قاعدة نظام الأرقام الموضعية هي عدد صحيح q ، والذي يتم رفعه إلى أس.

أساس نظام الأرقام الموضعية هو سلسلة من الأرقام ، يحدد كل منها المعادل الكمي (الوزن) للرمز ، اعتمادًا على مكانه في رمز الرقم.

الأساس العشري: ... 10 ن, 10ن –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – م ,…

أساس نظام رقم الموضع التعسفي: ... ف ن, ف ن –1 , …, ف 1 , ف 0 , ف –1 , …, ف – م, …

يتم تصوير القاعدة في أي نظام على أنها 10 ، ولكن لها قيمة كمية مختلفة. يوضح عدد المرات التي تتغير فيها القيمة الكمية للرقم عندما يتم نقله إلى موضع مجاور. العديد من الأنظمة الموضعية ممكنة ، حيث يمكن اعتبار أي رقم ، لا يقل عن 2 ، كأساس لنظام الأرقام.

يتوافق اسم نظام الأرقام مع قاعدته (عشري ، ثنائي ، خماسي ، إلخ).

في نظام الرقم الأساسي ف (ف-نظام الأرقام المتوالية) وحدات الأرقام هي قوى متتالية لرقم ف ،بعبارة أخرى، فوحدات من أي فئة تشكل وحدة الفئة التالية.

لكتابة الأرقام ف-نظام الأرقام المطلوبة فأحرف مختلفة (أرقام) تمثل الأرقام 0 ، 1 ، ... ، ف – 1.

لذلك ، فإن قاعدة نظام الأرقام الموضعية تساوي عدد الأحرف (الأحرف) في أبجديتها. كتابة رقم فالخامس ف-نظام الأرقام لديه الشكل 10.

مثال 1نظام الرقم الثماني.

قاعدة: ف = 8.

الأبجدية: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 و 7.

الأرقام: على سبيل المثال ، 45023.152 8 ؛ 751.001 8.

مثال 2نظام رقم خماسي .

قاعدة: ف = 5.

الأبجدية: 0 ، 1 ، 2 ، 3 و 4.

الأرقام: على سبيل المثال ، 20304 5 ؛ 324.03 5.

مثال 3نظام رقم سداسي عشري.

قاعدة: ف = 16.

الأبجدية: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، ف.

هنا ، عشرة أرقام فقط من أصل ستة عشر لديها التعيين المقبول عمومًا 0-9. لكتابة الأحرف المتبقية من الأبجدية (10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 و 15) ، عادةً ما يتم استخدام الأحرف الخمسة الأولى من الأبجدية اللاتينية.

الأرقام: على سبيل المثال ، B5C3،1A2 16 ؛ 355.0FA01 8.

في نظام الأرقام الموضعية يمكن تمثيل أي رقم حقيقي بالشكل التالي:

أ ف = ±( أ–1 × ف ن –1 + أ–2 × ف ن –2 +…+ أ 0 × ف 0 + أ–1 × ف –1 + أ–2 × ف –2 +…+ أ –م × ف م) أو (1) أو ±.

هنا أ -الرقم نفسه ف-الجذر.
أنا- الأرقام التي تنتمي إلى الأبجدية لنظام الأرقام المحدد ؛ ف -عدد الأرقام الصحيحة للرقم ؛ تي -عدد الكسور من الرقم.

يسمى توسيع الرقم وفقًا للصيغة (1) تدوين موسع . خلاف ذلك ، يسمى هذا الشكل من التدوين متعدد الحدودأو قوة.

مثال 1عدد عشري أ 10 = 5867.91 وفقًا للصيغة (1) يتم تقديمها على النحو التالي:

أ 10 \ u003d 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 -1 + 1 × 10 -2.

مثال 2الصيغة (1) لنظام الأرقام الثماني لها الشكل:

أ 8 = ± ( أ–1 × 8 ن –1 + أ-2 × 8 ن –2 +…+ أ 0 × 80+ أ–1 × 8 –1 + أ–2 × 8 –2 +… + أكون× ٨- م),

أين أنا- الأعداد من 0 إلى 7.

سيتم كتابة الرقم الثماني A 8 \ u003d 7064.3 بالشكل (1) على النحو التالي:

أ 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 -1.

مثال 3عدد خمسة أضعاف أ 5 \ u003d 2430.21 وفقًا للصيغة (1) ستتم كتابتها على النحو التالي:

أ 5 = 2 x 5 3 + 4 x 5 2 + 3 x 5 "+ 0 x 5 ° + 2 x 5 -1 + 1 x 5 -2.

بإيجاد قيمة هذا التعبير ، يمكنك الحصول على المكافئ العشري للرقم الخماسي المحدد: 365.44 10.

