à un bit :

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Il est important de faire attention au fait que lorsque deux unités sont ajoutées, un débordement de décharge se produit et un transfert est effectué sur le bit de poids fort. Le débordement du chiffre se produit lorsque la valeur du nombre qu'il contient devient égale ou supérieure à la base.

L'addition de nombres binaires à plusieurs chiffres se fait conformément à la table d'addition ci-dessus, en tenant compte des transferts possibles des bits les moins significatifs vers les plus significatifs. A titre d'exemple, ajoutez les nombres binaires 110 2 et 11 2 dans une colonne :

Soustraction. Considérez la soustraction de nombres binaires. Il est basé sur une table de soustraction pour les nombres binaires à un bit. En soustrayant d'un nombre plus petit (0) un nombre plus grand (1), un prêt est effectué à partir du bit le plus significatif. Dans le tableau, le prêt est désigné 1 avec une ligne :

Multiplication. La multiplication est basée sur la table de multiplication de nombres binaires à un bit :

Division. L'opération de division est effectuée selon un algorithme similaire à l'algorithme pour effectuer l'opération de division en notation décimale. A titre d'exemple, divisons le nombre binaire 110 2 par 11 2:

Pour opérations arithmétiques sur des nombres exprimés dans différents systèmes numériques, vous devez d'abord les traduire dans le même système.

En plus du nombre décimal, il existe un nombre incommensurable d'autres systèmes, dont certains sont utilisés pour représenter et traiter des informations dans un ordinateur. Il existe deux types de systèmes numériques : positionnels et non positionnels.

Les systèmes non positionnels sont ceux dans lesquels chaque chiffre conserve sa signification quel que soit son emplacement dans le nombre. Un exemple est le système de chiffres romains, qui utilise des nombres tels que I, V, X, L, C, D, M, etc.

Positionnel les systèmes de nombres sont appelés dans lesquels la valeur de chaque chiffre dépend de son emplacement. Le système positionnel est caractérisé par la base du calcul, qui sera compris comme un tel nombre £, qui montre combien d'unités de n'importe quelle catégorie sont nécessaires pour obtenir une unité de l'ordre le plus élevé.

Par exemple, vous pouvez écrire

Ce qui correspond aux nombres en notation décimale

L'indice ci-dessous indique la base du nombre.

Pour transférer des nombres positifs, d'un système numérique à un autre, deux règles sont connues :

Traduire les numéros du système , dans le système ;

Traduire les numéros du système , dans le système en utilisant l'arithmétique du système ;

Considérez la première règle . Disons un nombre en décimal doit être représenté en binaire ... Pour ce faire, ce nombre est divisé par la base du système représenté dans le système , c'est à dire. par 2 10. Le reste de la division sera le bit le moins significatif du nombre binaire. La partie entière du résultat de la division est à nouveau divisible par 2. Répétez l'opération de division autant de fois jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à deux.

Exemple : convertir 89 10 en binaire en utilisant l'arithmétique décimale

89 10 → 1011001 2

La traduction inverse, selon la même règle, est la suivante :

1011001 2 convertir en décimal en utilisant l'arithmétique binaire

Les nombres binaires 1000 et 1001 selon le tableau 2.1 sont respectivement égaux à 8 et 9. Donc, 1011001 2 → 89 10

Parfois, la traduction inverse est plus pratique à effectuer en utilisant la règle générale pour représenter un nombre dans n'importe quel système numérique.

Considérons la deuxième règle. Traduire les numéros du système , dans le système en utilisant l'arithmétique du système ... Pour effectuer un transfert, vous avez besoin de chaque chiffre d'un numéro dans le système multiplier par la base du système de nombres représenté dans le système numérique et au pouvoir de la position de ce nombre. Après cela, les travaux résultants sont résumés.

Opérations arithmétiques et logiques

Opérations arithmétiques

Considérez l'arithmétique du système de nombres binaires, car c'est elle qui est utilisée dans les ordinateurs modernes pour les raisons suivantes :

Il y a les éléments physiques les plus simples qui n'ont que deux états et qui peuvent être interprétés comme 0 et 1 ;

Le traitement arithmétique est très simple.

