Sisteme numerice

Sistem numeric - un set de tehnici și reguli pentru scrierea numerelor în semne sau simboluri digitale.

Toate sistemele numerice pot fi împărțite în două clase: poziționalși non-pozițional... În clasa sistemelor de poziție, un număr de caractere diferite sunt utilizate pentru a scrie numere în diferite sisteme numerice. Numărul acestor caractere din sistemul numeric pozițional este numit baza sistemului numeric. Mai jos este un tabel care conține numele unor sisteme de numere poziționale și o listă de semne (numere) din care se formează numere în ele.

Unele sisteme numerice

Baza	Notaţie	Semne
	Binar	0,1
	Ternar	0, 1, 2
	Cuaternar	0, 1, 2, 3
	Cvintuplu	0, 1, 2, 3, 4
	Octal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	Zecimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Duodecimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
	Hexadecimal	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

În sistemul numeric pozițional, poziția relativă a cifrei din număr este atribuită unui factor de ponderare, iar numărul poate fi reprezentat ca suma produselor coeficienților prin gradul corespunzător al bazei sistemului numeric (factor de ponderare ):

A n A n - 1 A n - 2 ... A 1 A 0, A –1 A –2 ... =

A n B n + A n-1 B n-1 + ... + A 1 B 1 + A 0 B 0 + A –1 B –1 + A –2 B –2 + ...

(Semnul "," separă partea întreagă a numărului de partea fracțională. Astfel, semnificația fiecărui semn din număr depinde de poziția pe care o ocupă semnul în înregistrarea numerică. De aceea astfel de sisteme numerice sunt numite poziționale ).

Sistem de numere poziționale - un sistem în care valoarea unui număr este determinată de valorile cifrelor incluse în acesta și de poziția lor relativă în număr.

23,45 10 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 –1 + 5 ⋅ 10 –2 .

Indicele zecimal din partea de jos indică baza sistemului numeric.

692 10 = 6 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 + 2 ⋅ 10 0 ;

1101 2 = 1 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 1 + 1 ⋅ 2 0 = 13 10 ;

112 3 = 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 1 + 2 ⋅ 3 0 = 14 10 ;

341,5 8 = 3 ⋅ 8 2 + 4 ⋅ 8 1 + 1 ⋅ 8 0 + 5 ⋅ 8 –1 = 225,125 10 ;

A1F, 4 16 = A ⋅ 16 2 + 1 ⋅ 16 1 + F ⋅ 16 0 + 4 ⋅ 16 –1 = 2591,625 10.

Când lucrați cu computere, trebuie să utilizați mai multe sisteme de numere poziționale în paralel (cel mai adesea binare, zecimale, octale și hexazecimale), prin urmare, procedurile pentru conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul sunt de o mare importanță practică. Rețineți că în toate exemplele de mai sus, rezultatul este un număr zecimal și, prin urmare, a fost deja demonstrată o metodă de conversie a numerelor de la orice sistem numeric pozițional la zecimal.

În general, pentru a converti partea întreagă a unui număr din sistemul zecimal în sistemul de bază B, trebuie să îl împărțiți cu B. Restul va da cea mai mică cifră semnificativă a numărului. Cocientul obținut în acest caz trebuie împărțit din nou la B - restul va da următoarea cifră a numărului etc. Diviziunile continuă până când coeficientul este mai mic decât baza. Valorile reziduurilor rezultate, luate în ordine inversă, formează numărul binar dorit.

Un exemplu de traducere a unei părți întregi: Convertiți 25 10 în număr binar.

25/2 = 12 cu restul de 1,

12/2 = 6 cu restul de 0,

6/2 = 3 cu restul 0,

Părțile întregi și fracționare sunt traduse separat. Pentru a traduce partea fracționată, aceasta trebuie înmulțită cu B. Întreaga parte a produsului rezultat va fi primul semn (după virgula care separă întreaga parte de fracțional). Partea fracționată a produsului trebuie înmulțită din nou cu B. Întreaga parte a numărului rezultat va fi următorul semn etc.