مثال 4في التدوين السداسي العشري ، الإدخال 3 AF 16 يعني:

3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

| تخطيط الدرس ومواد الدرس | 8 فصول | تخطيط الدرس للعام الدراسي (وفقًا للكتاب المدرسي لـ N.D. Ugrinovich) | الأشكال الموسعة والمنهارة لكتابة الأرقام. الترجمة من نظام الأعداد العشوائية إلى النظام العشري

الدرس 19
الأشكال الموسعة والمنهارة لكتابة الأرقام. الترجمة من نظام الأعداد العشوائية إلى النظام العشري

§ 4.1. ترميز المعلومات العددية

4.1.2. العمليات الحسابية في أنظمة الأعداد الموضعية

يتم إجراء العمليات الحسابية في جميع أنظمة الأرقام الموضعية وفقًا لنفس القواعد المعروفة.

إضافة.ضع في اعتبارك إضافة الأرقام في نظام الأرقام الثنائية. يعتمد على جدول إضافة الأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد:

0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.

من المهم الانتباه إلى حقيقة أنه عند إضافة وحدتين ، يتم تجاوز البت ويحدث النقل إلى أعلى بت. يحدث الفائض عندما تصبح قيمة أحد الأرقام فيه مساوية أو أكبر من قاعدة نظام الأرقام. بالنسبة لنظام الأرقام الثنائية ، هذه القيمة هي اثنان.

تتم إضافة أرقام ثنائية متعددة الأرقام وفقًا لجدول الإضافة أعلاه ، مع مراعاة عمليات النقل المحتملة من الأرقام السفلية إلى الأرقام الأعلى. كمثال ، دعنا نجمع الأعداد الثنائية 110 2 و 11 2 في عمود:

دعونا نتحقق من صحة العمليات الحسابية عن طريق الجمع في نظام الأرقام العشري. لنحول الأعداد الثنائية إلى نظام الأعداد العشرية ثم نضيفها:

الآن نترجم نتيجة الجمع الثنائي إلى رقم عشري:

قارن النتائج - الإضافة صحيحة.

الطرح.ضع في اعتبارك طرح الأعداد الثنائية. يعتمد على جدول طرح للأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد.

عند طرح رقم أصغر (0) رقم أكبر (1) ، يتم إجراء قرض من أعلى ترتيب. في الجدول ، يُشار إلى القرض بالرقم 1 بخط:

يتم طرح الأرقام الثنائية متعددة الأرقام وفقًا لجدول الطرح أعلاه ، مع مراعاة الاقتراضات المحتملة من الأرقام عالية الترتيب. كمثال ، دعنا نطرح العددين الثنائي 110 2 و 11 2:

عمليه الضرب.يعتمد الضرب على جدول الضرب للأرقام الثنائية المكونة من رقم واحد:

يتم تنفيذ مضاعفة الأرقام الثنائية متعددة الأرقام وفقًا لجدول الضرب أعلاه وفقًا للمخطط المعتاد المستخدم في نظام الأرقام العشرية ، مع الضرب المتتالي للمضاعف بالرقم التالي من المضاعف. كمثال ، دعونا نضرب العددين الثنائي 110 2 و 11 2:

قسم.يتم تنفيذ عملية القسمة وفقًا لخوارزمية مشابهة لخوارزمية عملية القسمة في نظام الأرقام العشري. كمثال ، دعنا نقسم الرقم الثنائي 110 2 على 11 2:

لإجراء عمليات حسابية على الأرقام المعبر عنها بـ أنظمة مختلفةحساب التفاضل والتكامل ، يجب عليك أولاً ترجمتها إلى نفس النظام.

مهام لتحقيق الذات

4.6 سؤال مع إجابة مفصلة.نفذ عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة للأعداد الثنائية 1010 2 و 10 2

الرموز

الرموز - هذه طريقة لتمثيل الأرقام والقواعد المقابلة للعمل على الأرقام. يمكن تقسيم أنظمة الأرقام المختلفة التي كانت موجودة من قبل وتستخدم اليوم إلى غير موضعيو الموضعية. العلامات المستخدمة عند كتابة الأرقام، وتسمى أعداد.

في أنظمة الأرقام غير الموضعية لا تعتمد قيمة الرقم على موقعه في الرقم.

مثال على نظام الأرقام غير الموضعي هو النظام الروماني (الأرقام الرومانية). في النظام الروماني ، يتم استخدام الأحرف اللاتينية كأرقام:

مثال 1يتكون الرقم CCXXXII من مائتين وثلاث عشرات ووحدتين ويساوي مائتين واثنان وثلاثين.

تتم كتابة الأرقام الرومانية من اليسار إلى اليمين بترتيب تنازلي. في هذه الحالة ، يتم إضافة قيمهم. إذا تمت كتابة رقم أصغر على اليسار ورقم كبير على اليمين ، فسيتم طرح قيمهما.