Les nombres octaux et hexadécimaux sont couramment utilisés pour remplacer les nombres binaires longs et donc maladroits.

Les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication dans le système binaire sont les suivantes :

Comme déjà démontré précédemment, afin de se contenter d'un additionneur, c'est-à-dire de n'effectuer que des opérations d'addition, l'opération de soustraction est remplacée par une addition. Pour cela, le code d'un nombre négatif est formé en complément des nombres 2, 10, 100, etc.

Diverses opérations arithmétiques peuvent être effectuées sur des nombres écrits dans n'importe quel système numérique. Les règles pour effectuer ces opérations dans le système décimal sont bien connues - elles sont addition, soustraction, multiplication de colonnes et division par angle... Ces règles s'appliquent à tous les autres systèmes de numérotation positionnelle. Seul les tables d'addition et de multiplication doivent être utiliséesspécialpour chaque système.

Lors de l'addition, les nombres sont additionnés sur les chiffres, et si un excès se produit, il est alors transféré vers la gauche. L'addition et la multiplication de nombres binaires s'effectuent selon les règles :

Exemples avec des nombres binaires :

101001 101 10111 1100,01

1011 + 011 + 10110 - 0,10

110100 1000 101101 1011,11

Multiplication

Lors de la multiplication de nombres à plusieurs chiffres dans divers systèmes de nombres positionnels, vous pouvez utiliser l'algorithme habituel pour multiplier des nombres dans une colonne, mais les résultats de la multiplication et de l'addition de nombres à un chiffre doivent être empruntés aux tables de multiplication et d'addition correspondant au système à l'étude.

En raison de l'extrême simplicité de la table de multiplication dans le système binaire, la multiplication se réduit uniquement à des décalages du multiplicande et des additions.

00000 + 100111

11011 + 100111

11110011 101011010001

Division

La division dans n'importe quel système de nombre positionnel est effectuée selon les mêmes règles que la division par un angle dans le système décimal. Dans le système binaire, la division est particulièrement simple, car le chiffre suivant du quotient ne peut être que zéro ou un.

101001101 1001 − 333 9 11110 110

1001 100101 27 37 - 110 101

1001 1001000 1000

Les opérations arithmétiques avec des nombres dans les systèmes de nombres octaux et hexadécimaux sont effectuées par analogie avec les systèmes binaires et décimaux. Pour ce faire, vous devez utiliser les tables requises.

Le processeur ne sait pas effectuer directement l'opération de soustraction, il faut donc réduire la soustraction à l'addition en représentant le soustrait dans le code dit complémentaire. Considérons tout d'abord le code inversé du numéro. Par exemple, 1001 (numéro d'origine) et 0110 est le code inversé + 1 = le code complémentaire de 0111.

Celles. la soustraction en arithmétique binaire est l'addition du complément à deux soustrait. Par exemple, soustrayez 10 2 de 101 2

1) 10 2 = 010, son code inversé est 101

2) puis en augmentant le code inverse de 1 on obtient le code supplémentaire 110

110 (ou 5-2 = 3)

4) Notez que le report de l'ancien résultat signifie que le résultat est positif

Questions pour la maîtrise de soi

Qu'est-ce qu'on appelle un système de nombres ?

Quelle est la différence entre les systèmes de nombres positionnels et les systèmes non positionnels ?

Comment le processus d'encodage des informations est-il défini et pourquoi est-il nécessaire ?

Quelles unités de mesure de la quantité d'informations connaissez-vous ?

Pourquoi la représentation binaire de l'information fait-elle partie des principes de base des ordinateurs modernes ?

Convertir du binaire en décimal : 10100011 2 et 1101011 2.

Quelle est la base du système de numération positionnelle naturelle?

Quelles méthodes de transfert de numéros d'un système de numérotation à un autre connaissez-vous ?