Pentru a traduce partea fracționată (sau un număr cu numere întregi „0”), trebuie să o multiplicați cu 2. Întreaga parte a produsului va fi prima cifră a numărului din sistemul binar. Apoi, eliminând întreaga parte a rezultatului, înmulțim din nou cu 2 etc. Rețineți că fracția zecimală finală în acest caz poate deveni binară infinită (periodică).

Un exemplu de traducere a părții fracționate: Convertiți 0,73 10 în număr binar.

0,73 ⋅ 2 = 1,46 (întreaga parte 1),

0,46 ⋅ 2 = 0,92 (partea întreagă 0),

0,92 ⋅ 2 = 1,84 (întreaga parte 1),

0,84 ⋅ 2 = 1,68 (parte întreagă a 1) etc.

Astfel: 0,73 10 = 0,1011 2.

Diverse operații aritmetice pot fi efectuate pe numere scrise în orice sistem numeric. Operațiile aritmetice în toate sistemele de numere poziționale sunt efectuate în conformitate cu aceleași reguli bine cunoscute de dvs.

Luați în considerare adăugarea a două numere la baza zece:

Când se adaugă numerele 6 și 7, rezultatul poate fi reprezentat ca expresia 10 + 3, unde 10 este baza completă pentru sistemul numeric zecimal. Înlocuiți 10 (baza) cu 1 și înlocuiți în stânga numărului 3. Se va dovedi:

6 10 + 7 10 = 13 10 .

Luați în considerare adăugarea a două numere la baza opt:

Când se adaugă numerele 6 și 7, rezultatul poate fi reprezentat ca expresia 8 + 5, unde 8 este baza completă pentru sistemul de numere octale. Înlocuiți 8 (baza) cu 1 și înlocuiți în stânga numărului 5. Obținem:

6 8 + 7 8 = 15 8 .

Luați în considerare adăugarea a două numere mari la baza opt:

Adăugarea începe cu bitul cel mai puțin semnificativ. Deci, 4 8 + 6 8 este reprezentat ca 8 (bază) + 2. Înlocuiți 8 (bază) cu 1 și adăugați această unitate la cele mai semnificative cifre. Apoi, adăugați următoarele cifre: 5 8 + 3 8 + 1 8 este reprezentat ca 8 + 1, înlocuiți 8 (baza) cu 1 și adăugați-l la bitul cel mai semnificativ. Apoi, 2 8 + 7 8 + 1 8 este reprezentat ca 8 (bază) + 2, înlocuiți 8 (bază) cu 1 și înlocuiți în stânga numărului rezultat (în poziția celei mai semnificative cifre). Astfel, se dovedește:

254 8 + 736 8 = 1212 8 .

276 8 + 231 8 = 527 8 ,

4A77 16 + BF4 16 = 566B 16,

1100110 2 + 1100111 2 = 11001101 2 .

Alte operații aritmetice (scăderea, înmulțirea și împărțirea) sunt efectuate în același mod în diferite sisteme numerice.

Luați în considerare multiplicarea „coloană”, folosind exemplul a două numere din sistemul binar:

11101 2 101 2

Scriem numere unul sub celălalt, în conformitate cu cifrele. Apoi, efectuăm o înmulțire în biți a celui de-al doilea factor cu primul și îl scriem cu un decalaj la stânga, în același mod ca atunci când înmulțim numerele zecimale. Rămâne să adăugați numerele „deplasate”, ținând cont de baza numerelor, în acest caz binare.

transformă rezultatul rezultat la baza 16.

În a doua cifră, 29 este reprezentat ca 16 (bază) și 13 (D). Înlocuiți 16 (bază) cu 1 și adăugați-l la cel mai semnificativ bit.

În a treia cifră 96 + 1 = 97. Apoi 97 este reprezentat ca 6 · 16 (bază) și 1. Adăugați 6 la cea mai semnificativă cifră.