مثال 2

السادس = 5 + 1 = 6 ؛ رابعًا = 5-1 = 4.

مثال 3

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

في أنظمة عدد المواقع تعتمد القيمة المشار إليها برقم في إدخال رقم على موضعها. يسمى عدد الأرقام المستخدمة أساس نظام الأرقام الموضعية.

نظام الأرقام المستخدم في الرياضيات الحديثة هو نظام عشري موضعي. قاعدتها عشرة ، لأن تتم كتابة أي أرقام باستخدام عشرة أرقام:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

من السهل فهم الطبيعة الموضعية لهذا النظام من خلال مثال أي رقم متعدد الأرقام. على سبيل المثال ، في العدد 333 ، الثلاثة الأولى تعني ثلاثمائة ، والثاني - ثلاث عشرات ، والثالث - ثلاث وحدات.

لكتابة الأرقام في نظام موضعي بقاعدة نيجب ان يملك الأبجديةمن نأرقام. عادة لهذا ن < 10 используют نالأرقام العربية الأولى ، و نيتم إضافة> 10 أحرف إلى عشرة أرقام عربية. فيما يلي أمثلة على الأبجديات من عدة أنظمة:

إذا كان مطلوبًا للإشارة إلى أساس النظام الذي ينتمي إليه الرقم ، فسيتم تخصيصه لهذا الرقم. على سبيل المثال:

1011012 ، 36718 ، 3B8F16.

في نظام الرقم الأساسي ف (ف-نظام الأرقام المتوالية) وحدات الأرقام هي قوى متتالية لرقم ف. فوحدات من أي فئة تشكل وحدة الفئة التالية. لكتابة رقم ل ف-نظام الأرقام المطلوبة فأحرف مختلفة (أرقام) تمثل الأرقام 0 ، 1 ، ... ، ف- 1. كتابة رقم فالخامس ف-نظام الأرقام لديه الشكل 10.

شكل موسع لكتابة رقم

يترك أ- الرقم في النظام الأساسي ف, ai -أرقام نظام رقم معين موجودة في تدوين رقم أ, ن+ 1 - عدد أرقام الجزء الصحيح من الرقم ، م- عدد أرقام الجزء الكسري من الرقم:

شكل رقم موسع أيسمى سجل في النموذج:

على سبيل المثال ، للرقم العشري:

توضح الأمثلة التالية الشكل الموسع للأرقام السداسية العشرية والثنائية:

في أي نظام رقمي ، تتم كتابة قاعدته على شكل 10.

إذا تم تقديم جميع المصطلحات في الشكل الموسع لرقم غير عشري في النظام العشري وتم حساب التعبير الناتج وفقًا لقواعد الحساب العشري ، فسيتم الحصول على رقم في النظام العشري يساوي الرقم المحدد. وفقًا لهذا المبدأ ، يتم التحويل من نظام غير عشري إلى نظام عشري. على سبيل المثال ، يتم التحويل إلى النظام العشري للأرقام المكتوبة أعلاه على النحو التالي:

يترك أ- الرقم في النظام الأساسي ف, ai -أرقام نظام رقم معين موجودة في تدوين رقم أ, ن+ 1 - عدد أرقام الجزء الصحيح من الرقم ، م- عدد أرقام الجزء الكسري من الرقم:

شكل رقم موسع أيسمى سجل في النموذج:

على سبيل المثال ، للرقم العشري:

توضح الأمثلة التالية الشكل الموسع للأرقام السداسية العشرية والثنائية:

في أي نظام رقمي ، تتم كتابة قاعدته على شكل 10.

إذا تم تقديم جميع المصطلحات في الشكل الموسع لرقم غير عشري في النظام العشري وتم حساب التعبير الناتج وفقًا لقواعد الحساب العشري ، فسيتم الحصول على رقم في النظام العشري يساوي الرقم المحدد. وفقًا لهذا المبدأ ، يتم التحويل من نظام غير عشري إلى نظام عشري. على سبيل المثال ، يتم التحويل إلى النظام العشري للأرقام المكتوبة أعلاه على النحو التالي:

تحويل الأعداد العشرية إلى أنظمة أعداد أخرى

الترجمة الصحيحة

عدد عشري صحيح Xيجب نقلها إلى نظام ذي قاعدة ف: X = (أن أن -1 ... أ 1 أ 0) ف. تحتاج إلى البحث شخصيات مهمةأعداد: دعنا نمثل الرقم في شكل موسع ونجري التحويل المماثل:

من هنا يتضح ذلك أ 0 هو باقي قسمة الرقم Xلكل رقم ف. التعبير بين قوسين هو حاصل القسمة الصحيحة. دعونا نصنفها على أنها X 1. عند إجراء تحولات مماثلة ، نحصل على:

لذلك، أ 1 هو باقي القسمة X 1 في ف. مع استمرار القسمة مع الباقي ، سوف نحصل على سلسلة من الأرقام من الرقم المطلوب. رقم افي هذه السلسلة من التقسيمات سيكون الأخير الخاص ، وأصغر ف.

