Εικόνα λογικής εικόνας για την ακόλουθη έκφραση. Κατασκευή λειτουργικών λογικών κυκλωμάτων για συγκεκριμένες λειτουργίες. Εργασία για τη δοκιμή

Εργαστηριακός αριθμός εργασίας 2. Λογική άλγεβρα

σκοπός της εργασίας

Εξετάστε τα βασικά στοιχεία της λογικής άλγεβρας.

Καθήκοντα Εργαστηριακή εργασία

Ως αποτέλεσμα της κατοχής, ο φοιτητής πρέπει:

Ορισμοί βασικών εννοιών (απλές και πολύπλοκες δηλώσεις, λογικές λειτουργίες, λογικές εκφράσεις, λογική λειτουργία).
τη διαδικασία εκτέλεσης λογικών λειτουργιών ·
αλγόριθμος για την κατασκευή πινάκων αλήθειας.
Σχέδια βασικών λογικών στοιχείων.
Λογικές νόμοι και κανόνες μετατροπής λογικών εκφράσεων ·

Εφαρμόστε τα στυλό λογικής για να απλοποιήσετε τις λογικές εκφράσεις.
Δημιουργήστε τραπέζια αλήθειας.
Δημιουργήστε λογικά συστήματα σύνθετων εκφράσεων.

Γενικές θεωρητικές πληροφορίες

Βασικές έννοιες της λογικής άλγεβρας

Η λογική βάση του υπολογιστή είναι η άλγεβρα της λογικής, η οποία θεωρεί λογικές λειτουργίες σε δηλώσεις.

Λογική άλγεβρα - Αυτό είναι το τμήμα των μαθηματικών που εκμάθουν τις δηλώσεις που εξετάζονται από τις λογικές τους αξίες (αλήθεια ή ψευδαίσθηση) και λογικές λειτουργίες πάνω τους.

Λογική δήλωση - Αυτή είναι μια αφηγηματική προσφορά για την οποία μπορεί κανείς να πει σαφώς, είναι πραγματικά ή ψευδής.

Παράδειγμα."3 - Ένας απλός αριθμός" είναι μια δήλωση, δεδομένου ότι είναι αλήθεια.

Δεν υπάρχει πρόταση μια λογική δήλωση.

Παράδειγμα. Προσφορά "Ας πάμε στις ταινίες" δεν είναι δήλωση. Οι ερωτηματολογικές και κίνητρες προτάσεις δεν είναι δηλώσεις.

Ανοιξιάτικη μορφή - Αυτή είναι μια αφηγηματική πρόταση που περιέχει άμεσα ή έμμεσα τουλάχιστον μία μεταβλητή και γίνεται δήλωση όταν όλες οι μεταβλητές αντικαθίστανται από τις τιμές τους.

Παράδειγμα. Το "x + 2\u003e 5" είναι μια εντελώς, η οποία στο X\u003e 3 είναι αληθής, αλλιώς ψευδής.

Η λογική άλγεβρα θεωρεί οποιαδήποτε δήλωση μόνο από μια άποψη - είτε είναι αληθινή είτε ψευδή. Λέξεις και φράσεις "όχι", "και", "ή", "αν ...,", ", τότε και μόνο τότε" και άλλοι επιτρέπουν νέες δηλώσεις από τις ήδη καθορισμένες δηλώσεις. Αυτές οι λέξεις και φράσεις καλούνται Λογικοί σύνδεσμοι.

Οι δηλώσεις που αποτελούνται από άλλες δηλώσεις που χρησιμοποιούν λογικούς συνδέσμους ονομάζονται Χημική ένωση (περίπλοκος). Δηλώσεις που δεν είναι σύνθετα που ονομάζονται Στοιχειώδης (απλός).

Παράδειγμα. Η δήλωση "αριθμός 6 χωρίζεται σε 2" - μια απλή δήλωση. Η δήλωση "Ο αριθμός 6 χωρίζεται σε 2 και ο αριθμός 6 χωρίζεται σε 3" - μια σύνθετη δήλωση που σχηματίζεται από δύο απλά χρησιμοποιώντας μια λογική δέσμη "και".

Η αλήθεια ή η ψευδαίσθηση σύνθετων δηλώσεων εξαρτάται από την αλήθεια ή την ψευδαίσθηση των στοιχειωδών δηλώσεων, εκ των οποίων συνίστανται.

Για να ανατρέξετε σε λογικές δηλώσεις, τα καθορισμένα ονόματα.

Παράδειγμα. Δηλώνει με μια απλή δήλωση "Ο αριθμός 6 χωρίζεται σε 2", και σε μια απλή δήλωση "αριθμός 6 χωρίζεται σε 3". Στη συνέχεια, η σύνθετη δήλωση "αριθμός 6 χωρίζεται σε 2 και ο αριθμός 6 χωρίζεται σε 3" μπορεί να γραφτεί ως "Α και Β". Εδώ, "και" είναι μια λογική δέσμη, και, σε λογικές μεταβλητές που μπορούν να πάρουν μόνο το χρόνο - "αλήθεια" ή "ψέματα", υποδεικνύονται, αντίστοιχα, "1" και "0".

Κάθε λογική δέσμη θεωρείται ως μια λειτουργία σε λογικές δηλώσεις και έχει το όνομα και τον χαρακτηρισμό του (Πίνακας 1).

Πίνακας 1. Βασικές λογικές λειτουργίες

ΔΕΝ Λειτουργία, που εκφράζεται από τη λέξη "όχι", καλείται άρνηση Και αντλήθηκε από το σημείο πάνω από τη δήλωση (ή το σήμα). Λέγοντας και αληθινό όταν ένα είναι ψεύτικο και ψεύτικο όταν ένα είναι αληθινό.

Παράδειγμα. Αφήστε τους \u003d "Σήμερα είναι συννεφιασμένοι, τότε a \u003d" σήμερα δεν είναι θολό. "

ΚΑΙ Λειτουργία που εκφράζεται από μια δέσμη "και" που ονομάζεται σύνδεση (Lat. Σύνδεση - Σύνδεση) ή λογικός πολλαπλασιασμός και δηλώνεται από το σημείο "" (μπορεί επίσης να επισημανθεί με σημάδια ή &). Λέγοντας και αληθινά τότε και μόνο τότε όταν και τα δύο λόγια α και στην αλήθεια.