Matériels supplémentaires

Exemple 1. Ajoutons les nombres 15 et 6 dans différents systèmes numériques.

Exemple 2. Additionnons les nombres 15, 7 et 3.

Hexadécimal : F 16 +7 16 +3 16

Réponse : 5 + 7 + 3 = 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 9 16.

Vérifier : 11001 2 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16 + 8 + 1 = 25, 31 8 = 3 * 8 1 + 1 * 8 0 = 24 + 1 = 25, 19 16 = 1 * 16 1 + 9 * 16 0 = 16 + 9 = 25.

Exemple 3. Additionnons les nombres 141,5 et 59,75.

Réponse : 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9.4 16

Examen. On transforme les sommes reçues sous forme décimale : 11001001.01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201.25 311.2 8 = 3 * 8 2 + 1 8 1 + 1 * 8 0 + 2 * 8 - 1 = 201,25 C9.4 16 = 12 * 16 1 + 9 * 16 0 + 4 * 16 -1 = 201,25

Addition et soustraction

Dans un système à base, les chiffres 0, 1, 2, ..., s - 1 sont utilisés pour désigner le zéro et les premiers nombres naturels c-1. Pour effectuer l'opération d'addition et de soustraction, une table d'addition à un chiffre est compilé.

Tableau 1 - Addition binaire

Par exemple, une table d'addition hexadécimale :

Tableau 2 - Addition sextuple

L'addition de deux nombres quelconques écrits dans le système de numération de base c est effectuée de la même manière que dans le système décimal, en chiffres, à partir du premier chiffre, en utilisant la table d'addition de ce système. Les nombres à additionner sont signés les uns après les autres de manière à ce que les nombres des mêmes chiffres se tiennent verticalement. Le résultat de l'addition est écrit sous la ligne horizontale sous les sommes des nombres. Tout comme lors de l'addition de nombres dans le système décimal, dans le cas où l'addition de chiffres dans n'importe quel chiffre donne un nombre à deux chiffres, le dernier chiffre de ce nombre est écrit dans le résultat, et le premier chiffre est ajouté au résultat de en ajoutant le chiffre suivant.

Par exemple,

Vous pouvez justifier la règle spécifiée pour l'ajout de nombres à l'aide de la représentation des nombres sous la forme :

Regardons un des exemples :

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Nous sélectionnons séquentiellement les termes en fonction du degré de la base 7, en commençant par le degré le plus bas, zéro.

La soustraction est également effectuée en chiffres, en partant du plus petit, et si le chiffre du réduit est inférieur au chiffre du soustrait, alors l'unité est "occupée" à partir du chiffre suivant du réduit, et le chiffre correspondant de le soustrait est soustrait du nombre à deux chiffres résultant ; lors de la soustraction des chiffres du chiffre suivant dans ce cas, vous devez réduire mentalement le chiffre à réduire de un, si ce chiffre s'avère être zéro (et alors sa réduction est impossible), alors vous devez "prendre" un de le chiffre suivant, puis diminuez de un. Il n'est pas nécessaire de compiler une table spéciale pour la soustraction, puisque la table d'addition donne les résultats de la soustraction.

Par exemple,

Multiplication et division

Pour effectuer les actions de multiplication et de division dans un système de base c, une table de multiplication pour les nombres à un chiffre est compilée.

Tableau 3 - Multiplication de nombres à un chiffre

Tableau 4 - Multiplication dans le système numérique hexadécimal

La multiplication de deux nombres arbitraires dans le système de base c est effectuée de la même manière que dans le système décimal - "colonne", c'est-à-dire que le multiplicateur est multiplié par le chiffre de chaque chiffre du facteur (séquentiellement) avec l'addition suivante de ces résultats intermédiaires.