لنقم بصياغة القاعدة الناتجة: من أجل تحويل رقم عشري كامل إلى نظام رقمي ذي أساس مختلف ، فأنت بحاجة:

1) التعبير عن أساس نظام الأرقام الجديد في نظام الأرقام العشري وتنفيذ جميع الإجراءات اللاحقة وفقًا لقواعد الحساب العشري ؛

2) قسّم بالتتابع الرقم المعطى وحاصلات القسمة الجزئية الناتجة على أساس نظام الأرقام الجديد حتى نحصل على حاصل قسمة غير مكتمل أقل من المقسوم عليه ؛

3) الباقي الناتج ، وهو خانات الرقم في نظام جديدحساب التفاضل والتكامل ، اجعله يتماشى مع أبجدية نظام الأرقام الجديد ؛

4) يؤلف رقمًا في نظام الأرقام الجديد ، مع كتابته بدءًا من آخر رقم خاص.

مثال 1حوّل العدد 37 10 إلى نظام ثنائي.

للدلالة على الأرقام في تدوين الرقم ، نستخدم الرمزية: أ 5 أ 4 أ 3 أ 2 أ 1 أ 0

ومن ثم: 37 10 = l00l0l 2

مثال 2تحويل الرقم العشري 315 إلى نظام ثماني وعشري:

يتبع من هنا: 315 10 = 473 8 = 13B 16. تذكر أن 11 10 = ب 16.

عدد عشري X < 1 требуется перевести в систему с основанием ف: X = (0, أ –1 أ –2 … أ- م + 1 أ–m) q. تحتاج إلى العثور على أرقام الرقم المهمة: أ –1 ,أ –2 , …, أ–m. دعونا نمثل الرقم في شكل موسع ونضربه في ف:

من هنا يتضح ذلك أ-1 هو الجزء الكامل من العمل Xلكل رقم ف. للدلالة به X 1 جزء كسري من حاصل الضرب واضربه في ف:

لذلك، أ-2 هو الجزء الكامل من المنتج X 1 لكل رقم ف. مع استمرار الضرب ، نحصل على سلسلة من الأرقام. لنقم الآن بصياغة القاعدة: من أجل تحويل كسر عشري إلى نظام رقمي ذي أساس مختلف ، فأنت بحاجة:

1) مضاعفة الرقم المعطى والأجزاء الكسرية الناتجة من المنتجات على التوالي بواسطة أساس النظام الجديد حتى يصبح الجزء الكسري من المنتج مساويًا للصفر أو الوصول إلى الدقة المطلوبة لتمثيل الرقم في نظام الأرقام الجديد ؛

2) الأجزاء الناتجة من المنتجات ، وهي أرقام رقم في نظام الأرقام الجديد ، تجعلها متوافقة مع أبجدية نظام الأرقام الجديد ؛

3) قم بتكوين الجزء الكسري من الرقم في نظام الأرقام الجديد ، بدءًا من الجزء الصحيح من المنتج الأول.

مثال 3تحويل عشري 0.1875 إلى ثنائي وثماني وست عشري.

هنا ، الجزء الصحيح من الأرقام موجود في العمود الأيسر ، والجزء الكسري في العمود الأيمن.

ومن ثم: 0.1875 10 = 0.0011 2 = 0.14 8 = 0.3 16

ترجمة الأعداد الكسرية، التي تحتوي على أجزاء صحيحة وجزئية ، يتم تنفيذها على مرحلتين. يتم ترجمة العدد الصحيح والجزء الكسري من الرقم الأصلي بشكل منفصل وفقًا للخوارزميات المقابلة. في السجل النهائي لرقم في نظام الأرقام الجديد ، يتم فصل جزء العدد الصحيح عن الفاصلة الكسرية (نقطة).

يرتبط موضوع "أنظمة الأرقام" ارتباطًا مباشرًا بالنظرية الرياضية للأرقام. ومع ذلك ، في دورة الرياضيات المدرسية ، كقاعدة عامة ، لا يتم دراستها. ترتبط الحاجة إلى دراسة هذا الموضوع في دورة علوم الكمبيوتر بحقيقة أن الأرقام في ذاكرة الكمبيوتر يتم تمثيلها في نظام الأرقام الثنائية ، وتستخدم الأنظمة السداسية العشرية أو الثماني لتمثيل محتويات الذاكرة وعناوين الذاكرة خارجيًا. هذا هو أحد الموضوعات التقليدية في علوم الكمبيوتر أو دورة البرمجة. كونها مرتبطة بالرياضيات ، هذا الموضوعيساهم أيضًا في التربية الرياضية الأساسية لأطفال المدارس.