Παράδειγμα. Η δήλωση "αριθμός 6 χωρίζεται σε 2 και ο αριθμός 6 χωρίζεται σε 3" αληθινά, και η δήλωση "αριθμός 6 χωρίζεται σε 2, και ο αριθμός 6 είναι περισσότερο από 10" - FALSE.

Ή Λειτουργία που εκφράζεται από μια δέσμη "ή" (με την μη αποκλειστική έννοια της λέξης), που ονομάζεται διαχώριση (Lat. Disjunctio - διαχωρισμός) ή λογική προσθήκη και υποδεικνύεται από το σήμα

(ή συν). Λέγοντας και λοιπόν τότε και μόνο όταν και οι δύο δηλώσεις και σε ψεύτικες.

Παράδειγμα: Η δήλωση "αριθμός 6 χωρίζεται σε 2 ή νούμερο 6 περισσότερο από 10" - αληθινά, και η δήλωση "αριθμός 6 χωρίζεται σε 5 ή αριθμό 6 Περισσότερα από 10" - FALSE.

Αν ... Λειτουργία που εκφράζεται από δέσμες "αν ..., τότε," "από ... ακολουθεί", "... συνεπάγεται ...", κάλεσε ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ (Lat. Improco - στενά συνδεδεμένο) και υποδεικνύεται από το σήμα →. Λέγοντας ένα → σε ψευδώς και μόνο αν είναι αλήθεια, αλλά σε ψευδές.

Παράδειγμα. Δήλωση "Εάν ο φοιτητής πέρασε όλες τις εξετάσεις για" εξαιρετική ", θα λάβει υποτροφία." Προφανώς, αυτή η συνέπεια θα πρέπει να αναγνωρίζεται ως ψευδής μόνο εάν ο φοιτητής πέρασε σε "εξαιρετικές" όλες τις εξετάσεις, αλλά δεν έλαβε υποτροφίες. Σε άλλες περιπτώσεις, όταν δεν παρέχονται όλες οι εξετάσεις σε "εξαιρετική" και η υποτροφία λαμβάνεται (για παράδειγμα, λόγω του γεγονότος ότι ο φοιτητής ζει σε οικογένεια χαμηλού εισοδήματος) ή όταν οι εξετάσεις δεν πληρούνται καθόλου και εκεί Δεν μπορεί να μην υπάρχει λόγος για υποτροφίες, η συνέπεια μπορεί να αναγνωριστεί αλήθεια.

Ισοδύναμος Λειτουργία που εκφράζεται από δέσμες "Τότε και μόνο τότε", "Είναι απαραίτητο και αρκετά", "είναι ισοδύναμο ...", κάλεσε Ισοδύναμος ή Διπλή συνέπεια Και υποδεικνύεται από το σήμα ↔ ή ~. Η δήλωση του A↔V είναι αλήθεια και μόνο εάν οι τιμές Α και Β συμπίπτουν.

Παράδειγμα: Η δήλωση "Ο αριθμός είναι ακόμη και αν είναι διαιρεμένος χωρίς υπολείμματα κατά 2" είναι αληθές και η δήλωση "ο αριθμός είναι περίεργος εάν και μόνο αν χωρίζεται χωρίς υπόλοιπο 2" - FALSE.

Ή Λειτουργία που εκφράζεται από δέσμες "είτε ... είτε» λέγεται εξαιρουμένου ή ή Προσθήκη ανά μονάδα 2 Και υποδεικνύεται xor ή. Λέγοντας και σε αλήθεια και μόνο αν οι τιμές Α και Β δεν συμπίπτουν.

Παράδειγμα. Η δήλωση "Αριθμός 6 ή είναι παράξενα είτε χωρισμένη χωρίς υπολείμματα για 2" είναι αληθής και η δήλωση "είτε ο αριθμός 6 είναι ακόμη και ο αριθμός 6 διαιρείται σε 3" είναι ψευδής, καθώς και οι δύο δηλώσεις περιλαμβάνονται σε αυτό.

Σχόλιο. Η συνέπεια μπορεί να εκφραστεί μέσω της αποσύνθεσης και της άρνησης:

Η ισοδυναμία μπορεί να εκφραστεί με άρνηση, αποσύνδεση και συνδυασμό:

Εξαιρουμένων ή μπορεί να εκφραστεί με άρνηση, αποσύνδεση και συνδυασμό:

Παραγωγή. Οι λειτουργίες χαλάρωσης, αποσύνδεσης και συνδυασμού είναι αρκετές για να περιγράψουν και να επεξεργαστούν τις λογικές δηλώσεις.

Η διαδικασία για την εκτέλεση λογικών λειτουργιών δίνεται από στρογγυλά στηρίγματα. Αλλά για να μειώσουμε τον αριθμό των στηρίξεων, συμφωνήσαμε να υποθέσουμε ότι η επιχείρηση άρνησης εκτελείται για πρώτη φορά ("όχι"), τότε το συνδυασμό ("και"), μετά από συνδυασμό - διακόπτη ("ή") και εξαιρουμένων ή τελευταίας εποχής και την ισοδυναμία.

Χρησιμοποιώντας λογικές μεταβλητές και σύμβολα λογικών λειτουργιών, οποιαδήποτε δήλωση μπορεί να επισημοποιηθεί, δηλαδή, αντικαταστήστε τον λογικό τύπο (λογική έκφραση).

Λογικός τύπος - Πρόκειται για μια συμβολική εγγραφή δήλωσης που αποτελείται από λογικές τιμές (σταθερές ή μεταβλητές), σε συνδυασμό με λογικές λειτουργίες (Ligaments).

Λογική λειτουργία - Αυτή είναι μια συνάρτηση των λογικών μεταβλητών που μπορούν να λάβουν μόνο δύο τιμές: 0 ή 1. Με τη σειρά του, η ίδια η λογική μεταβλητή (το επιχείρημα της λογικής λειτουργίας) μπορεί επίσης να λάβει μόνο δύο τιμές: 0 ή 1.

Παράδειγμα. - τη λογική λειτουργία δύο μεταβλητών Α και Β.