În a patra cifră, 20 + 6 = 26. Să reprezentăm 26 ca 16 (bază) și 10 (A). Transferăm unitatea în cea mai semnificativă categorie.

Cu anumite abilități în lucrul cu diferite sisteme numerice, înregistrarea ar putea fi imediat reprezentată ca

		A
		B	B
	A		D

Deci A31 16 29 16 = 1A1D9 16.

527 8 – 276 8 = 231 8 ,

566B 16 - 4A77 16 = BF4 16,

11001101 2 – 1100110 2 = 1100111 2 ,

276 8 231 8 = 70616 8,

4A77 16 BF4 16 = 37A166C 16,

1100110 2 1100111 2 = 10100100001010 2.

Din punctul de vedere al studierii principiilor de reprezentare și procesare a informațiilor într-un computer, sistemele discutate (binare, octale și hexazecimale) prezintă un mare interes, deși computerul prelucrează datele convertite doar într-un cod binar (sistem de numere binare) . Cu toate acestea, de multe ori pentru a reduce numărul de caractere scrise pe hârtie sau introduse de la tastatura computerului, este mai convenabil să folosiți numere octale sau hexazecimale, mai ales că, așa cum se va arăta mai jos, procedura de traducere reciprocă a numerelor din fiecare dintre aceste sisteme în binar este foarte simplu - traduceri mult mai simple între oricare dintre aceste trei sisteme și zecimal.

Reprezentăm numerele diferitelor sisteme numerice, respectiv, între ele:

Zecimal	Hexadecimal	Octal	Binar
	A
	B
	C
	D
	E
	F

Tabelul arată că numerele sistemului cu baza 2, 8 și 16 au tipare periodice. Deci, opt valori ale sistemului octal, adică (de la 0 la 7 sau baza completă) corespund celor trei cifre ( triade) a sistemului binar. Astfel, pentru a descrie numerele unei cifre ale sistemului octal, sunt necesare exact trei cifre ale binarului. La fel și cu numerele hexazecimale. Doar pentru a le descrie este nevoie de exact patru cifre ( tetrade) a sistemului binar.

Rezultă că pentru a converti orice număr întreg binar în octal, este necesar să îl împărțim de la dreapta la stânga în grupuri de 3 cifre (grupul cel mai la stânga poate conține mai puțin de trei cifre binare), și apoi atribuiți fiecare grup echivalentului său octal.

De exemplu, doriți să traduceți 11011001 2 în sistemul octal.

Împărțim numărul în grupuri de trei cifre 011 2, 011 2 și 001 2. Înlocuiți numerele corespunzătoare în sistemul octal. Obținem 3 8, 3 8 și 1 8 sau 331 8.

11011001 2 = 331 8 .

Transferurile inversate se efectuează în același mod, de exemplu:

Convertiți AB5D 16 în notație binară.

Înlocuim pe rând fiecare caracter al numărului AB5D 16 cu numărul corespunzător din sistemul binar. Obținem 1010 16, 1011 16, 0101 16 și 1101 16 sau 1010101101011101 2.

AB5D 16 = 1010101101011101 2.

În plus față de sistemele de numere poziționale discutate mai sus, există acelea în care semnificația semnului nu depinde de locul pe care îl ocupă în număr. Astfel de sisteme numerice sunt numite non-pozițional... Cel mai faimos exemplu de sistem non-pozițional este român... Acest sistem folosește 7 caractere (I, V, X, L, C, D, M), care corespund următoarelor valori:

Reguli pentru scrierea numerelor în cifre romane: - dacă o cifră mare este în fața uneia mai mici, atunci acestea sunt adăugate (principiul adunării), - dacă o cifră mai mică este în fața uneia mai mari, atunci cea mai mică este scăzută din cea mai mare ( principiul scăderii).