بالنسبة لدورة علوم الكمبيوتر ، فإن الاهتمام الرئيسي هو الإلمام بنظام الأرقام الثنائية. يمكن النظر إلى استخدام نظام الأرقام الثنائية في الكمبيوتر من جانبين: 1) الترقيم الثنائي ، 2) الحساب الثنائي ، أي إجراء عمليات حسابية على الأرقام الثنائية.

الترقيم الثنائي

باستخدام الترقيم الثنائي ، يلتقي الطلاب في موضوع "تمثيل النص في ذاكرة الكمبيوتر". عند الحديث عن جدول الترميز ، يجب على المعلم إبلاغ الطلاب بأن الرمز الثنائي الداخلي للشخصية هو رقمه التسلسلي في نظام الأرقام الثنائية. على سبيل المثال ، رقم الحرف S في جدول ASCII هو 83. الرمز الثنائي المكون من ثمانية أرقام للحرف S يساوي قيمة هذا الرقم في النظام الثنائي: 01010011.

الحوسبة الثنائية

وفقًا لمبدأ John von Neumann ، يقوم الكمبيوتر بإجراء العمليات الحسابية في النظام الثنائي. في إطار الدورة الأساسية ، يكفي أن نحصر أنفسنا في التفكير في الحسابات ذات الأعداد الصحيحة الثنائية. لإجراء عمليات حسابية بأرقام متعددة الأرقام ، تحتاج إلى معرفة قواعد الجمع وقواعد ضرب الأعداد المكونة من رقم واحد. فيما يلي القواعد:

مبدأ التقليب في أعمال الجمع والضرب في جميع أنظمة الأرقام. تشبه تقنيات إجراء العمليات الحسابية بأرقام متعددة الأرقام في النظام الثنائي الطريقة العشرية. بمعنى آخر ، يتم تنفيذ إجراءات الجمع والطرح والضرب في "عمود" والقسمة على "زاوية" في النظام الثنائي بنفس الطريقة كما في النظام العشري.

ضع في اعتبارك قواعد طرح الأعداد الثنائية وقسمتها. عملية الطرح هي معكوس الجمع. من جدول الجمع أعلاه ، تتبع قواعد الطرح:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

فيما يلي مثال للطرح متعدد الأرقام:

يمكن التحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق إضافة الفرق مع المطروح. يجب أن يكون رقمًا متناقصًا.

القسمة هي العملية العكسية للضرب.
في أي نظام رقمي ، لا يمكنك القسمة على 0. نتيجة القسمة على 1 تساوي المقسوم. قسمة رقم ثنائي على 102 ينقل العلامة العشرية مكانًا واحدًا إلى اليسار ، تمامًا مثل القسمة العشرية على عشرة. على سبيل المثال:

القسمة على 100 تؤدي إلى إزاحة العلامة العشرية مرتين إلى اليسار ، وهكذا. في دورة اساسيةلا يجوز النظر فيها أمثلة معقدةقسمة الأعداد الثنائية متعددة القيم. على الرغم من أن الطلاب القادرين يمكنهم التعامل معهم ، إلا أنهم فهموا المبادئ العامة.

تمثيل المعلومات المخزنة في ذاكرة الكمبيوتر في شكلها الثنائي الحقيقي مرهق للغاية بسبب عدد كبيرأرقام. يشير هذا إلى تسجيل هذه المعلومات على الورق أو عرضها على الشاشة. لهذه الأغراض ، من المعتاد استخدام أنظمة ثنائية وثنائية مختلطة أو ثنائية سداسية عشرية.

هناك علاقة بسيطة بين التمثيل الثنائي والتمثيل السداسي العشري لرقم. عند ترجمة رقم من نظام إلى آخر ، فإن الرقم السداسي العشري يتوافق مع رمز ثنائي مكون من أربعة بتات. تنعكس هذه التطابقات في الجدول الثنائي-السداسي العشري:

جدول سداسي عشري ثنائي

تستند هذه العلاقة إلى حقيقة أن 16 = 2 4 وأن عدد المجموعات المكونة من أربعة أرقام مختلفة للأرقام 0 و 1 هو 16: من 0000 إلى 1111. لذلك يتم تحويل الأرقام من رقم سداسي عشري إلى ثنائي والعكس صحيح عن طريق التحويل الرسمي وفقًا للجدول الثنائي-السداسي العشري.

فيما يلي مثال لترجمة كود ثنائي 32 بت إلى نظام سداسي عشري:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

إذا تم إعطاء تمثيل سداسي عشري معلومات داخلية، ثم يمكن تحويلها بسهولة إلى رمز ثنائي. ميزة التمثيل السداسي العشري هي أنه أقصر بـ 4 مرات من الثنائي. من المستحسن أن يحفظ الطلاب الجدول الثنائي-السداسي العشري. ثم في الواقع بالنسبة لهم ، سيصبح التمثيل السداسي العشري مكافئًا للثنائي.