Οι τιμές της λογικής λειτουργίας για τους διαφορετικούς συνδυασμούς των τιμών μεταβλητών εισόδου - ή, όπως συνήθως ονομάζεται, τα σύνολα μεταβλητών εισόδου καθορίζονται συνήθως από ένα ειδικό πίνακα. Αυτός ο πίνακας ονομάζεται Τίτλος τίτλου.

Δίνουμε την αλήθεια πίνακα βασικών λογικών λειτουργιών (Πίνακας 2)

Πίνακας 2

ΕΝΑ.	ΣΙ.

Βασιζόμενοι στα δεδομένα τραπέζης αλήθειας βασικών λογικών λειτουργιών, μπορείτε να κάνετε πίνακες αλήθειας για πιο πολύπλοκους τύπους.

Αλγόριθμος για την κατασκευή πινάκων αλήθειας για σύνθετες εκφράσεις:

Αριθμός γραμμών \u003d 2 n + συμβολοσειρά για κεφαλίδα,
n - τον αριθμό των απλών δηλώσεων.

Αριθμός κονσερβών \u003d αριθμός μεταβλητών + αριθμός λογικών λειτουργιών.
Προσδιορίστε τον αριθμό των μεταβλητών (απλές εκφράσεις).
Προσδιορίστε τον αριθμό των λογικών λειτουργιών και την ακολουθία της εκτέλεσης τους.

Παράδειγμα 1. Κάνετε έναν πίνακα αλήθειας για τον τύπο και μη όχι, το οποίο μπορεί να γραφτεί ως εξής :.

1. Προσδιορίστε τον αριθμό των γραμμών:

Στην είσοδο δύο απλές δηλώσεις: Α και Β, επομένως n \u003d 2 και ο αριθμός των γραμμών \u003d 2 2 + 1 \u003d 5.

2. Προσδιορίστε τον αριθμό των στηλών:

Η έκφραση αποτελείται από δύο απλές εκφράσεις (Α και Β) και δύο λογικές λειτουργίες (1 αντιστροφή, 1 συνδυασμό), δηλ. Ο αριθμός των στηλών του πίνακα αλήθειας \u003d 4.

3. Συμπληρώστε τις στήλες λαμβάνοντας υπόψη τους πίνακες αλήθειας λογικών λειτουργιών (Πίνακας 3).

Πίνακας 3. Tatac της αλήθειας για λογική λειτουργία

Σημείωση: και όχι Καλέστε επίσης "Strike Scheffer" (δηλώνει |) ή "Αντιγμαχία"; Ή ΟΧΙ Καλέστε επίσης "Pierce Arrow" (δηλώστε ↓) ή "Αντιδιοξία".

Παράδειγμα 2. Κάντε έναν πίνακα αλήθειας μιας λογικής έκφρασης.

Απόφαση:

1. Προσδιορίστε τον αριθμό των γραμμών:

Στην είσοδο δύο απλές δηλώσεις: Α και Β, επομένως n \u003d 2 και ο αριθμός των γραμμών \u003d 2 2 + 1 \u003d 5.

2. Προσδιορίστε τον αριθμό των στηλών:

Η έκφραση αποτελείται από δύο απλές εκφράσεις (Α και Β) και πέντε λογικές λειτουργίες (2 αναστροφή, 2 συζεύξεις, 1 διαχωρισμό), δηλ. Ο αριθμός των στηλών του πίνακα αλήθειας \u003d 7.

Πρώτον, εκτελούνται οι λειτουργίες της αντιστροφής, στη συνέχεια συνδυασμένη, η τελευταία λειτουργία είναι η λειτουργία διαχωρισμού.

3. Συμπληρώστε τις στήλες λαμβάνοντας υπόψη τους πίνακες αλήθειας λογικών λειτουργιών (Πίνακας 5).

Πίνακας 5. Tatac της αλήθειας για λογική λειτουργία
Δεδομένου ότι οποιαδήποτε λογική λειτουργία μπορεί να αντιπροσωπεύεται ως συνδυασμός τριών κύριων, οποιωνδήποτε συσκευών υπολογιστών που παράγουν επεξεργασία ή αποθήκευση πληροφοριών μπορούν να συναρμολογηθούν από βασικά λογικά στοιχεία όπως από τα "τούβλα".

Τα λογικά στοιχεία του υπολογιστή λειτουργούν με σήματα που αντιπροσωπεύουν ηλεκτρικές παρορμήσεις. Υπάρχει ένας παλμός - η λογική έννοια του σήματος - 1, χωρίς παλμό - 0. Τα σήματα των παραλαβών λαμβάνονται στις εισόδους του λογικού στοιχείου, η τιμή του εργαλείου σήματος της λειτουργίας εμφανίζεται στην έξοδο.

Μετατροπή σήματος Το λογικό στοιχείο ορίζεται από τον κρατικό πίνακα, ο οποίος είναι στην πραγματικότητα ένας πίνακας αλήθειας που αντιστοιχεί στη λογική λειτουργία, αντιπροσωπεύεται μόνο με τη μορφή λογικών συστημάτων. Σε αυτή τη μορφή, είναι βολικό να απεικονίζονται οι αλυσίδες λογικών λειτουργιών και να παράγουν τους υπολογισμούς τους.

Αλγόριθμος για την κατασκευή λογικών συστημάτων.

Προσδιορίστε τον αριθμό των λογικών μεταβλητών.
Προσδιορίστε τον αριθμό των λογικών λειτουργιών και της παραγγελίας τους.
Εικόνα για κάθε λογική λειτουργία που το λογικό στοιχείο αντιστοιχεί σε αυτό.
Συνδέστε τα λογικά στοιχεία με τη σειρά λογικών λειτουργιών.

Παράδειγμα. Για μια δεδομένη λογική λειτουργία, δημιουργήστε ένα λογικό σύστημα.

Απόφαση.