A doua regulă este aplicată pentru a evita repetarea aceluiași număr de patru ori. Deci, numerele romane I, X, C sunt plasate respectiv în fața lui X, C, M pentru a desemna 9, 90, 900 sau înainte de V, L, D pentru a desemna 4, 40, 400.

Exemple de scriere a numerelor în cifre romane:

IV = 5 - 1 = 4 (în loc de IIII),

XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (în loc de XVIIII),

XL = 50 - 10 = 40 (în loc de XXXX),

XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 etc.

Trebuie remarcat faptul că performanța este chiar simplă operatii aritmetice peste numere multidigit cu cifre romane este foarte incomod. Probabil, complexitatea calculelor din sistemul roman, bazată pe utilizarea literelor latine, a devenit unul dintre motivele imperioase pentru înlocuirea acestuia cu un sistem zecimal mai convenabil în acest sens.

3.1 Baza sistemului numeric se numește ...

Un set de tehnici și reguli pentru scrierea numerelor în semne sau simboluri digitale

Numărul de caractere utilizate într-un anumit sistem de numere poziționale

Divizor utilizat la conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Factor comun la conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

3.2 Ce sistem numeric nu este utilizat pe scară largă în tehnologia calculatoarelor

Octal

Binar

Cvintuplu

Hexadecimal

Operații aritmetice în sisteme de numere poziționale

Operațiile aritmetice în toate sistemele de numere poziționale sunt efectuate în conformitate cu aceleași reguli bine cunoscute de dvs.

Plus. Luați în considerare adăugarea numerelor în sistemul numeric binar. Se bazează pe tabelul de adunare al numerelor binare pe un bit:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Este important să acordați atenție faptului că, atunci când se adaugă două unități, are loc o revărsare de descărcare și se face un transfer către cel mai semnificativ bit. Depășirea cifrei apare atunci când valoarea numărului din ea devine egală sau mai mare decât baza.

Adăugarea numerelor binare din mai multe cifre are loc în conformitate cu tabelul de adunare de mai sus, luând în considerare posibilele transferuri de la cei mai puțin semnificativi biți la cei mai semnificativi. De exemplu, adăugați numerele binare 110 2 și 11 2 într-o coloană:

Să verificăm corectitudinea calculelor adăugând în sistemul numeric zecimal. Să convertim numerele binare în sistemul numeric zecimal și apoi să le adăugăm:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Acum, să convertim rezultatul adăugării binare la un număr zecimal:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10.

Să comparăm rezultatele - adăugarea se face corect.

Scădere. Luați în considerare scăderea numerelor binare. Se bazează pe un tabel de scădere pentru numere binare pe un bit. Când se scade dintr-un număr mai mic (0) unul mai mare (1), se face un împrumut din cel mai semnificativ bit. În tabel, împrumutul este desemnat 1 cu o linie:

Multiplicare.Înmulțirea se bazează pe tabelul de înmulțire al numerelor binare pe un bit:

Divizia. Operația de divizare se realizează conform unui algoritm similar cu algoritmul pentru efectuarea operației de divizare în sistemul numeric zecimal. De exemplu, să împărțim numărul binar 110 2 la 11 2:

Pentru a efectua operații aritmetice pe numere exprimate în diferite sisteme numerice, trebuie mai întâi să le traduceți în același sistem.

Sarcini

1.22. Efectuați adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea numerelor binare 1010 2 și 10 2 și verificați corectitudinea operațiilor aritmetice folosind un calculator electronic.