في النظام الثماني الثنائي ، كل رقم ثماني يتوافق مع ثالوث من الأرقام الثنائية. يتيح لك هذا النظام تقليل الكود الثنائي بمقدار 3 مرات.

الكلمات الدالة:

• الرموز
• رقم
• الأبجدية
• نظام رقم الموقع
• قاعدة
• شكل موسع للرقم
• مطوية من شكل رقم
• النظام الثنائي
• نظام رقم ثماني
• نظام رقم سداسي عشري

1.1.1. معلومات عامة حول أنظمة الأرقام

أرز. 1.1
تستخدم الإشارات لكتابة الأرقام في أنظمة الأرقام المختلفة

في أي نظام رقمي ، تُستخدم الأرقام للدلالة على الأرقام ، وتسمى العقدية ؛ يتم الحصول على الأرقام المتبقية (الخوارزمية) نتيجة لأي عمليات من أرقام العقد.

مثال 1. كانت الأعداد العقدية لدى البابليين ١ ، ١٠ ، ٦٠ ؛ في نظام الأرقام الرومانية ، الأرقام العقدية هي 1 ، 5 ، 10 ، 50 ، 100 ، 500 و 1000 ، يُشار إليها على التوالي بواسطة I ، V ، X ، L ، C ، D ، M.

تختلف أنظمة الأرقام في اختيار الأرقام العقدية وفي طرق تشكيل الأرقام الحسابية. يمكن تمييز الأنواع التالية من أنظمة الأرقام:

1. أنظمة أحادية
2. أنظمة غير موضعية
3. أنظمة الموقع.

أبسط وأقدم نظام هو ما يسمى بنظام الأرقام الأحادي. يستخدم رمزًا واحدًا فقط لكتابة أي أرقام - عصا ، عقدة ، شق ، حصاة. يرتبط طول سجل الرقم في هذا الترميز ارتباطًا مباشرًا بقيمته ، مما يجعل هذه الطريقة مرتبطة بالتمثيل الهندسي للأرقام في شكل مقاطع. إنه النظام الأحادي الذي يكمن في أساس الحساب ، وهو الذي لا يزال يقدم طلاب الصف الأول إلى عالم العد. تسمى الأنظمة الأحادية أيضًا أنظمة العلامات.

في أنظمة الأرقام غير الموضعية ، يتم تكوين الأرقام عن طريق إضافة أرقام العقد.

مثال 2. في نظام الأرقام المصري القديم ، تم الإشارة إلى الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 10 ، 13 ، 40 على التوالي على النحو التالي:

تم تعيين نفس الأرقام في نظام الأرقام الرومانية على النحو التالي: I ، II ، III ، IV ، X ، XIII ، XL. هنا ، يتم الحصول على أرقام الخوارزمية عن طريق إضافة وطرح أرقام العقد ، مع مراعاة القاعدة التالية: يتم إضافة كل علامة أصغر موضوعة على يمين العلامة الأكبر إلى قيمتها ، وكل علامة أصغر توضع على يسار العلامة الأكبر هي مطروح منه.

النظام العشري لتدوين الأرقام ، الذي اعتدنا استخدامه في الحياة اليومية ، والذي اعتدنا عليه منذ الطفولة ، والذي نجري فيه جميع حساباتنا ، هو مثال على نظام الأرقام الموضعية. في ذلك ، يتم تشكيل الأرقام الحسابية على النحو التالي: يتم ضرب قيم الأرقام بـ "أوزان" الأرقام المقابلة وتضاف جميع القيم الناتجة. يظهر هذا بوضوح في أرقام اللغة الروسية ، على سبيل المثال: "ثلاثمائة وخمسة وعشرة وسبعة."

يمكن أن تكون قاعدة نظام الأرقام الموضعية أي عدد طبيعي q> 1.

تتكون أبجدية النظام العشري من الأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. الأبجدية لنظام الأرقام الموضعية التعسفي مع الأساس q هي الأرقام 0 ، 1 ، .. . ، q-1 ، يمكن كتابة كل منها بحرف فريد واحد ؛ أدنى رقم دائمًا هو O.

تتمثل المزايا الرئيسية لأي نظام رقم موضعي في سهولة إجراء العمليات الحسابية ومحدودية عدد الأحرف المطلوبة لكتابة أي أرقام.

أ 1 - الأرقام التي تنتمي إلى الأبجدية لنظام الأرقام هذا ؛

ف 1 - "وزن" من الفئة الأولى.