Τον αριθμό των λογικών μεταβλητών \u003d 2 (Α και Β).
Ο αριθμός των λειτουργιών \u003d 5 (2 αναστροφή, 2 συζεύξεις, 1 διαχωρισμό). Πρώτον, εκτελούνται οι λειτουργίες της αντιστροφής, στη συνέχεια συνδυασμένη, η τελευταία λειτουργία είναι η λειτουργία διαχωρισμού.
Το σχήμα θα περιέχει 2 μετατροπείς, 2 επιδρομείς και 1 δόλια.
Το κτίριο πρέπει να ξεκινήσει με μια λογική λειτουργία, η οποία θα πρέπει να εκτελεστεί τελευταία. Στην περίπτωση αυτή, μια τέτοια ενέργεια είναι μια λογική προσθήκη, επομένως, η έξοδος πρέπει να είναι μια διαφυγή. Σε αυτό, τα σήματα τροφοδοτούνται από δύο εκπαιδευτές, οι οποίες, με τη σειρά τους, σερβίρονται ένα Σήμα εισόδου Κανονικό και ένα ανεστραμμένο (με μετατροπείς).

Παρόμοιες πληροφορίες.

Θα εξοικειωθούμε εναλλάξ τους.

Κατασκευάζοντας ένα λογικό σχήμα για μια δεδομένη λογική λειτουργία.

Μια εργασία:

Dana λογική λειτουργία:

Κάντε ένα λογικό σύστημα για αυτό.

Απόφαση:

Ας διαχωρίσουμε τη διαδικασία για την εκτέλεση λογικών λειτουργιών, καθοδηγούμενη από τους κανόνες:

άρνηση
πολλαπλασιασμός
πρόσθεση

Μην ξεχάσετε την προτεραιότητα των στηρίξεων.
Παίρνουμε:

Να οικοδομήσουμε το σχέδιο με την καθορισμένη σειρά.

Καταγράφοντας μια λογική λειτουργία σύμφωνα με ένα δεδομένο λογικό σύστημα.

Μια εργασία:

Dana Logic Σχέδιο:

Κάντε μια λογική λειτουργία σε αυτό.

Απόφαση:

Θεωρούμε το σύστημα από το τέλος και γράψουμε τις κατάλληλες λειτουργίες λογικής, δεδομένου ότι στην καταγεγραμμένη λειτουργία, τρεις τελεστές Α, Β, με

Μπορείτε να υπογράψετε πρώτα τις ενδιάμεσες λειτουργίες του διαγράμματος που λαμβάνονται στην έξοδο κάθε μπλοκ και στη συνέχεια να τα σπείνετε με λογικές λειτουργίες.

Προσδιορισμός του σήματος στην έξοδο του λογικού κυκλώματος σύμφωνα με τις καθορισμένες τιμές σημάτων σε όλες τις εισόδους αυτού του σχήματος.

Μια εργασία:

Dana Logic Diagram και τιμές των σημάτων σε όλες τις εισόδους:

Προσδιορίστε την τιμή της λειτουργίας F στην έξοδο του κυκλώματος.

Απόφαση:

Χρησιμοποιώντας τους πίνακες αλήθειας για τα αντίστοιχα λογικά στοιχεία του κυκλώματος, ορίζουμε τις τιμές των σημάτων στις εξόδους και, κατά συνέπεια, στις εισόδους κάθε λογικού στοιχείου, δεν θα φτάσω στο τέλος του κυκλώματος. Παίρνουμε:

Απάντηση:

Η τιμή της λειτουργίας F στην έξοδο του κυκλώματος \u003d 1. Δημιουργήστε ένα τραπέζι αλήθειας για ένα δεδομένο λογικό σύστημα.

Μια εργασία:

Dana Logic Σχέδιο:

Να χτίσει ένα τραπέζι της αλήθειας.

Απόφαση:

Ελέγξτε τον αριθμό των εισόδων στο διάγραμμα. Ο αριθμός των συνδυασμών σήματος κατά 2 εισόδους είναι 4, για 3 εισόδους είναι 8, για 4 εισόδους είναι 16, κλπ. Κάνουμε έναν πίνακα αλήθειας στην οποία οι πρώτες στήλες είναι οι εισόδους του κυκλώματος που επισημαίνονται με γράμματα ακολουθώντας τις στήλες - το Λειτουργίες που λαμβάνονται για τις εξόδους κάθε στοιχείου του συστήματος και των συμβολοσειρών - αντανακλούν διαφορετικούς συνδυασμούς σημάτων στις εισόδους. Ο αριθμός των γραμμών συμπίπτει με τον αριθμό των συνδυασμών σήματος. Χρησιμοποιώντας τους πίνακες αλήθειας για τα αντίστοιχα λογικά στοιχεία του κυκλώματος, ορίζουμε τις τιμές των σημάτων στις εξόδους κάθε λογικού στοιχείου, δηλ. Για κάθε στήλη, δεν θα φτάσω στο τέλος του κυκλώματος. Παίρνουμε:

Απάντηση:

4) Απάντηση:l v 0 & l \u003d 1.

Παράδειγμα 2.

Δημιουργήστε ένα λογικό σύστημα που αντιστοιχεί στη λογική έκφραση

F \u003d x & y v (y v x).

Υπολογίστε τις τιμές της έκφρασης για το x \u003d 1, y \u003d 0.

1) Δύο μεταβλητές: x και y;

2) ΛΟΓΙΚΕΣ ΛΟΓΙΚΕΣ ΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΤΡΙΤΟ: ΣΥΝΔΕΣΗ ΚΑΙ ΔΥΟ ΔΙΑΧΩΡΙΣΤΕΣ: 14 3 2 X & Y V (Y V x).

3) Δημιουργήστε το σχέδιο από αριστερά προς τα δεξιά σύμφωνα με τη διαδικασία λογικών λειτουργιών:

3) Υπολογίστε την τιμή της έκφρασης: F \u003d L & 0 V (0 V 1) \u003d 0

Ασκηση

Δημιουργήστε ένα λογικό σύστημα που αντιστοιχεί σε μια λογική έκφραση και βρείτε την τιμή της λογικής έκφρασης:

Α) F \u003d A V B & C, εάν a \u003d 1, b \u003d 1, C \u003d 1.

Β) F \u003d (A V B & C), εάν a \u003d 0, b \u003d 1, C \u003d 1.

Β) F \u003d A V B & C, εάν a \u003d 1, b \u003d 0, C \u003d 1.

Δ) f \u003d (a v c) & (με v c), εάν \u003d 0, b \u003d 1, c \u003d 0.

Ε) f \u003d (a & b & c), εάν a \u003d 0, b \u003d 0, c \u003d 1.