1.23. Adăugați numere octale: 5 8 și 4 8, 17 8 și 41 8.

1.24. Scădeți numerele hexazecimale: F 16 și A 16, 41 16 și 17 16.

1,25. Adăugați numere: 17 8 și 17 16, 41 8 și 41 16

Notă:
Puteți efectua acțiuni numai într-un singur sistem numeric, dacă vi se oferă diferite sisteme numere, convertiți mai întâi toate numerele într-un singur sistem numeric
Dacă lucrați cu un sistem numeric a cărui bază este mai mare de 10 și aveți o literă în exemplul dvs., înlocuiți-o mental cu un număr în sistemul zecimal, efectuați operațiunile necesare și convertiți rezultatul înapoi la sistemul numeric original

Plus:
Toată lumea își amintește cum școală primară am fost învățați să stivim cu o coloană, descărcare cu descărcare. Dacă, la adăugarea în cifră, s-a obținut un număr mai mare de 9, am scăzut 10 din acesta, rezultatul a fost înregistrat în răspuns și 1 a fost adăugat la cifra următoare. Din aceasta, se poate formula o regulă:

1. Este mai convenabil să pliați „într-o coloană”
2. Adăugând în biți, dacă cifra din cifra> este mai mare decât cea mai mare cifră din alfabetul sistemului numeric dat, scădeți baza sistemului numeric din acest număr.
3. Rezultatul rezultat este scris în categoria dorită.
4. Adăugați una la următoarea cifră

Exemplu:

Adăugați 1001001110 și 100111101 în notație binară

1001001110

100111101

1110001011

Răspuns: 1110001011

Adăugați F3B și 5A hexazecimal

FE0

Răspuns: FE0

Scădere: Toată lumea își amintește cum în școala elementară am fost învățați să scădem o coloană dintr-o categorie. Dacă, la scăderea în cifră, s-a obținut un număr mai mic de 0, atunci am „împrumutat” una din cea mai semnificativă cifră și am adăugat 10 la cifra dorită, am scăzut-o pe cea dorită din noul număr. Din aceasta, se poate formula o regulă:

1. Este mai convenabil să scădem „în coloană”
2. Scăderea în biți dacă cifra din cifră< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Scăderea

Exemplu:

Scădeți numărul binar 100111101 din 1001001110

1001001110

100111101

100010001

Răspuns: 100010001

Scădeți 5A hexazecimal din F3B

D96

Răspuns: D96

Cel mai important, nu uitați de faptul că aveți la dispoziție doar cifrele acestui sistem numeric, pur și simplu nu uitați de tranzițiile dintre termenii cifrelor.
Multiplicare:

Înmulțirea în alte sisteme numerice este exact aceeași cu cea pe care am folosit-o pentru a ne înmulți.

1. Este mai convenabil să înmulțiți cu „coloană”
2. Înmulțirea în orice sistem numeric urmează aceleași reguli ca în zecimal. Dar nu putem folosi decât alfabetul, sistem dat socoteală

Exemplu:

Binar înmulțește 10111 cu 1101

10111

1101

10111

10111

10111

100101011

Răspuns: 100101011

Înmulțiți F3B cu A în notație hexazecimală

F3B

984E

Răspuns: 984E

Răspuns: 984E

Cel mai important, nu uitați de faptul că aveți la dispoziție doar cifrele acestui sistem numeric, pur și simplu nu uitați de tranzițiile dintre termenii cifrelor.

Divizia:

Împărțirea în alte sisteme numerice este exact aceeași cu care obișnuiam să împărțim.

1. Este mai convenabil să împărțiți prin „coloană”
2. Împărțirea în orice sistem numeric respectă aceleași reguli ca în zecimal. Dar nu putem folosi decât alfabetul dat de sistemul numeric.

Exemplu:

Împarte 1011011 la binar 1101

Divide F 3 De la B la numărul 8 în notație hexazecimală

Cel mai important, nu uitați de faptul că aveți la dispoziție doar cifrele acestui sistem numeric, pur și simplu nu uitați de tranzițiile dintre termenii cifrelor.

NEPOZITIV

Sisteme numerice nepoziționale

Sistemele de numere non-poziționale au fost din punct de vedere istoric primele care au apărut. În aceste sisteme, semnificația fiecărui simbol digital este constantă și nu depinde de poziția sa. Cel mai simplu caz al unui sistem non-pozițional este cel unitar, pentru care se folosește un singur simbol pentru a indica numere, de regulă este o linie, uneori un punct, care este întotdeauna pus în numărul corespunzător numărului notat:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| etc.