تسمى كتابة رقم وفقًا للصيغة (1) شكلاً موسعًا من الكتابة. الشكل المطوي لكتابة رقم هو تمثيله بالصيغة ± a n-1 a n-2 ... a 1 a 0، a -1 ... a -m 1

1 فيما يلي ، سيتم اعتبار الأعداد الصحيحة الموجبة فقط.

مثال 3اعتبر الرقم العشري 14351.1. شكله المطوي من التدوين مألوف جدًا لدرجة أننا لا نلاحظ كيف ننتقل في أذهاننا إلى التدوين الموسع ، وضرب أرقام الرقم في "أوزان" الأرقام وإضافة النواتج الناتجة:

1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .

1.1.2. نظام الأرقام الثنائية

نظام الأرقام الثنائية هو نظام رقم موضعي ذو أساس 2. لكتابة الأرقام في نظام الأرقام الثنائية ، يتم استخدام رقمين فقط: 0 و 1.

بناءً على الصيغة (1) للأعداد الصحيحة الثنائية ، يمكننا كتابة:

على سبيل المثال:

10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .

هذا الشكل من التدوين "يقترح" قاعدة تحويل الأعداد الثنائية الطبيعية إلى نظام الأعداد العشرية: من الضروري حساب مجموع قوى اثنين مناظرة لوحدتين في الشكل المطوي للرقم الثنائي.

نحصل من الصيغة (1 ") على قاعدة ترجمة الأعداد الصحيحة العشرية إلى نظام الأعداد الثنائية.

دعونا نقسم

أ n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 في 2.

سيكون الحاصل

أ ن -1 2 ن -2 + ... + أ 1 ،

والباقي سيكون 0.

يتم قسمة حاصل القسمة الناتج مرة أخرى على 2 ، ويساوي باقي القسمة 1.

إذا واصلنا عملية التقسيم هذه الخطوة التاسعةنحصل على مجموعة من الأرقام:

أ 0 ، أ 1 ، أ 2 ، ... ، أ ن -1

التي تم تضمينها في التمثيل الثنائي للرقم الأصلي وتتزامن مع الباقي عندما يتم تقسيمها تباعاً على 2. عند كتابة الرقم الأصلي في نظام الأرقام الثنائية ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الباقي من القسمة على 2 يتم الحصول عليها من قبلنا بالترتيب العكسي للأرقام المقابلة في التمثيل الثنائي للرقم الأصلي.

مثال 4. لنحول الرقم العشري 11 إلى نظام الأعداد الثنائية. يمكن وصف تسلسل الإجراءات المذكورة أعلاه (خوارزمية الترجمة) على النحو التالي:

عند كتابة باقي القسمة في الاتجاه المشار إليه بالسهم ، نحصل على: 11 10 = 1011 2.

مثال 5. إذا كان الرقم العشري كبيرًا بدرجة كافية ، فإن الطريقة التالية لكتابة الخوارزمية أعلاه تكون أكثر ملاءمة:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. نظام الرقم الثماني

نظام الأرقام الثماني هو نظام رقم موضعي بقاعدة 8. لكتابة الأرقام في نظام الأرقام الثماني ، يتم استخدام الأرقام: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7.

استنادًا إلى الصيغة (1) ، للحصول على رقم ثماني صحيح ، يمكننا كتابة:

على سبيل المثال: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10

وبالتالي ، لتحويل رقم ثماني صحيح إلى نظام رقم عشري ، يجب عليك الانتقال إلى تدوينه الموسع وحساب قيمة التعبير الناتج.

لترجمة عدد صحيح عشري إلى نظام رقم ثماني ، يجب على المرء أن يقسم بالتسلسل هذا الرقم ونقاط قسمة الأعداد الصحيحة الناتجة على 8 حتى نحصل على حاصل يساوي صفرًا. يتم تجميع الرقم الأصلي في نظام الأرقام الجديد بالتسجيل المتسلسل للمخلفات الناتجة ، بدءًا من آخرها.

مثال 6. دعنا نترجم الرقم العشري 103 إلى نظام الأرقام الثماني.

1.1.4. نظام رقم سداسي عشري

القاعدة: q = 16.

الأبجدية: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، ف.

هنا ، عشرة أرقام فقط من أصل ستة عشر لديها التعيين المقبول عمومًا 0 ، ... ، 9. لكتابة أرقام بمكافئات كمية عشرية 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، عادةً ما تكون الأحرف الخمسة الأولى من الأبجدية اللاتينية مستخدم.

وبالتالي ، فإن الإدخال 3AF16 يعني:

3 أف 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.

مثال 7. لنحول الرقم العشري 154 إلى نظام الأعداد الست عشري.