Ε) f \u003d (Α & Β & C) V (B & C VA), εάν a \u003d 1, b \u003d 1, c \u003d 0.

G) f \u003d B & A V B & A, εάν a \u003d 0, b \u003d 0.

Λογική νομοθεσίας

Εάν η λογική έκφραση περιέχει μεγάλος αριθμός Λειτουργίες, στη συνέχεια, κάντε ένα τραπέζι αλήθειας γι 'αυτόν αρκετά δύσκολη, όπως πρέπει να λύσετε ένας μεγάλος αριθμός από επιλογές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο τύπος είναι βολικός να οδηγήσει σε Κανονική μορφή.

Ο τύπος έχει κανονική μορφή εάν δεν υπάρχουν σημεία ισοδυναμίας, επιπτώσεις, διπλές αρνήσεις και σημεία άρνησης είναι μόνο υπό λογικές μεταβλητές.

Για να φέρει τον τύπο σε κανονική μορφή, χρησιμοποιήστε τους νόμους της λογικής και τους κανόνες λογικών μετασχηματισμών.


	Α \u003d Α.	Νόμος της ταυτότητας
	A & A \u003d 0	Νόμος της αντίφασης
	Av a \u003d l	Το νόμο ενός αποκλειστικού τρίτου
	Α \u003d Α.	Νόμος διπλής άρνησης
	A & 0 \u003d 0 a v \u003d a	Νομικές εξαιρέσεις σταθερές
	A & 1 \u003d A A V 1 \u003d 1	Νομικές εξαιρέσεις σταθερές
	A & a \u003d a v a \u003d a	Κανόνας idempotency
	AVA \u003d L.
	(Και → C) \u003d a & in
	A → b \u003d a v b
	A & (AV B) \u003d a	Ο νόμος απορρόφησης
	Ένα v (a & b) \u003d a	Ο νόμος απορρόφησης
	Και & (AV C) \u003d A & In
	AVA & B \u003d A V B
	(AVB) VC \u003d AV (BVC) (A & B) & C \u003d A & B & C)	Κανόνας συσχετισμού
	(A & B) V (A & C) \u003d A & BVC (AVB) & (AVC) \u003d AV (B & C)	Κανόνας διανομής
	AVB \u003d BVA A & B \u003d B & A	Κανόνας μετατροπής
	Aób \u003d A & BV (A & B)
	(AVB) \u003d A & B	Morgan νόμους
	(A & B) \u003d AV B	Morgan νόμους

Παράδειγμα

Απλοποιήστε μια λογική έκφραση ΦΑ.= ((ΕΝΑ.v. Γ) → (σεv. ΑΠΟ)). Αυτή η λογική έκφραση πρέπει να χορηγείται σε κανονική μορφή, επειδή Έχει επιπτώσεις και άρνηση της λογικής λειτουργίας.

1. Ξεφορτωθείτε την επίπτωση και την άρνηση. Χρησιμοποιούμε (8). Θα αποδειχθεί: ((AVB) → (BVC)) \u003d (AVB) & (BVC).

2. Εφαρμόστε το δίκαιο του διπλού άρνησης (4). Λάβετε: (AVB) & (BVC) \u003d (AVB) & (BVC)

3. Εφαρμόστε τον κανόνα διανομής (15). Παίρνουμε:

(AVB) & (BVC) \u003d (AVB) & BV (AVB) & C.

4. Εφαρμόστε το νόμο της μετατροπής (17) και τη διανομή (15). Λάβετε: (AVB) & BV (AVB) & C = A & BVB & BVA & CVB & C.

5. Εφαρμόστε (16) και έχουμε: A & BVB & BVA & CVB & C \u003d A & BVBVA & CVA & C

6. Εφαρμογή (15), δηλαδή θα μεταφερθώ στους βραχίονες V. Παίρνουμε:

A & BVBV A & CV B & C \u003d B & C (AV1) V A & CV B & C

7. Εφαρμόστε (6). Λαμβάνουμε: στην & (AVL) v A & CV B & C \u003d BV A & CV B & C.

8. Αφαιρέστε τους όρους των εξαρτημάτων, ομαδοποιημένοι και αφήστε τα στη σταχήματα. Παίρνουμε:
BVA & CVB & C \u003d B & (1VC) VA & C.

9. Εφαρμογή (6) και λάβετε την απάντηση:

Απάντηση: f \u003d ((a v c) → (σε v C)) \u003d σε V A & C.

Απλοποιήστε την έκφραση:

1) F \u003d (Α & Β) V (B V C).

2) f \u003d (a → b) V (b → a).

3) F \u003d A & C VA & C.

4) F \u003d ένα VB VC V A V B V C.

5) f \u003d (x & y V (x & y)).

6) f \u003d x & (y v x).

7) f \u003d (x v z) & (x vz) & (y v z).

10) F \u003d B & C & (AVA).

11) F \u003d A & B & CVAVB

12) F \u003d (AVB) & (BVA) & (CVB)

Απλοποιήστε την έκφραση:

1. F \u003d.A & C VA & C.

2. F \u003d A ↔ B V A & C

3. F \u003d A & (B↔C)

4. F \u003d (x v y) & (y ↔ x).

5. F \u003d.Ένα VB VC V A V B V C.

6. F \u003d (AVB) → (AVC)

7. F \u003d A ↔ (στο V C)

8. F \u003d A & B → C & D.

9. F \u003d.(X & y v (x & y)).

10. F \u003d (x v y) & (y v x).

11. F \u003d A ↔ B & C

12. f \u003d (a v b) & (b v a → b).