Par exemple,

Lors de la multiplication de nombres à plusieurs chiffres dans des résultats intermédiaires, l'indice de base n'est pas mis :

La division dans les systèmes de base c est effectuée par un angle, de la même manière qu'en notation décimale. Dans ce cas, la table de multiplication et la table d'addition du système correspondant sont utilisées. La situation est plus compliquée si le résultat de la division n'est pas une fraction c-aire finie (ou un entier). Ensuite, lors de l'exécution d'une opération de division, il est généralement demandé de sélectionner la partie non périodique de la fraction et sa période. La possibilité d'effectuer l'opération de division dans le système de nombres c-aire est utile lors de la traduction de nombres fractionnaires d'un système de nombres à un autre.

Par exemple:

Conversion de nombres d'un système numérique à un autre

Il existe de nombreuses façons différentes de traduire des nombres d'un système numérique à un autre.

Méthode de division

Soit le nombre N = an an-1. ... ... a1 a0 p.

Pour obtenir un enregistrement du nombre N dans un système de base h, vous devez le représenter sous la forme :

N = bmhm + bm-1hm-1 + ... + b1h + b0 (1)

où 1

N = bmbm-1 ... b1boh (2)

De (1) on obtient :

N = (bmhm-1 + ... + b) * h + b0 = N1h + b0, où 0 ? b0?h (3)

C'est-à-dire que le chiffre b0 est le reste de la division du nombre N par le nombre h. Quotient incomplet Nl = bmhm-1 +. ... ... + b1 peut être représenté par :

Nl = (bmhm-2 + ... + b2) h + b1 = N2h + b1, où 0 ? b2?h (4)

Ainsi, le chiffre bi dans l'entrée (2) du nombre N est le reste de la division du premier quotient incomplet N1 par la base h du nouveau système numérique. Le deuxième quotient incomplet N2 peut être représenté par :

N2 = (bmhm-3 + ... + b3) h + b2, où 0 ? b2?h (5)

c'est-à-dire que le chiffre b2 est le reste de la division du deuxième quotient incomplet N2 par la base h du nouveau système. Puisque les quotients incomplets diminuent, ce processus est fini. Et puis nous obtenons Nm = bm, où bm

Nm-1 = bmh + bm.1 = Nmh + bm.1

Ainsi, la séquence de chiffres bm, bm-1. ... , b1, b0 dans la notation du nombre N en base h est la séquence des restes de la division séquentielle du nombre N par la base h, pris dans l'ordre inverse.

Prenons un exemple : Pour traduire le nombre 123 dans un système de nombres hexadécimal :

Ainsi, le nombre 12310 = 7 (11) 16 ou peut s'écrire 7B16

Écrivons le nombre 340227 dans le système de numération quintuple :

Ainsi, nous obtenons que 340227 = 2333315

Opérations arithmétiques dans les systèmes de nombres positionnels

Les opérations arithmétiques dans tous les systèmes de nombres positionnels sont effectuées selon les mêmes règles que vous connaissez bien.

Une addition. Considérez l'ajout de nombres dans le système de nombres binaires. Il est basé sur la table d'addition de nombres binaires à un bit :

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Vérifions l'exactitude des calculs en ajoutant le système de nombres décimaux. Convertissons les nombres binaires dans le système de nombres décimaux, puis ajoutons-les :

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Convertissons maintenant le résultat de l'addition binaire en un nombre décimal :

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Comparons les résultats - l'addition est faite correctement.

Multiplication. La multiplication est basée sur la table de multiplication de nombres binaires à un bit :

Pour effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres exprimés dans des systèmes numériques différents, vous devez d'abord les traduire dans le même système.

Tâches

1.22. Effectuer l'addition, la soustraction, la multiplication et la division des nombres binaires 1010 2 et 10 2 et vérifier l'exactitude des opérations arithmétiques à l'aide d'une calculatrice électronique.

1.23. Additionnez les nombres octaux : 5 8 et 4 8, 17 8 et 41 8.

1.24. Soustraire les nombres hexadécimaux : F 16 et A 16, 41 16 et 17 16.

1.25. Additionner des nombres : 17 8 et 17 16, 41 8 et 41 16