Deci, acest singur personaj contează unități, din care se obține numărul necesar prin adăugare succesivă:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

O modificare a unui sistem de unitate este un sistem cu o bază, în care există simboluri nu numai pentru desemnarea unei unități, ci și pentru grade de bază. De exemplu, dacă baza este 5, atunci vor exista simboluri suplimentare pentru a indica 5, 25, 125 și așa mai departe.

Un exemplu al unui astfel de sistem cu baza 10 este cel vechi egiptean, care a apărut în a doua jumătate a mileniului III î.Hr. Acest sistem avea următoarele hieroglife:

• pol - unități,
• arc - zeci,
• frunze de palmier - sute,
• floare de lotus - mii.

Numerele au fost obținute prin simplă adăugare, ordinea ar putea fi oricare. Deci, pentru a desemna, de exemplu, numărul 3815, au fost desenate trei flori de lotus, opt frunze de palmier, un arc și cinci stâlpi. Sisteme mai complexe cu semne suplimentare - vechea greacă, romană. Roman folosește, de asemenea, un element al sistemului pozițional - se adaugă un număr mare în fața unuia mai mic, se scade unul mai mic în fața unuia mai mare: IV = 4, dar VI = 6, această metodă este însă utilizată exclusiv pentru a indica numerele 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 și derivatele lor prin adăugare.

Noile sisteme grecești și vechi ruse foloseau 27 de litere ale alfabetului ca numere, unde desemnau fiecare număr de la 1 la 9, precum și zeci și sute. Această abordare a făcut posibilă scrierea numerelor de la 1 la 999 fără repetarea numerelor.

În vechiul sistem rusesc, erau folosite cadre speciale în jurul numerelor pentru a indica numere mari.

Ca sistem de numerotare verbală, non-pozițional este încă folosit aproape peste tot. Sistemele de numerotare verbală sunt strâns legate de limbă, iar elementele lor comune se referă în principal la principiile generale și numele numerelor mari (trilioane și mai mari). Principiile generale care stau la baza numerotării verbale moderne sunt dăunătoare formării desemnărilor prin adăugarea și multiplicarea semnificațiilor numelor unice.

| Informatică și tehnologiile informației și comunicării | Planificarea lecțiilor și materialele pentru lecții | 10 clase | Lecții de planificare pentru anul universitar (FSES) | Operații aritmetice în sisteme de numere poziționale

Lecția 15
§12. Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale

Operații aritmetice în sisteme de numere poziționale

Operații aritmetice în sistemele radix poziționale q sunt efectuate conform regulilor similare cu cele din sistemul numeric zecimal.

În școala elementară, tabelele de adunare și multiplicare sunt folosite pentru a învăța copiii să numere. Tabelele similare pot fi compilate pentru orice sistem numeric pozițional.

12.1. Adunarea numerelor în baza q

Luați în considerare exemple de tabele de adunare în sistemele numerice ternare (tabelul 3.2), octal (tabelul 3.4) și hexadecimal (tabelul 3.3).

Tabelul 3.2

Adăugare ternară

Tabelul 3.3

Adaos hexazecimal

Tabelul 3.4

Adăugare octală

q obține suma S două numere DARși B, este necesar să se însumeze cifrele care le formează cu cifrele eu de la dreapta la stânga:

Dacă a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
dacă a i + b i ≥ q, atunci s i = a i + b i - q, cel mai semnificativ (i + 1) al treilea bit este mărit cu 1.

Exemple:

12.2. Scăderea numerelor din baza q

Deci, în radix q obține diferența R două numere DARși ÎN, este necesar să se calculeze diferențele cifrelor care le formează cu cifrele eu de la dreapta la stânga:

Dacă a i ≥ b i, atunci r i = a i - b i, cel mai semnificativ (i + 1) al treilea bit nu se schimbă;
dacă un i< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).