13. F \u003d.X & (y v x).

14. F \u003d A → B V A & C

15. F \u003d X & Y V X.

16. F \u003d ((x v y) & (z → x)) & (z v y).

17. F \u003d.(X v z) & (x vz) & (y v z).

18. F \u003d a → (στο V C)

19. f \u003d a ↔ b v c

20. F \u003d ((x v y) & (z v x)) & (z → y).

21. F \u003d (B & (A → C))

22. F \u003d A → B V A & C

23. F \u003d A ↔ (στο v C)

24. F \u003d ((x v y) & (z v x)) & (z v y).

25. F \u003d.(A → B) V (B → A).

26. F \u003d A & B & C & D.

27. F \u003d A ↔ (στο V C)

28. F \u003d A & (B → C).

29. F \u003d.A & (AVB)

30. f \u003d a ↔ (σε v c)

31. F \u003d A → B V A & C

32. F \u003d (a v b) & (b V a v b).

33. F \u003d.B & C & (AVA).

34. F \u003d A & B V A & C

35. F \u003d X & Y ↔ X.

36. F \u003d ((x v y) & (z → x)) & (z ↔ y).

37. F \u003d.A & B & CVAVB

38. F \u003d (x → y) & (y v x).

39. F \u003d A → B & C

40. F \u003d (A ↔ B) & (B V Α & Β).

41. F \u003d.(AVB) & (BVA) & (CVB) .

42. F \u003d A & B V A & C

43. F \u003d A & (BVC)

44. F \u003d (x → y) & (y ↔ x).

45. F \u003d.AV (A & B)

46. \u200b\u200bF \u003d A & B ↔ C & D.

47. F \u003d A ↔ (στο v C)

48. F \u003d (x & y) v (y & x).

Διορισμός υπηρεσίας. Η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έχει σχεδιαστεί για Κτίριο τραπέζι αλήθειας για λογική έκφραση.
Συνολικός πίνακας - πίνακας που περιέχει όλους τους πιθανούς συνδυασμούς μεταβλητών εισόδου και αντίστοιχων τιμών στην έξοδο.
Ο πίνακας αλήθειας περιέχει 2 n χορδές, όπου n είναι ο αριθμός των μεταβλητών εισόδου και οι στήλες N + M, όπου m είναι οι μεταβλητές εξόδου.

Εντολή. Όταν εισάγετε το πληκτρολόγιο, χρησιμοποιήστε την ακόλουθη σημείωση: Για παράδειγμα, μια λογική έκφραση ABC + AB + A-BC πρέπει να χορηγείται ως εξής: a * b * c + a * b \u003d c + a \u003d b * c
Για να εισαγάγετε δεδομένα με τη μορφή λογικού κυκλώματος, χρησιμοποιήστε αυτήν την υπηρεσία.

Λογικοί κανόνες εισόδου

Αντί του συμβόλου V (αποσύνδεση, ή), χρησιμοποιήστε το σύμβολο +.
Πριν από τη λογική λειτουργία, δεν χρειάζεται να καθορίσετε τη λειτουργία ονομασίας. Για παράδειγμα, αντί για f (x, y) \u003d (x | y) \u003d (x ^ y), είναι απαραίτητο να εισέλθετε απλά (x | y) \u003d (x ^ y).
Ο μέγιστος αριθμός μεταβλητών είναι 10.

Το σχεδιασμό και η ανάλυση των λογικών συστημάτων του υπολογιστή πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας ένα ειδικό τμήμα των μαθηματικών - λογική άλγεβρα. Στη λογική άλγεβρα, είναι δυνατόν να επισημανθούν τρεις κύριες λογικές λειτουργίες: "όχι" (άρνηση), "και" (συνδυασμό), "ή" (αποστολή).
Για να δημιουργήσετε οποιαδήποτε λογική συσκευή, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η εξάρτηση από κάθε μία από τις μεταβλητές εξόδου από τις ενεργές μεταβλητές εισόδου, μια τέτοια εξάρτηση ονομάζεται λειτουργία διακόπτη ή η λειτουργία της λογικής άλγεβρας.
Η λειτουργία της λογικής άλγεβρας ονομάζεται πλήρως καθορισμένη εάν οριστεί και τα 2 n, όπου n είναι ο αριθμός των μεταβλητών εξόδου.
Εάν δεν ορίζονται όλες οι τιμές, η λειτουργία ονομάζεται μερικώς καθορισμένη.
Η συσκευή ονομάζεται λογική εάν η κατάσταση του περιγράφεται χρησιμοποιώντας τη λειτουργία Logic Algebra.
Για να αντιπροσωπεύει τη λογική της λειτουργίας άλγεβρας, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες μέθοδοι:

Μια λεκτική περιγραφή είναι μια μορφή που χρησιμοποιείται στο αρχικό στάδιο σχεδιασμού έχει μια υπό όρους αναπαράσταση.
Περιγραφή της λειτουργίας της λογικής άλγεβρας με τη μορφή ενός πίνακα αλήθειας.
Περιγραφή της λειτουργίας της άλγεβρας της λογικής υπό τη μορφή αλγεβρικής έκφρασης: Χρησιμοποιούνται δύο αλγεβρικά σχήματα:
αλλά) DNF - Διακοσμητικό Κανονική μορφή - Αυτή είναι η λογική ποσότητα στοιχειωδών λογικών έργων. Το DNF λαμβάνεται από τον πίνακα αλήθειας σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο ή κανόνα:
1) Ο πίνακας επιλέγεται αυτές τις γραμμές μεταβλητών για τις οποίες η λειτουργία στην έξοδο \u003d 1.
2) Για κάθε σειρά μεταβλητών, καταγράφεται ένα λογικό προϊόν. Επιπλέον, οι μεταβλητές \u003d 0 καταγράφονται με αναστροφή.
3) Το προκύπτον προϊόν συνοψίζεται λογικά.
Fdff \u003d x 1 * x 2 * x 3 ∨ x 1 x 2 x 3 ∨ x 1 x 2 x 3 ∨ x 1 x 2 x 3
Το DNF ονομάζεται τέλειο εάν όλες οι μεταβλητές έχουν την ίδια τάξη ή τάξη, δηλ. Κάθε προϊόν πρέπει να περιλαμβάνει όλες τις μεταβλητές σε άμεση ή αντίστροφη μορφή.
σι) KNF - Συζευκτική κανονική μορφή - Αυτό είναι ένα λογικό προϊόν στοιχειωδών λογικών ποσών.
Το CNF μπορεί να ληφθεί από τον πίνακα αλήθειας σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο:
1) Επιλέξτε τα σύνολα μεταβλητών για τις οποίες η λειτουργία στην έξοδο \u003d 0
2) Για κάθε σύνολο μεταβλητών, γράψτε τη στοιχειώδη λογική ποσότητα και οι μεταβλητές \u003d 1 γράφονται με τους APERS.
3) Τα ποσά που ελήφθησαν λογικά.
Fsknf \u003d (x 1 v x 2 v x 3) ∧ (x 1 V x 2 V x 3) ∧ (x 1 V x 2 V x 3) ∧ (x 1 v x 2 v x 3)
Το CNF καλείται τέλειοΕάν όλες οι μεταβλητές έχουν την ίδια θέση.