1.1.5. قاعدة لتحويل الأعداد العشرية الصحيحة إلى نظام رقمي بالقاعدة q

لتحويل رقم عشري كامل إلى نظام رقمي بأساس q ، اتبع ما يلي:

1. قسّم بالتسلسل الرقم المعطى وحاصلات الأعداد الصحيحة الناتجة على أساس نظام الأرقام الجديد حتى نحصل على حاصل يساوي صفرًا ؛
2. الباقي الناتج ، وهو عبارة عن أرقام لرقم في نظام الأرقام الجديد ، يتم مواءمتها مع أبجدية نظام الأرقام الجديد ؛
3. قم بتكوين رقم في نظام الأرقام الجديد ، وقم بتدوينه ، بدءًا من آخر الباقي المستلم.

لنقم بعمل جدول للمراسلات بين الأعداد العشرية والثنائية والثنائية والسداسية العشرية من 0 إلى 20.

في المجموعة الرقمية الموحدة أحداث غير متوقعة(http://school-collection.edu.ru/) هناك رسوم متحركة تفاعلية "تحويل رقم عشري إلى نظام رقم آخر". بمساعدتها ، يمكنك مراقبة ترجمة عدد صحيح تعسفي من 0 إلى 512 إلى نظام رقم موضعي ، لا يتجاوز قاعدته 16.

في المختبر الافتراضي Digital Scales الموجود هناك ، يمكنك تعلم طريقة أخرى لترجمة الأرقام العشرية الكاملة إلى أنظمة أرقام أخرى - طريقة الفرق.

1.1.6. الحساب الثنائي

يعتمد الحساب الثنائي على استخدام جداول الجمع والضرب التالية:

المثال 8. جدول الإضافة الثنائية بسيط للغاية. بما أن 1 + 1 = 10 ، يبقى 0 في هذه البتة ، ويتم ترحيل 1 إلى البتة التالية.

المثال 9. يتم تنفيذ عملية الضرب وفقًا للنظام المعتاد المستخدم في نظام الأرقام العشري ، مع الضرب المتتالي للمضاعف بالرقم التالي للمضاعف.

وهكذا ، في النظام الثنائي ، يتم تقليل الضرب إلى تحولات في المضاعفات والجمع.

1.1.7. أنظمة أرقام "الكمبيوتر"

في تكنولوجيا الكمبيوتر ، يتم استخدام نظام الأرقام الثنائية ، والذي يوفر عددًا من المزايا مقارنة بالأنظمة الأخرى:

• يتم تمثيل الأرقام الثنائية في الكمبيوتر باستخدام عناصر تقنية بسيطة إلى حد ما مع حالتين مستقرتين ؛
• تمثيل المعلومات عن طريق دولتين فقط يمكن الاعتماد عليه ومقاوم للضوضاء ؛
• الحساب الثنائي هو أبسط ؛
• هناك جهاز رياضي يوفر التحولات المنطقيةالبيانات الثنائية.

يتم تبادل المعلومات بين أجهزة الكمبيوتر عن طريق نقل الرموز الثنائية. من غير الملائم أن يستخدم الشخص مثل هذه الرموز بسبب طولها الكبير وتوحيدها البصري. لذلك فإن المتخصصين (المبرمجين والمهندسين) في بعض مراحل التطوير والإنشاء والتكوين أنظمة الحوسبةاستبدل الرموز الثنائية بقيم مكافئة في أنظمة الأرقام الثماني أو الست عشري. نتيجة لذلك ، يتم تقليل طول الكلمة الأصلية بمقدار ثلاث أو أربع مرات على التوالي. هذا يجعل المعلومات أسهل للمراجعة والتحليل.

بمساعدة المورد "كتاب المشكلات التفاعلي ، قسم" أنظمة الأرقام "(http://school-collection.edu.ru/) يمكنك التحقق من مدى إتقانك للمواد التي تمت دراستها في هذه الفقرة.

الأكثر أهمية

نظام الأرقام هو نظام تسجيل يتم فيه اعتماد قواعد معينة لكتابة الأرقام. تسمى العلامات التي تكتب بها الأرقام أرقامًا ، ويطلق على مجموعها اسم الأبجدية لنظام الأرقام.

يسمى نظام الأرقام الموضعي إذا كان المعادل الكمي لرقم ما يعتمد على موقعه في تدوين الرقم. قاعدة نظام الأرقام الموضعية تساوي عدد الأرقام التي تتكون منها الأبجدية.

يمكن أن تكون قاعدة نظام الأرقام الموضعية أي عدد طبيعي q> 1.

في نظام الأرقام الموضعية مع الأساس q ، يمكن تمثيل أي رقم على النحو التالي:

A هو رقم ؛

q هي أساس نظام الأرقام ؛

و i - الأرقام التي تنتمي إلى الأبجدية لنظام الأرقام المحدد ؛

n هو عدد الأرقام الصحيحة للرقم ؛

م - عدد كسور الأرقام من الرقم ؛

q i - "وزن" الفئة i.

أسئلة ومهام