Με αλγεβρική μορφή, μπορείτε να δημιουργήσετε ένα λογικό διάγραμμα χρησιμοποιώντας λογικά στοιχεία.

Σχήμα1- Λογικό διάγραμμα συσκευής

Όλες οι λειτουργίες της λογικής άλγεβρας προσδιορίζονται Τίτλοι της αλήθειας αξίες. Το Tatac της αλήθειας καθορίζει το αποτέλεσμα της εκτέλεσης της επιχείρησης Όλα τα δυνατάx λογικές τιμές των αρχικών δηλώσεων. Ο αριθμός των επιλογών που αντικατοπτρίζει το αποτέλεσμα της χρήσης των εργασιών θα εξαρτηθεί από τον αριθμό των δηλώσεων σε λογικούς όρους. Εάν ο αριθμός των δηλώσεων στη λογική έκφραση Ν, ο πίνακας αλήθειας θα περιέχει 2 n χορδές, καθώς υπάρχουν 2 n διαφορετικοί συνδυασμοί πιθανών τιμών των επιχειρημάτων.

Λειτουργία όχι - Λογική άρνηση (αναστροφή)

Η λογική λειτουργία δεν ισχύει για ένα επιχείρημα, το οποίο μπορεί να είναι απλό και μια πολύπλοκη λογική έκφραση. Το αποτέλεσμα της λειτουργίας δεν είναι το ακόλουθο κείμενο:

Εάν η αρχική έκφραση είναι πραγματικά αληθινή, τότε το αποτέλεσμα της άρνησης του θα είναι ψευδές.
Εάν η αρχική έκφραση είναι ψευδής, τότε το αποτέλεσμα της άρνησης του θα είναι αληθές.

Οι ακόλουθες υπό όρους ονομασίες δεν λαμβάνονται για τη λειτουργία άρνησης:
Όχι Α, Α, όχι Α, ¬,
Το αποτέλεσμα της άρνησης δεν καθορίζεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας:

ΕΝΑ.	δεν είναι.
0	1
1	0

Το αποτέλεσμα της άρνησης λειτουργίας είναι αληθές όταν η αρχική δήλωση είναι ψευδής και αντίστροφα.

Λειτουργία ή - Λογική προσθήκη (Διασφάλιση, Σύνδεσμος)

Μια λογική λειτουργία ή εκτελεί τη λειτουργία του συνδυασμού δύο δηλώσεων, οι οποίες μπορεί να είναι απλές και μια πολύπλοκη λογική έκφραση. Οι δηλώσεις που αρχικά για μια λογική λειτουργία καλούνται επιχειρήματα. Το αποτέλεσμα της λειτουργίας ή είναι μια έκφραση που θα είναι αλήθεια τότε και μόνο αν γίνει πραγματικά μία από τις αρχικές εκφράσεις.
Εφαρμογές που χρησιμοποιήθηκαν: Α ή Β, και V Β, Α ή Β, Α || Β.
Το αποτέλεσμα της λειτουργίας ή καθορίζεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας:
Το αποτέλεσμα της επιχείρησης ή είναι αληθινό όταν αληθινά, ή αληθινά, ή αληθινά και ταυτόχρονα και είναι ψευδής όταν τα επιχειρήματα Α και Β είναι ψευδείς.

Λειτουργία και - Λογικός πολλαπλασιασμός (Συγχρονισμός)

Λογική λειτουργία και εκτελεί τη διασταύρωση δύο δηλώσεων (επιχειρήματα), τα οποία μπορεί να είναι απλά και μια πολύπλοκη λογική έκφραση. Το αποτέλεσμα της λειτουργίας είναι η έκφραση που θα ισχύει τότε και μόνο εάν είναι αληθινές και οι δύο αρχικές εκφράσεις.
Εφαρμογές εφαρμογών: Α και Β, ΑΛ Β, Α & Β, Α και Β.
Το αποτέλεσμα της λειτουργίας καθορίζεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας:

ΕΝΑ.	ΣΙ.	Α και Β.
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Το αποτέλεσμα της λειτουργίας και είναι αληθές και μόνο εάν οι δηλώσεις του Α και Β είναι αληθινές ταυτόχρονα και είναι ψευδές σε όλες τις άλλες περιπτώσεις.

Λειτουργία "αν κάτι" - Λογική μετά (επιπτώσεις)

Αυτή η λειτουργία συνδέει δύο απλά Λογικές εκφράσεις, εκ των οποίων η πρώτη είναι μια κατάσταση και η δεύτερη είναι συνέπεια αυτής της κατάστασης.
Εφαρμοσμένες εφαρμογές:
Αν α, στη συνέχεια μέσα. Και συνεπάγεται. Αν στη συνέχεια μέσα. A → V.
Πίνακας δεξαμενών:

ΕΝΑ.	ΣΙ.	A → B.
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Το αποτέλεσμα της λειτουργίας παρακολούθησης (επιπτώσεις) είναι ψευδές μόνο όταν η προϋπόθεση είναι αληθής και το συμπέρασμα στο (συνέπεια) είναι ψευδές.

Λειτουργία "και στη συνέχεια και μόνο εάν στο" (ισοδυναμία, ισοδυναμία)

Εφαρμοστέο ονομασία: A ↔ B, A ~ V.
Πίνακας δεξαμενών:

ΕΝΑ.	ΣΙ.	A↔B.
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Λειτουργία "Προσθήκη της μονάδας 2" (XOR, εξαιρουμένου ή αυστηρής αποσύνδεσης)

Εφαρμοστέο ονομασία: XOR B, A ⊕ V.
Πίνακας δεξαμενών:

ΕΝΑ.	ΣΙ.	A⊕B.
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Το αποτέλεσμα της λειτουργίας της ισοδυναμίας είναι αληθές μόνο όταν το A και ταυτόχρονα είναι αληθινό ή ταυτόχρονα ψευδές.

Προτεραιότητα των λογικών λειτουργιών

Ενέργειες σε παρένθεση
Αναστροφή
Συγχρονισμός (&)
Διασφάλιση (V), εξαιρουμένου ή (XOR), άθροισμα της μονάδας 2
ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ (→)
Ισοδυναμία (↔)

Τέλεια διαζευκτική κανονική μορφή

Τέλεια διαζευκτική κανονική φόρμουλα (SDNF) είναι ένας ισοδύναμος τύπος σε αυτό, το οποίο αποτελεί αντικείμενο στοιχειωδών συζυγών, η οποία έχει ιδιότητες:

Κάθε λογικό συστατικό του τύπου περιέχει όλες τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στη λειτουργία F (x 1, x 2, ... x n).
Όλοι οι λογικοί όροι των τύπων είναι διαφορετικοί.
Κανένας λογικός όρος δεν περιέχει μια μεταβλητή και την αρνήθηκε.
Κανένας λογικός όρος τύπου δεν περιέχει δύο φορές την ίδια μεταβλητή.

Το SDNF μπορεί να ληφθεί ή να χρησιμοποιεί τους πίνακες αλήθειας ή χρησιμοποιώντας ισοδύναμες μετασχηματισμούς.
Για κάθε λειτουργία, το SDNF και το SCFF προσδιορίζονται μεμονωμένα μέχρι τη μετάθεση.

Τέλεια συμπληρωματική κανονική μορφή

Τέλειο συζευγμένο κανονικό τύπο φόρμουλα (SCPF)Είναι ισοδύναμο με τη φόρμουλα της, η οποία είναι ένας συνδυασμός στοιχειωδών διαταραχών που ικανοποιούν τις ιδιότητες:

Όλες οι στοιχειώδεις διαφημίσεις περιέχουν όλες τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στη λειτουργία F (x 1, x 2, ... x n).
Όλες οι στοιχειώδεις διαφορές είναι διαφορετικές.
Κάθε στοιχειώδης αποσύνδεση περιέχει μια μεταβλητή μία φορά.
Καμία στοιχειώδη διακόπτη δεν περιέχει μια μεταβλητή και την αρνήθηκε.

Κατά την κατασκευή ξεχωριστών κόμβων υπολογιστών, είναι πολύ συχνά απαραίτητο να λύσετε το πρόβλημα της οικοδόμησης λειτουργικών λογικών κυκλωμάτων για συγκεκριμένες λειτουργίες. Για αυτό, αρκεί να είναι ότι η αληθινή δήλωση αντιστοιχεί στο γεγονός ότι η αλυσίδα διεξάγει το ρεύμα και η ψευδή αλυσίδα είναι σκισμένη.

Λογικές λειτουργίες Οι συζεύξεις, η αποσύνδεση, η αντιστροφή εφαρμόζονται σε έναν υπολογιστή χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα στοιχειώδη προγράμματα.

Το συνδυασμό είναι ένα λογικό στοιχείο "και":

Αυτό το στοιχείο εκτελεί τη λειτουργία λογικού πολλαπλασιασμού (συνδυασμό): f \u003d x 1 ù x 2 ùx 3 ù ... ùx n; και έχει n εισροές και μία έξοδο.

Η δυσλειτουργία είναι ένα λογικό στοιχείο "ή":

Αυτό το στοιχείο εκτελεί τη λειτουργία λογικής προσθήκης (αποσύνδεση): f \u003d x 1 ú x 2 úx 3 ú ... úx n; και έχει n εισροές και μία έξοδο.

Η αναστροφή είναι ένα λογικό στοιχείο "όχι":

Αυτό το στοιχείο εκτελεί τη λειτουργία λογικής άρνησης (αναστροφής): f \u003d; Και έχει μια είσοδο και μία διέξοδο.

Τα σύνθετα λειτουργικά συστήματα μπορούν να σχεδιαστούν από τα κύρια λογικά στοιχεία χρησιμοποιώντας τους βασικούς νόμους της Boolean Algebra

Παράδειγμα της εργασίας δοκιμής

Το έργο:

Dana χαρακτηριστικό,

1. Κάντε ένα λειτουργικό σύστημα λογικής για αυτή τη λειτουργία.

2. Απλοποιήστε τη λογική λειτουργία (χρησιμοποιώντας τους νόμους της Boolean Algebra) και ελέγξτε τη μετατροπή στον πίνακα αλήθειας.

3. Κάντε ένα λειτουργικό σύστημα λογικής για απλοποιημένη λειτουργία.

Εκτέλεση:

1. Κάντε ένα τραπέζι αλήθειας για μια δεδομένη λειτουργία:

Χ.	Y.

2. Κάντε ένα λειτουργικό σύστημα λογικής για μια δεδομένη λειτουργία:

3. Απλοποιήστε τη συγκεκριμένη λειτουργία χρησιμοποιώντας τους νόμους της Boolean Algebra:

α) Σύμφωνα με τον νόμο de Morgana - 9

β) σύμφωνα με το νόμο της IDempotency - 13

γ) Νόμος άρνηση άρνησης - 1

Δ) Νόμος διανομής - 6

ε) Ιδιότητες 1 και 0 - 19

ε) Ιδιότητες 1 και 0 - 16

Έτσι, η απλοποιημένη λειτουργία έχει τη μορφή:

4. Κάντε ένα τραπέζι αλήθειας για απλοποιημένη λειτουργία:

Χ.	Y.

Έτσι, συγκρίνοντας τους πίνακες αλήθειας για τις αρχικές και απλοποιημένες λειτουργίες (οι τελευταίες στήλες τους) συμπεραίνουμε σχετικά με την ορθότητα του μετασχηματισμού που εκτελείται.

5. Κάντε ένα λειτουργικό σύστημα λογικής για απλοποιημένη λειτουργία:

Εργασία για τη δοκιμή

Η λειτουργία F (x, y) δίνεται, ο αριθμός λειτουργίας στον πίνακα αντιστοιχεί στον αριθμό ακολουθίας του μαθητή στη λίστα.

4. Κάντε ένα λειτουργικό σύστημα λογικής για αυτή τη λειτουργία.

5. Απλοποιήστε τη λογική λειτουργία (χρησιμοποιώντας τους νόμους Boolean Algebra) και ελέγξτε τη μετατροπή στον πίνακα αλήθειας.